Лекция 2 . Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Собственные числа и собственные векторы матрицы.

 

Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица из m  строк и n столбцов элементов некоторого множества.

m n - порядок матрицы. Если m=n, то матрица называется квадратной, m n – прямоугольной. Обозначается:

 

 A =   или A =  , или  A =  

 

Коротко А = (i = j =  ), числа - элементы матрицы.

() - матрица строка; - матрица столбец.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

  Если  m = n, то матрица называется квадратной, если m ≠ n, то матрица прямоугольная.                                                                                                                 

Определение. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы называется определителем матрицы.

Если матрица 

                        A = , то определитель  =          

 

Если  ≠ 0, то матрица называется невырожденной; если  = 0,то матрица называется вырожденной.

                                                        8                          

 

A =  – нуль матрица. E =  - единичная диагональная матрица.

 

Порядок матрицы обозначается так: m n, где m – количество строк, а n - количество столбцов.

 

             ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

 

Определение. Две матрицы A и B называются равными (A = B), если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы совпадают.

                  = ;  ≠  ; (1 2 3) ≠  .

 

1). Суммой 2-х матриц  A =   и  B =   (i = ; j=  ) называется матрица C =  , (i =  ; j =  ),того же порядка, где  =  + ,т.е. С=A+B.

Если

A = и B = , то С =  или 

 

               +     =    

 

                                     C ВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ

 

а). А + В = В + А.

б). (А+ В) +С = А + (В + С).

 

2). Умножение матрицы на число.

Определение. Произведением матрицы А =  (i = ; j = ) на вещественное число называется матрица С = (i=  ; j =  ), т.е.

С =  А. Пусть матрица

 

А = , тогда матрица А = .

                           

                    СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА ЧИСЛО

а).  А = ( А).                             

                                                      9   

б). (А + В) = А + В.

в). (  +  ) А =  А +  В.

г). 0 А = 0

д). С = А-В это С = А + (-1)В.

 

3). Умножение матриц.

А =  и B = C = A∙B =  

Определение. Произведением матрицы А =  , (i =   j =  ) на матрицу В = (i =  ; j = ) называется матрица С = , (i =  ),

имеющая порядок m  p, элементы определяются формулой

 

       i = 1,2,  m; j = 1,2,  p.   С = А ∙ В                 (1)

 

= =  +  +  

Вывод.  Матрицу А можно умножить на матрицу В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В и получается матрица, у которой, столько строк сколько их имеет матрица - множимое и столько столбцов, сколько их имеет матрица - множитель.

Пример. Перемножить матрицы.                                                   

   Решение. =                                                                                                                                                                                   

                                                                                                                         

                                   СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 

а). А∙В ≠ В ∙ А.

б). А (ВС) = (АВ)С.

в). (А + В)С = АС + ВС.

 

                                       ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

 

Определение. Матрица, у которой строки заменены столбцами, называется транспонированной по отношению к первой матрице.

 

А =              =

                                                  10

Определение. Матрица , составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы    называется присоединённой к матрице А или взаимной.

Определение. Обратной матрицей  к квадратной матрице А называется матрица, удовлетворяющая условию

                                    

                                           

                                                                        

Элементами обратной матрицы являются алгебраические дополнения элементов присоединённой матрицы  , делённые на число, равное определителю матрицы А, т. е. det A =  

                                                                                              

              = = .

Изэтой формулы следует, что обратную матрицу имеет только невырожденная матрица.

Пример. Найти обратную матрицу для матрицы  A =   

Решение. Вычислим сначала определитель матрицы А.

  = 4+0+0 – 0 -1 – 12 = - 9, определитель матрицы не равен нулю, поэтому матрица А имеет обратную. Находим алгебраические дополнения.

 = 3     = - 4   = 2

 =-6     = 2   = - 1    = .

 = 3             = - 1     = -4                                                       

Чтобы проверить вычисления, найдём А  .

 

А =  = = Е.

 

 

                 Собственные числа и собственные векторы матрицы

                                                               

                                                            11

Определение. Характеристическим уравнением матрицы А =

называется уравнение

Корни этого уравнения  называются характеристическими числами матрицы.

Определение. Система уравнений   

в которой  имеет одно из значений  (и определитель которой в силу этого равен 0) определяет тройку чисел (  , соответствующую данному характеристическому числу, эта совокупность трёх чисел определяет вектор

 , называемый собственным вектором матрицы

                                                    

Пример. Дана матрица  , найти её характеристические числа и собственные векторы.

Решение.  Составляем характеристическое уравнение  =  0 .

1). подставляем в систему  эта система имеет бесчисленное множество решений, полагаем , тогда  и собственный вектор .

Аналогично.

2). ,    ,  .

                                                                                                                               

                                                                                                                 

Лекция. 3 Матричная запись и матричное решение систем уравнений 1-го порядка.   Ранг матрицы.                              

      Пусть дана система алгебраических уравнений                                                                                                                                                                                                                                                                                

                                                                                                                        

Коротко эту систему можно записать в  тензорном  виде:              

                           ,  i = 1  m.                                               (2)

                                              12

Обозначим:

                                                        

A =  ;   X = ;      B =  ,

 

тогда

 

 A∙X =  ∙ =  = .          (3)

 

Такая запись (3) системы называется матричной формой.

                                    A X = B операторная форма                                         (4)

Обе части равенства (4) умножим слева на обратную матрицу  

A X =  B, получим E X =  X, но  E X = X, поэтому

                                     

                                  -матричное решение системы (1).                                                                                                                                    

                                                                                                                                        

  Пример. Матричным методом решить систему:                                                                                          

Решение. Решение будем находить в виде X =  , для этого найдём обратную матрицу для матрицы А, составленную из коэффициентов при неизвестных

 

     А ,     X = ,     B = .

Матрица найдена в предыдущем примере:

 

        =

 

 

                                                   13

 

X = = =     

           

Ответ:    .

 

                    ПОНЯТИЕ О РАНГЕ МАТРИЦЫ

 

   Пусть имеем матрицу из m строк и n столбцов   Определение.   Минором k-го порядка матрицы А называется определитель квадратной матрицы, получающийся из данной матрицы выделением произвольных k строк и k столбцов.

Например:

                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

А =           - минор 3-го порядка.

                                                

                    = - минор 2-го порядка.

 

Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля её миноров.

Обозначается: rang A = 3 или                                                                                                                                                                                                                                                                 

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка  чем r равен нулю.

Пример.  Найти  rang  матрицы.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                A =  . Начинаем искать миноры не равные нулю с наибольшего порядка. =  ; = 7 0.                                                                                                                                                  

Делаем вывод, что , так как минор 3-го порядка отличен от нуля.

Этот метод нахождения ранга матрицы достаточно трудоёмкий, так как

                                                    14

приходится вычислять много определителей.

 

                  ДРУГОЙ  МЕТОД  НАХОЖДЕНИЯ  РАНГА  МАТРИЦЫ                                                                                                                                                                                                                                                                                                          

                                                                                      

 

Определение. Элементарными называются следующие преобразования:

1). Умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

2). Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

3). Перемена местами строк (столбцов) матрицы.

4). Отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получаемые одна из другой при элементарных преобразованиях, называются  эквивалентными.

Эквивалентные матрицы не равны друг другу, но ранги их равны.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях.

Пример. Вычислить ранг матрицы А.

A =

 

, rang(A) = 2.

                                                        15

Вывод. Ранг матрицы равен числу единиц, стоящих по диагонали матрицы, если все остальные элементы нули.

 

Лекция 4. Общая теория решения систем  линейных уравнений.   

                                                                                                                                                                                                                                               

     Рассмотрим систему m линейных уравнений с  n неизвестными                                     

                               

  Определение. Система (1) называется совместной, если она имеет решение и несовместной, если она не имеет решений.

Определение.  Совместная система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений.

Определение. Две совместные системы уравнений называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и обратно.                                                                    

  Теорема Кронекера - Капелли. Кронекер (1823-1891)- немецкий математик. Капелли (1855-1910)-итальянский математик.                                                                                                                       

Для того, чтобы система линейных уравнений (1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы

 был равен рангу её расширенной матрицы

                                                                                                                            

B =  , полученную путём добавления к основной матрице А столбца из свободных членов системы.

1). Если  r(A) = r(B) = n – числу неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

2). Если же  r(A) = r(B) < n, то система (1) имеет бесчисленное множество решений, зависящих от (n – r)  параметров (свободных неизвестных).

 

                     МЕТОД ГАУССА (Метод последовательных исключений)

 

Этот метод продемонстрируем на примере, так как он запрограммирован на электронных машинах и хорошо там просчитывается.

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.

                                                16

      

 Установим совместность системы, найдём ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных

  det A = =-9+1+30+6-6- 0, значит ранг матрицы А равен 3. Составим расширенную матрицу

В =   , так как в ней содержится det A  , то rang B также равен 3. Делаем вывод: согласно теореме Кронекера-Капелли r(A)=r(B)=3-числу неизвестных, поэтому система совместна и имеет единственное решение.                                                                                                                                                                       

Решение. Из 1-го уравнения выражаем  и подставляем во 2-е и 3-е         Из 2-го уравнения выражаем и подставляем в 3-е.

                                                                                        

    Теперь обратным ходом из 3-го выражаем  и подставляем во 2-е уравнение, из 2-го выражаем  и подставляем 1-е, окончательно получаем:  3; = 2;  1.

Ответ: ; ; 3.

 

 

                                   ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

 

ЗАДАЧА.  Решить систему 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

 

Решение. Умножим обе части первого уравнения на  , а 2-го на  и вычтем из 1-го уравнения 2-е.

+                    

 

                                                      17

 . Числитель этой дроби равен определителю –
. Знаменатель равен -   , обозначим  = , а через ,  тогда =  . Аналогичными действиями можно получить  , где . Решение системы запишем в виде:

 

  , . Для системы, состоящей из трёх уравнений с тремя неизвестными эти формулы примут вид:

  , это и есть формулы Крамера,  где

 

 , ,         =  

 

 .  - главный определитель; , , - побочные.

Пример. Решить систему уравнений:  

Решение.  = = 79 0.Система совместна. =  =395,         =-158,  =  = 237.

 

 =  = 5; = ;  = . Ответ. .

                       

Из формул Крамера следует:

1).  0 система имеет единственное решение.

2).  = 0, но хотя бы один из  0, то система не имеет решения.

3).  = , то система имеет бесчисленное множество решений или совсем не имеет решения.

                                                 

                                                  18                                                                                                                                                                                              

                 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ

 

Определение. Система  m уравнений с n неизвестными вида:

 

                                                                 (1)

называется линейной однородной системой.

Следуя формулам Крамера, можно сделать вывод:

1). 0, m=n система имеет единственное нулевое решение.

2). , m n  система имеет бесчисленное множество решений и среди этих решений могут быть и ненулевые.

Теорема. Для того, чтобы система (1) имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы её определитель  = 0.

Доказательство необходимости.

Пусть система (1) имеет ненулевое решение, но

По формулам Крамера имеем:

 , =   = =    , так как есть ненулевое решение, предположим, что это  то =  , а это возможно только тогда, когда .

Доказательство достаточности.

Пусть  = 0, тогда в формулах Крамера  ,  .

Возьмём   r(A) <  n  и по теореме Кронекера – Капелли система (1) имеет бесчисленное множество решений в том числе и ненулевое.

Вывод. Однородная система уравнений всегда совместна и имеет ненулевое решение только тогда, когда определитель системы равен нулю  .

Пример. Решить систему уравнений.                               

= 0. →                                                                                                                                                                           

Ранг матрицы последней системы равен 2-м, а число неизвестных равно 3-м, поэтому, следуя теореме Кронекера – Капелли, 3-2=1  свободное неизвестное. Систему перепишем так:  и решаем её по формулам Крамера. Для этого найдём , 2z+18z=20z, =

=-27z-z=-28z. X =  =  = 5z; Y =  = .

Ответ.  X = 5z; Y = -7z, где  z любое число.                                                                       

                                

                                                     19

                                  ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ