Таким образом, понятие величины как одно из важнейших математических понятий может служить теоретической основой для введения понятия числа и изучения действий С числами.

При сравнении методик формирования понятия числа в различных учебниках математики для начальных классов невольно возникает вопрос: что в своей практической деятельности человек начал использовать раньше — числа или величины? Ответ на этот вопрос склоняется в пользу величин, т.к. первоначально человек встретился с необходимостью сравнивать расстояния, длины предметов, например, при изготовлении стрел одинаковой длины. Позднее люди научились считать предметы, а вместе с ними и именованные числа. Другими словами, именованные числа — это форма представления величин. Числа как таковые еще не выделялись, они использовались только вместе с наименованиями. Чтобы получить числа в «чистом виде», необходимо было «оторвать» их от наименований, рассмотреть операции над ними и их свойства. Эта работа была проделана успешно в период образования научных школ в Древней Греции и в странах Дальнего Востока.

Обобщению творчества математиков школ Древней Греции посвящен знаменитый труд Евклида «Начала». Здесь приводится и первое аксиоматическое определение величины. Перечислим аксиомы Евклида:

· равные одному и тому же равны между собой

· если к равным прибавить равные, то и целые будут равны;

· если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны;

· если к неравным прибавляются равные, то и целые будут не равны;

· удвоенные одного и того же равны между собой;

· половины одного и того же равны между собой;

· совмещающиеся друг с другом равны между собой;

· целое больше части

Представленная система аксиом в целом не удовлетворяет современным требованиям, к подобного рода системам, т.к. она является зависимой и не является полной (например, четвертая аксиома является следствием второй). Однако математическая теория Евклида до сих пор обладает значительными дидактическими достоинствами: геометрический язык позволяет в тесной связи рассматривать арифметические, геометрические и алгебраические факты; достаточно простой язык позволяет использовать его в школьных курсах математики.

После Евклида многие известные математики (Архимед, Герон, Л. Эйлер и др.) пытались определить понятие величины, выделяя те или иные видовые отличия величины. Например, Герон Александрийский (I в.) утверждал, что величина есть все, что может быть увеличено или разделено безгранично, Л. Эйлер (XVIII в.) называл величиной все, что может увеличиваться или уменьшаться. До сих пор существуют попытки определить понятие величины, положив в основу только одно свойство, например, свойство сравнимости. В частности, в свое время о таких величинах писал академик А.Н. Крылов, соотнося их с такими свойствами, как красота, безобразие, храбрость, трусость и т.д.

Обобщением различных попыток определить понятие величины является система аксиом замечательного российского ученого, академика А.Н. Колмогорова (1903–1987). В этой аксиоматике первоначальное понятие «величина» является обобщением понятий длины, площади, массы и т.п. Каждый род величины связан с определенным способом сравнения физических тел и других объектов.

Таким образом, существующие подходы к определению понятия величины — аксиоматические. Это означает, что не существует какого-либо свойства, которое могло бы служить единственным видовым отличием для величины. Все сказанное говорит об имеющихся возможностях построения достаточно интересной теории скалярной величины для студентов. Понятие скалярной аддитивной величины — это неопределяемое понятие, которое находит свое наиболее полное описание с помощью одной из систем аксиом.

Название. Подготовка учителя к уроку математики: каждодневная рутина или ежедневное творчество?

Автор: Е.Г.Козлова

Выходные данные: журнал начальная школа. 2005 год, 8 выпуск

Ссылка: https://n-shkola.ru/storage/archive/1408532807-1369727070.pdf

Рассмотрим страницы учебника, использованные для составления урока: I класс, 1 часть, с. 30–31. Проведем методический анализ страницы.

1. В учебнике указана тема урока: «Длиннее, короче». Эти слова адресованы ученику, поэтому в теме урока учителя (конспекте) их цитировать не следует. Речь на уроке пойдет о сравнении длин предметов. Так и следует обозначить тему. Учитель знает, что сравнивать длины без использования измерительного инструмента (линейки) можно тремя способами: в изуально, прикладыванием и с использованием произвольной мерки. Значит, все виды заданий должны присутствовать на уроке. Кроме нового материала, на уроке предполагается повторить способ получения чисел первого пятка и смысл арифметических действий сложения и вычитания.