Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лекция 24. Дифференциал функции. ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на некотором интервале, тогда Y’ = по теореме ( о пределе функции, имеем → б.м.функция, при , , f’(x) поэтому f’(x) - б.м. 1-го порядка малости относительно . Проверим, какого порядка малости Найдём = , то есть более высокого порядка малости, чем . 1- е слагаемое f’(x) называется главной частью приращения функции. Определение. Дифференциалом функции называется главная часть приращения функции, линейная относительно Обозначается . Если y= f(x) = x, то y’x = 1, а Вывод. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной , рабочая формула. Пример. Найти дифференциал функции y = . Решение. f’(x) = , dy = dx.
Приближённые вычисления с помощью дифференциала функции Запишем приращение функции y = f(x) , так как последнее слагаемое более высокого порядка, то его отбросим и получим или F (x0 + отсюда - формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала функции. Пример. Вычислить sin 460. Решение. Пусть f(x) = sin x; f’(x) = cos x; sin(x+ Примем x0 + = 460; x0 = , тогда 0 = Sin460 = sin ( = . Ответ. Sin460 . Свойства дифференциала функции Задача нахождения дифференциала функции сводится к нахождению производной функции, так как , поэтому все свойства производной распространяются и на дифференциал: 1). d(u 2). d(u
87 3). d( . Пример 1. Найти дифференциал функции y = . Решение. dy =
Пример 2. Найти дифференциал функции y, если sin(x+y) = .
Решение. Функция y задана неявно, найдём сначала y’. Дифференцируем обе части равенства cos(x+y)(1+y’) = отсюда выражаем y’. Y’ = = , dy = dx.
Инвариантность формы дифференциала функции Если y = f(u) , где u = , y = f[ , то = f’u (u) → dy = f’u . du Вывод. Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Пример. Найти дифференциал функции y = sin . Решение. y = sinu, u = , dy = cosu .
Геометрическое значение дифференциала функции
y M1 T
M N x 0 x x+
М(x,y); M 1(x+ ; NT = MN tg NT = f’(x) → Вывод. Дифференциал функции f(x), соответствующий значениям x и равен приращению ординаты касательной к кривой y = f(x) в данной точке x.
Замечание. В данном случае но возможно и .
88 y N
M2 Т М1 0 x NT = dy
Дифференциалы высших порядков
Пусть задана функция y = f(x), дифференциал которой dy = f’(x) dx является в свою очередь также функцией от x. Определение. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y. d(dy) = d2y; d2y = [f’(x)dx]’dx, так как dx = то d2y = [ f’(x) ]’ → d2y = f’’(x) , принято записывать (dx)2 = dx2, аналогично d3y = f’’’(x) …… Пример. Найти дифференциал второго порядка для функции y= Решение. dy = ( =2 ; d2y = (2
89 С О Д Е Р Ж А Н И Е Предисловие - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 Линейная алгебра Лекция 1. Определители, их свойства, вычисление - - - - - - - - - - - - - - - 4 Лекция 2. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Собственные числа и собственные векторы матрицы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 Лекция 3. Матричная запись и матричное решение системы уравнений 1-го порядка. Ранг матрицы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12 Лекция 4. Общая теория решения систем уравнений - - - - - - - - - - - - - 16 Элементы векторной алгебры Лекция 5. Понятие вектора. Основные операции над векторами - - - - - - -20 Лекция 6. Длина вектора. Направляющие косинусы - - - - - - - - - - - - - - 25 Лекция 7. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение - - - 27 Лекция 8. Выражение векторного произведения векторов через координаты перемножаемых векторов. Смешанное произведение - - - - - - - - - - - - - 29
Аналитическая геометрия Лекция 9. Основные понятия.Различные виды уравнения прямой на плоскости - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 33 Лекция10. Расстояние от точки до прямой. Различные виды уравнения плоскости - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 38 Лекция11. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 42 Лекция12. Взаимное расположение прямой и плоскости в R3. Полярная система координат - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 47 Лекция 13. Кривые второго порядка - - - - - - - - - - - - - - - - 51 Лекция 14. Поверхности второго порядка - - - - - - - - - - - - - - 53 Лекция 15. Преобразование прямоугольной системы координат в R2. Квадратичные формы - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 57
Математический анализ Лекция 16. Понятие множества, функции, предела функции - - - - - - 61 Лекция 17. Основные теоремы о бесконечно малых функциях и о пределах при x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 65 Лекция18. Второй классический предел. Сравнение бесконечно малых функций - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 68 Лекция19. Непрерывность функции. Последовательности - - - - - - - - 71 91 Лекция20. Комплексные числа. Действия над комплексными числами - - 74 Лекция 21. Определение производной, её механический, геометрический смысл. Основные правила дифференцирования - - - - - - - - - - - - -77
Лекция22. Производные некоторых элементарных функций - - - - - - - 81 Лекция 23. Неявные функции и их дифференцирование. Производные высших порядков - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 84 Лекция 24. Дифференциал функции - - - - - - - - - - - - - - - - - - 87 Литература - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 90 Содержание- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 91
92 Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис. 1996.287с. 2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. М.: Высш. шк., 2003.-415с. 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч.1,2.- 2-е изд.,- М.: Айрис – пресс, 2003.- 546 с. 4. Труппова В.А. и др. Теория функций комплексного переменного. Конспект лекций и практических занятий. – Иркутск:Из-во ИрГТУ, 2007-60с. 5. Шнейдер В.Б. и др. Краткий курс высшей математики. М.: Высш. шк. Ч.1., 1972.- 285с.
90
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 92; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.145.52.86 (0.049 с.) |