Взаимосвязь координат в разных базисах.

Координаты относительно нового базиса: практические методы их нахождения. (С помощью системы линейных уравнений и с помощью обратной матрицы).

 

Пусть  - «старый» базис, в качестве которого, как правило, рассматриваем декартов базис, напр. . Пусть задан новый базис из n векторов . Нужно найти координаты вектора  относительно нового базиса.

Это приводит к системе уравнений:  

с основной невырожденной квадратной матрицей, так как столбцы линейно независимы, ведь их составляют векторы базиса.

Далее либо решается система (методом Гаусса), либо матричным методом: .  

Матрица , содержащая координаты векторов нового базиса, выраженные относительно старого (по столбцам), называется матрицей перехода от старого базиса к новому. По построению, она невырождена, . 

Пример. Доказать, что векторы , ,  образуют базис 3-мерного пространства, и найти координаты вектора  относительно этого базиса.

,  =  =  = -1. 

Система линейно независима, вспомнить: Следствие. Всякая линейно-независимая система из n векторов n-мерного пространства является базисом.

Итак, данная система векторов является базисом.

 

 

Выразим вектор через этот базис:

Для того, чтобы найти координаты , нужно решить систему уравнений.

Она уже приведена к ступенчатому виду (выше побочной диагонали коэффициенты, ниже нули).  , 

Из первого, .

Итак, новые координаты . Проверка. Действительно,

Пример.   Доказать, что множество многочленов  образует базис в линейном пространстве многочленов степени не выше 2. Построить матрицу перехода.

Решение. Мы можем просто построить матрицу перехода от одного базиса к другому и доказать её невырожденность.

Старый базис . Найдём координаты этих элементов относительно старого базиса.    e1 = 1 e2 = x …

 

 

 

 

 =

Строим матрицу:  .

 Матрица верхне-треугольная, её определитель равен 1, она невырожденная.

Например, при  для  имеет вид: 

Чтобы найти разложение по новому базису, достаточно решить систему уравнений, причём её основная матрица уже в треугольной форме, т.е. прямой шаг метода Гаусса не потребуется.

Пусть . Разложить по основанию .

, из 1-го:

. Итак,  = . 

Проверка.  =  = .

Пример. В 4-мерном линейном пространстве матриц порядка 2 базисом является множество матриц:  

A = , B = , C = , D = .

Является ли базисом множество матриц:

, , , .

Построим матрицу перехода.

, , , .

M1 = 1A+1B+0C+0D координаты (1,1,0,0).

Матрица перехода: .

Вычислим её определитель, разложив по 1-й строке.

 =  

первый из миноров разложим по 1-й строке, а второй по 1-му столбцу.

Тогда получим  = .

Эта система линейно зависима, базисом не является.

И действительно, один из элементов можно выразить через другие:  . 

 =  = . 

 

- - - Перерыв - - -

Теорема 3 (о продолжении базиса). Для каждой линейно независимой системы векторов  конечномерного пространства  размерности n можно найти такие векторы , что система

 будет базисом пространства . 

Доказательство. Система  (1), базис  (2).

Применим теорему о замене. Это возможно, т.к. (1) ЛНС и (1) выражается через (2). В (2) заменим  векторов на векторы  , получив новую систему , . 

Она ЛНС, так как эквивалентна базису (2). ЛНС из n векторов также является базисом.