Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема 4 (о размерности пространства решений).
Пусть дана линейная однородная система с неизвестными, ранг основной матрицы равен . Тогда существует линейно-независимых решений однородной системы, всякое другое решение есть их линейная комбинация. Доказательство. 1) Если ранг основной матрицы равен , то свободных переменных переносятся вправо, тогда можно построить по крайней мере не меньше, чем линейно-независимых решений, присваивая поочерёдно значение 1 каждой из свободных переменных (а остальным в это время 0). Существует такая система решений:
...
Данная система линейно независима, так как объединяя их в матрицу, увидим, что в её последних столбцах будет минор, устроенный как единичная матрица , т.е. заведомо ненулевой, равный 1. 2) Докажем, что любое другое решение будет их линейной комбинацией. Рассмотрим последние координат произвольного решения. Пусть - решение однородной системы. Линейная комбинация решений: тоже является решением. Но на последних n-r местах она содержит 0, а числа, отличные от 0 на первых r местах. Но тогда первые r столбцов образовали бы ЛЗС – было бы противоречие. Тогда единственная возможность: нулевой вектор. Тогда , то есть новое решение можно представить в виде такой линейной комбинации ранее найденных решений. Таким образом, существует не меньше, но и не больше, чем различных линейно-независимых решений.
Определение. Данная система, состоящая из линейно-независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений. Пример. (, ). Решить однородную систему: Решение. Если преобразовывать расширенную матрицу, то получим:
Видим, что справа всё равно как был, так и остаётся столбец из нулей, так что в будущем для однородных систем можно использовать только основную матрицу, ведь расширенная не несёт никакой новой информации, всё равно там справа нулевой столбец, и он не меняется при преобразованиях строк. Итак, получили систему базисный минор можно заметить в первых двух столбцах, так что свободная переменная, переносим её вправо: . Теперь последовательно выражаем через свободную переменную две базисные переменные. Из 2-го: , а подставляя в 1-е, получим , т.е. . Общее решение системы: .
Также записывается в виде вектора: . Частные решения: , , , и т.д. То есть все тройки чисел будут пропорциональны какой-то одной. ФСР (фундаментальная система решений). ФСР состоит из одного вектора . Ответ. Общее решение , ФСР . Пример. (, ). Решить систему уравнений: Базисный минор порядка 2 можно найти в левом углу, тогда считаем, что 3-я и 4-я переменная - свободные. Перенесём их через знак равенства. . уже фактически выражено: , подставим это в первое уравнение, чтобы выразить . . Общее решение: { , }. Если поочерёдно присвоить значение 1 каждой из свободных переменных (а другая в это время 0) то получим гарантированно 2 линейно-независимых вектора, они не пропорциональны, так как 1 на разных местах.
. Эти 2 вектора { , } и есть ФСР. Это частных решений, из которых можно составить любые другие частные решения: любые их линейные комбинации будут частными решениями однородной системы. Например, их сумма также является решением системы. Примечание. При решении системы в прошлой задаче, со следующей стадии: может использоваться и метод Крамера. = . = .
* Для системы с квадратной матрицей справа были только числа, для системы с прямоугольной матрицей к ним добавляются свободные переменные, и там будут выражения типа . А для однородной системы справа констант нет (они 0), но туда перенесены свободные переменные. Т.е. решение методом Гаусса во всех этих 3 параграфах выполняется похожим образом, только справа разные типы объектов.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 121; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.60.192 (0.007 с.) |