Лекция 20. Комплексные числа , действия над комплексными числами.

 

 

             Понятие комплексного числа возникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Так, например, решение простейшего уравнения x² + 1 =0  не может быть разрешено в действительных числах, так как x =   

           Тем самым, нужно или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможности их применения, или расширить область действительных чисел, с тем чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением действительных чисел являются комплексные числа.

                                 

                       Алгебраическая форма комплексного числ a

  Определение. Комплексным числом называется двучлен вида

                                                              74                                 

                                    ,                                                                          (1)

где  x и y –  действительные числа;  – const, такое, что

x = Re z называется действительной частью комплексного числа;  y = Im z - мнимая часть комплексного числа.

Определение.  Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные и мнимые части.

 Если  z₁ = x₁ + iy₁ и z₂  = x₂ +iy₂  , то при z₁=z₂ x₁ = x₂; y₁ = y₂.

Определение. Комплексное число  называется сопряжённым комплексному числу  z= x+ iy.

Сумма  комплексных чисел есть комплексное число:

            z = z₁  z₂ = (x₁  x₂) +i (y₁ y₂).

Произведение  комплексных чисел есть комплексное число:

 z₁  z₂ = (x₁ +i y₁) (x₂ +i y₂) = x₁ x₂ + i x₁y₂ + ix₂y₁ – y₁y₂ = (x₁x₂ –y₁y₂)+ i (x₁y₂ +x₂y₁).

Отношение     комплексных чиселесть комплексное число:  =  =  .

 

                        Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z = x + i y  поставим в соответствие точку с координатами (x, y) на плоскости  R². Это соответствие взаимно однозначное и называется геометрической интерпретацией комплексного числа.

                y                                                       Множество точек  z  образует комп -                                                                                                                                                                                                       л                                                               лксную плоскость, которую будем обоз-                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

      z₃                 z₂                         начать (z). Точки  z – это концы векторов,

                                                                проведённых из начала координат.

z₄                                           z₁         Как и вектор, комплексное число можно

                  0                    x    определить с помощью угла и длины век-

                                                               тора,  и r т. е., аргумента и модуля (ра-

                                                                диуса). r = ,  с точностью до

                                                                   2k  , k = 0,  

Рис.1  Комплексная плоскость

 

Так как

                             ,                                                                    (2)

                                                                                                                                                то     r =

где   главное значение аргумента  z, удовлетворяющее условиям -                                                                       

                                                                   

                                                            75

 0   

 

Из рис.1 следует, что

Запишем таблицу для определения аргумента комплексного числа z.                                                                                            

 Для значения z=0 аргумент не определён.

 Используя формулы (2), запишем: z = x+ iy = r cos  +irsin  = r (cos

                   -

- тригонометрическая форма комплексного числа.                                        (3)

              

  Действия над комплексными числами в тригонометрической форме                                    

 

      Даны два комплексных числа  

          z₁= r₁ (cos

 

1. Произведение.

 z₁ ) + i(cos  [ cos( т.е. при умножении                         

                        Arg

Если имеется n одинаковых сомножителей z  …….  ,то [r (cos

 (cos  , окончательно:

                - формула Муавра. ( 4)

        

2). Деление.

.

Таким образом при делении:  = ; Arg

                                                             76

3). Извлечение корня n - й степени из комплексного числа.

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое число  , что

                                                 .                                                                (5)

Обозначим z =

возведём  в n-ю степень по формуле Муавра.

             

Комплексные числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому

=  ;  ;

                             (6)

                                                                                                                              

Пример. Вычислить  ;

Решение.  В формуле (6)  z = 1; r = 1.  tg  n=3.

   = 1  

k=0, = 1

k=1, =1

k = 2, = cos  .

                            

                        Показательная форма комплексного числа

Любое число  z   можно записать в показательной форме

                                                               (7)

Эта форма комплексного числа получается, если применить формулу Эйлера

                                                         (8)

В показательной форме удобно производить действия:

                     

                                                                                      

Пример.  Записать в показательной форме число  z = 1 –

Решение.  r = 2; tg  , подставляем в формулу (7) z = 2 .