Лекция 5. Понятие вектора. Основные операции над векторами.

 

Определение.  Пространство, в котором введены декартовы координаты  x,y,z, так, что выполняются следующие условия:

1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат;

2) каждому набору x,y,z  соответствует какая – то точка Р, изучаемого пространства;

называется 3-х мерным декартовым и обозначается  ;  – двумерное декартово пространство – плоскость;  - одномерное декартово пространство – прямая. Координаты – (от латинского слова) упорядоченный, определённый.

Определение. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок прямой.

Обозначается  , А – начало, В – конец вектора или  или .

Определение. Вектором называется матрица размерности (n  или (1  ;  = (n ,

Длина  вектора– это его модуль, абсолютная величина,обозначается  , .

Определение. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной либо на параллельных прямых, их можно всегда представить

                                                                                       

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

  Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной

плоскости.

Определение. Два вектора называются равными, если

1) коллинеарны,

2) имеют одинаковое направление,

3) имеют равные длины.                                                             

                                                                                              

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            Векторы, изучаемые в геометрии, называются свободными, так как точку приложения выбираем произвольно. Есть ещё скользящие и связные в физике и механике. Скользящие – такие, которые считаются равными, если лежат на одной прямой (сила). Связные – если, имеют общее начало и равны.   

                                                  20                                                                                                

                                                                                                         

                 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

 

Определение. Cуммой   2-х векторов называют вектор, идущий из начала первого в конец второго, при условии, что выходит из конца .

                       

                                         

                                               

 

                             Свойства суммы

1)    =  +

2) (  ) +  =  ;

3)  +  =  ;

4)  существует такой противоположный вектор  , что  .

Определение. Суммой нескольких векторов называется вектор, который замыкает ломанную линию, составленную из векторов слагаемых.

                         

                                                                 

                                                           =  +  + +

                                   

                                    

 

                       Правило параллелограмма

 

Если векторы  и   приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то +  сумма этих векторов представляет собой вектор, направленный по диагонали, выходящей из общего начала, а разность - направлена по второй диагонали, причём вектор разности направлен в сторону уменьшаемого.          

                         

                                 

                         

                                                                            +           

                                                                                                    

                                                         

 

Определение. Произведением вектора  на вещественное число  называется вектор удовлетворяющий условиям:

1) - коллинеарен вектору ; 2)

                                            21

3) векторы  и направлены одинаково, если  и противоположны, если  < 0, если же =0, то = 0.

                                  Cвойства произведения на число

1)  (  +  ) = ;

2) (;

3)  =

Пример. Построить вектор  =2  .

Решение.                                          3

 

                                                                    

                                 

                                                                                                            

                                                              2    

                                 

                                  Проекция вектора на ось

      

Определение. Ортогональной проекцией вектора  =  на ось называется величина отрезка А’B’ оси. Обозначается: п А’ B’         

                                                      B

                                     A                       

                                                           k                    

                                                                  

                                      A’          B’

 

Теорема. Проекция вектора  на ось  равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью  .

Доказательство  теоремы следует из рисунка.

                               

                          Основные свойства проекций

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

1)  п ;

2) п  п  ;

3)  п  п  ;

Вывод. Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же операциям над их проекциями.

 

                           

                                                   22

                                 Понятие линейной зависимости векторов

Определение. Линейной комбинацией n  векторов ….. называют сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражение вида:

                               ,                             (1)                                                                           

где - числа.

Определение. Векторы ….. называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , из которых хотя бы одно не равно нулю, что линейная комбинация (1) обращается в ноль = 0.

Определение. Векторы ….. называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все  = 0.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2-х векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости. Пусть 2 вектора  и  зависимы, докажем, что они коллинеарны.

По определению линейной зависимости векторов найдутся такие  и  , что                                            + =0, пусть ,тогда разделим на  , получим  +  

Последнее равенство означает, что векторы коллинеарны ч.т.д.

Доказательство достаточности.  Пусть  и  коллинеарны, то есть  или это значит зависимы,ч.т.д.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 3-х векторов является их компланарность.

Теорема 3. Любые 4-е вектора в  линейно зависимы.

                                    

                              Понятие базиса. Аффинные координаты

Определение. 3 линейно независимые вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор  может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов  , то есть

                            .                                                                (1)

Это разложение вектора в базисе .

Определение.  Числа называются координатами вектора  в базисе  то есть координаты вектора это коэффициенты линейной зависимости, выражающие данный вектор через данный базис.

Определение. Базис , в котором векторы произвольны называется аффинным.                                23

Теорема 1. Всякий вектор  может единственным образом разложен в данном базисе.

Доказательство.   Пусть                                                  

                                                                                               (1)

и ещё есть разложение

                                                                                           (2)

Вычтем из (1) (2) 0 =  , так как  - базис, то эта линейная комбинация выполняется тогда, когда отсюда , то есть разложения совпадают ч.т.д.

Определение. Три некомпланарных вектора   с общим началом О называются  аффинным базисом и обозначается { O,  }.

                                                               

                                                                     

                                                                                                     = {

                                              O                             

                                                                                                                                                           

                                                                                                                                 

Определение. Вектор , соединяющий начало и точку М, называется радиусом вектором точки М.

             

                                      Декартова система координат (д.с.к.)

Определение. Аффинный базис { O, }, у которого векторы лежат на взаимно ортогональных осях и длины равны единицы, называется декартовым ортогональным базисом, принято обозначать { 0, }.

В силу теоремы о разложении вектора в базисе для  д.с.к.    

X,Y,Z – координаты вектора,  – орты.

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты X,Y,Z вектора  равны ортогональным проекциям этого вектора на оси OX, OY, OZ соответственно.

Доказательство. Сделаем рисунок

                                                            Z                                   

                                                                                           

                                                                                M                  =  +

                                                                                                    _xOM;

                                                               k                          _y OM;

                                                              o j              y _z OM;

                                                            i                                        по построению.

                                                                     P                                      

                                           x                  24                                           

         

 ; ; , так как коллинеарны.

_xOM = ^°  = ; _y OM=

_z OM =  ч. т. д.

 

Определение. Проекции вектора  на оси координат называются декартовыми прямоугольными координатами вектора.

Теорема   Линейные операции над векторами сводятся к точно таким же линейным операциям над их одноимёнными координатами.

Пример. Найти координаты вектора  , если ;

Решение. По теореме  x_c=1+3 =1; y_c =2+3 -13;  z_c = 3+3 3= 12

Ответ.    = {1, -13, 12}.

  Определение.   Радиус вектор – это вектор, соединяющий начало координат и точку А, обозначается = { X, Y, Z}.