Одно свойство логарифма и предела функции.

Если  существует , то                                            

Пример 1.

Пользуясь вторым классическим пределом, вычислить: ^x+3.

Решение. ^{x +3} = ^x+3= ^x+3= ^{(x+3) 4 (x-1) / 4 (x-1)} = =  = Ответ:                                                        

Пример 2. Вычислить:               

 

                                Сравнение бесконечно малых функций

 

 Сравнить две бесконечно малые функции  –  это значит, найти предел их отношения при x  ₀.

   Пусть –  б.м.функции.

                              

1. Функции  называются б. м. одного и того же порядка малости, если   = c =const .

Пример. Сравнить  функции: = x²-4 и   = x²-5x +6при x

Решение.  

Вывод.  Функции одного и того же порядка малости.

 

2. Функция  называется б.м. более высокого порядка малости чем  , если   = 0.

Пример. Сравнить функции  = и   = x  при x .

Решение.  .

Вывод. Функция более высокого порядка малости чем функция

 

3. Функция  называется б.м. более низкого порядка малости чем  если

.

4. Функции называются не сравнимыми,если  не существует.                                          69

Пример. Пусть = , , x .

Решение.    = , не сущуствует.

Вывод. Функции не сравнимы.

 

5. Две функции  называются эквивалентными или равносильными, если  =1. Обозначается

Пример. Вычислить =

Вывод. arcsinx  

Можно показать, что arctg x .

Составим таблицу эквивалентных функций: при x  

 

 

Теорема. Предел отношения 2-х б.м. функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.

Доказательство. Пусть  . Докажем, что   . Имеем ]=

= ч.т.д.                                                                              1   

             1 

Замечание.Под знаком предела можно заменять функции им эквивалентными.                               

Примеры. Вычислить: ^1/2x = = = .

.

 

                                  Сравнение бесконечно больших функций

Пусть f(x) и  б.б.функции.

1. Если   =0, то    f(x)   имеет низший порядок по сравнению с  , запись или f(x) = 0[  ], ноль малый.

2. Если = С, то говорят, что отношение ограничено  и пишут

f(x) = 0[  ноль большой.

 

 

                                                     70

 

  Лекция 19. Непрерывность функции. Последовательности

                                                                  

 

                             Непрерывность функции

 

Пусть функция  y= f(x)   определена при некотором значении x₀ и y₀ = f(x₀). Если x получит приращение , то и функция y получит приращение  , то есть f(x₀ +  ) = y₀ +   приращение функции.

Определение 1. Функция y= f(x)  называется непрерывной в точке x = x₀, если она определена в этой точке и если   , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример. Показать, что функция  y = непрерывна в произвольной точке.

Решение. Область определения этой функции вся числовая ось. Составим приращение функции , перейдём к пределу  =0

Вывод.  Функция y =  непрерывна всюду.

Определение 2. Пусть функция y= f(x) непрерывна в точке x₀, тогда    f(x₀ +  или

В последнем равенстве обозначим x₀ +  при x

 . Окончательно, функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ , если  

1. f (x) – определена в точке x ₀ и в некоторой её окрестности.

2. f (x) имеет предел при x = x ₀, это значит, что она имеет предел слева, справа и они равны между собой, и равны значению функции в точке x = x ₀.

 

Если в какой либо точке x₀  одно из условий не выполняется, функция называется разрывной в этой точке, точка x₀ называется точкой разрыва.

Определение.

1. Точкой разрыва 1-го рода функции  y=f(x) называется такая точка x₀ в кото-

рой функция имеет левый и правый пределы неравные между собой.

2. Точкой разрыва 2-го рода или бесконечного разрыва называется точка x₀   в которой хотя бы один из пределов не существует или равен .

Пример 1. Установить характер точки разрыва функции y =  .

Решение.  В точке x=0 функция не существует, то есть  ,значит  x=0 точка разрыва 2-го рода. Чтобы изобразить график функции в окрестности точ-

                                                        71

ки разрыва, найдём пределы слева и справа.

 

                                                                                                    y

                                                                

 ;  .                                   

                         

                                                                                                        0                           

                                                                                                                                  x

 

                                                      

Пример 2. Установить характер точек разрыва для функции y=

Решение. В окрестности точки x=3  функция меняет своё значение, поэтому в этой точке может быть разрыв. Проверим это, найдём все пределы.

; =9; y(3)=9.

Ответ.  Так как предел слева не равен пределу справа, то x=3 точка разрыва 1-го рода.                                            y                                                                                                                    

                                                         9- - - - - -

                                                         7-- - - - -   

                                                          0       3        x     

 

 

Теорема 1.  Если функции  и  непрерывны в точке x₀, то их сумма, произведение, отношение также непрерывны в точке x₀, при  , то есть - непрерывные функции.

Теорема 2. Сложная функция  y = f [  , образованная из 2-х непрерывных функций f (x) и  есть функция непрерывная.

Пример. Y = sin (x³ + 4x – 2); y =  .

 

 

                                   Свойства непрерывных функций на отрезке

1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [  , b ]  , то она достигает на этом отрезке (сегменте) своего наибольшего и наименьшего значения

                                                 Y

                                                                                                 

 

                                                  0   x₁       x₂        b         x

 

                                                               72

2. Если функция  f(x)  непрерывна на [  , b ]  , то она ограничена на этом отрезке m  , где m – наименьшее, а М наибольшее значения функции на этом отрезке.

3. Если функция  f(x)  непрерывна на [  , b ] и на концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдётся по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.

                                      y  

 

                                                                                       

                                        0        c            b  x

 

 

4.   Если функция  f(x)  непрерывна на [  , b ] и f()=A,f(b) = B, то найдётся точкa x=c, что f (c) = C.          y                                          

                                               A           C      B

 

                                   0                c     b   x

                                           Последовательности

Определение. Упорядоченное множество чисел, каждое из которых имеет свой номер называется последовательностью.  

Обозначается: { x_n } = x₀ , x₁, x₂,…..x_n …,  где  x_n -  общий член последовательности.

Пример. { x_n }  = { n + b }. n =  . Или  b, +b, 2 +b, 3 +b, ……, n +b.

Определение.  Дискретной прерывной переменной называется переменная, которая принимает отдельные оторванные друг от друга значения, { x_n }.

        

                              x

                                        

                                   Предел последовательности

Определение. Число А называется пределом последовательности {x_n }, если  найдётся такой номер N, что, начиная с этого номера выполняется условие  <  при  n  Обозначается

Раскроем последнее неравенство <  -  A- , геометрически

        

                                        A- .      . A. x_N . A+                            x

 

 

                                 n

                                                  73

Определение.  - окрестностью точки  называется интервал (

По другому определение предела:

Определение. Число А называется пределом последовательности {  , если начиная с некоторого номера N все элементы последовательности оказываются в  окрестности.

Вычисляются пределы дискретной переменной точно так же как и для непрерывной переменной.

Пример 1.  Вычислить                     

Пример 2. Вычислить  = .

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел.

Определение. Последовательность y₁ ,y₂, y₃ ….y_n  называется ограниченной, если существует такое число С, что выполняется неравенство .  

Теорема. Всякие ограниченные последовательности имеют предел и обратно.

Пример. Дана последовательность 1,  определить сходящаяся она или нет?

Решение.  Как видно - это бесконечно убывающая геометрическая последовательность, можно найти её сумму S =  = 2, то есть эта последовательность имеет предел, а это значит она ограничена и сходящаяся.