Побудова моделей дослідження витрат виробництва

 

Теоретичний аналіз моделей

 

Моделювання витрат виробництва здійснюється тільки для змінних витрат, так як постійні витрати приймаються в плановому періоді не змінними не змінюються у часі та в залежності від обсягів виробництва. В класичній літературі найбільш поширеною моделлю для прогнозування витрат є лінійна функція, однак необхідно зазначити, що при збільшенні обсягів виробництв, темпи збільшення обсягів не пропорційні темпам збільшення змінних витрат, тому необхідно також використовувати нелінійні та виробничі функції.

Першою із запропонованих моделей розглянемо однофакторну лінійну економетричну модель з тієї причини, що вона є найпростішою для використання.

Спостерігаючи статистичний зв’язок між ознаками, можна приблизно представити значення результативної ознаки у виді деякої функції від величини одного або декількох факторних ознак, прагнучи при цьому, щоб дані, що спостерігаються, якнайближче відтворювалися взятою функцією.

Функція, що відображає статистичний зв’язок між ознаками, називається рівнянням регресії. Якщо таке рівняння зв’язує лише дві ознаки, це рівняння парної регресії, якщо воно відображає залежність результативної ознаки от двох або більш факторних ознак, - це рівняння множинної регресії [34].

= f (х) - рівняння парної регресії;= f (x , x ….. х ) - рівняння множинної регресії.

 

При відшуканні функції, що зв’язує результативну ознаку з одним фактором, допомагає графічне зображення статистичного зв’язку. Отримана ламана дає досліднику вказівки, яку функцію (лінійну або нелінійну) для відображення зв’язку треба застосувати.

Рівняння регресії - метод узагальнення і вивчення дії одного або багатьох факторних ознак на результативну ознаку, метод кількісного вираження впливу відібраних факторів на досліджуваний показник, метод вибору зв’язку між явищами.

Економетрична модель може представлена у вигляді рівняння регресії.

Найбільш простим і розповсюдженим випадком є представлення економетричної моделі у вигляді рівняння парної (або однофакторної) лінійної регресії. Лінійна економетрична однофакторна модель може бути представлена у вигляді

 

,  (3.1)

 

де Y - залежна перемінна;

Х - незалежна перемінна;

 - параметри моделі.

Оскільки лінійний зв’язок між ознаками X і Y теоретичний, то над Y=f(X) ставиться знак ^. Рівняння зв’язку як рівняння прямої застосовується у випадку рівномірного наростання (убування) результативної ознаки Y зі збільшенням факторної ознаки X.

Параметр рівняння  визначає місце перетинання прямої Y з віссю ординат, а другий параметр рівняння  - це тангенс кута нахилу прямої до осі абсцис, котрий визначає, наскільки сильно буде нахилена ця пряма до осі абсцис.

У зв’язку з тим, що в реальності на факторні і результативні ознаки діють різні перешкоди, або випадкові складові, то це і пояснює деяке відхилення реальних (дійсних) значень цих ознак від теоретичних, тобто отриманих по моделі.

Задача полягає в тому, щоб, вибравши зазначену форму залежності, визначити параметри рівняння  так, щоб відхилення (реальних) значень ознаки  від теоретичних значень  були мінімальними. Однак дійсні значення параметрів  одержати не можна, тому що ми спираємося на обмежений обсяг інформації і тому одержувані розрахункові значення параметрів є статистичними оцінками дійсних параметрів a₀ і a .

Різні методи оцінювання параметрів спираються на різні критерії, що вимірюють ступінь близькості розрахункових і фактичних даних, і, зрозуміло, дають різні значення оцінок параметрів для однієї і тієї ж сукупності спостережень.

Найбільш розповсюдженим для оцінки параметрів регресії є метод найменших квадратів (МНК). Немаловажне і те, що одержувані за допомогою МНК оцінки параметрів мають низку дуже важливих властивостей (незсуваністю, заможністю, ефективністю).

Досить часто між реальними економічними явищами можливі також нелінійні взаємозв’язки. Існує досить великий клас економетричних моделей, за допомогою яких можна вивчати нелінійні зв’язки між різними факторами. Основний прийом, за допомогою якого спрощується процес оцінки параметрів нелінійної моделі, - це лінеаризація. Лінеаризація - перехід від нелінійних зв’язків (гіперболічної, показової, статистичної, логарифмічної і т.п.) до лінійного зв’язку за допомогою різних перетворень, що дозволяє надалі використовувати звичайний метод найменших квадратів. Для нашої роботи знадобиться модель, що має вигляд

 

,    (3.2)

 

Де y - залежна перемінна, х - незалежна перемінна, а₀ і а₁ - параметри моделі.

Визначення параметрів а₀ і а₁ можна здійснити за допомогою пакету прикладних програм (ППП) STATISTIСA 5.5 шляхом введення всіх необхідних даних у відповідні графи для визначення статистичного зв'язку між ознаками.

Цей пакет містить багато статистичних методів, підтримуючих розв’язання економетричних задач, вчасності побудову лінійної одно - і багатофакторної моделі, нелінійної регресійної моделі, кореляційний аналіз, аналіз мультіколінеарності. Слід зауважити, що STATISTIСA допускає можливість обслідування власних, нестандартних рівнянь регресії, що робить цей пакет вельми перспективним для економічних додатків. ППП STATISTIСA 5.5 призначений для роботи в середовище Windows (версія 5.5 в середовище Windows 98).

Після визначення оцінок параметрів а₀ і а₁ варто перевірити їх статистичну надійність і істотність. Особливо важливо це для параметра а₁, оскільки в дійсності може виявитися, що фактор Х не впливає на результуючу ознаку Y, що еквівалентно а₁ = 0.

Після того, як розраховані оцінки параметрів моделі, необхідно перевірити ступінь її адекватності, тобто міру відображення реальних властивостей і тенденцій.

Мірою того, наскільки добре модель описує дану систему спостережень, служить коефіцієнт лінійної кореляції R.

Якщо значення лінійного коефіцієнта кореляції статистично істотно і близько до 1, то підібрану модель можна використовувати для прогнозу досліджуваних економічних явищ або об'єктів. Цей коефіцієнт також автоматично розраховується в програмі STATISTIСA і, виходячи з його значення, визначають, можна чи ні використовувати дану систему спостережень для аналізу.

Розглянемо тепер виробничу функцію, основні її властивості і ті показники, який можна визначити на її основі.

Виробнича функція - це економетрична модель, що кількісно описує зв'язок основних результативних показників виробничо-господарської діяльності із факторами, що визначають ці показники. До основних показників можна віднести доход, прибуток, рентабельність, собівартість і т.д.

Перше поняття виробничої функції пов'язано з математичним моделюванням технологічної залежності між обсягом продукції, що випускається, і кількісними характеристиками витрат ресурсів. Звідси і назва функції "виробнича" [49].

Виробнича функція - це функція, незалежна перемінна якої приймає значення обсягів затрачуваного або використовуваного ресурсу (фактора виробництва), а залежна перемінна - значення обсягів продукції, що випускається.

У залежності від числа включених у модель факторів розрізняють однофакторні і багатофакторні виробничі функції (ВФ).

У загальному виді однофакторна ВФ представляється, як

 

Y = f (X,a),

 

де а - параметр ВФ, Y - залежна перемінна (випуск продукції), X - незалежна перемінна (який-небудь виробничий ресурс).

Багатофакторна ВФ може бути представлена у виді:

 

Y = f (X₁ , X₂,..... Х_n,а), де а - вектор параметрів ВФ,

 

X₁,X₂,... X_n - незалежні перемінні, що відбивають різні фактори виробництва (витрати праці, засоби виробництва і т.д.),- залежна перемінна (випуск продукції, чистий доход, ВВП і т.п.).

Виробничі функції знайшли широке застосування для аналізу і прогнозування економічних явищ як на мікроекономічному рівні (для підприємств, фірм, галузевих, виробничих комплексів), так і на макроекономічному рівні (для регіону, країни в цілому).

На мікроекономічному рівні витрати і випуск можуть вимірятися як у натуральних, так і у вартісних одиницях (показниках).

На макроекономічному рівні витрати і випуск виміряються, як правило, у вартісних показниках. Вони являють собою вартісні агрегати, тобто сумарні величини добутків обсягів, затрачуваних (або використовуваних) ресурсів і продуктів, що випускаються, на їх ціни.

 

ВФ y = f(x₁, x₂,..., х_n, а)

 

називається статичною, якщо її параметри і значення результативної перемінної не залежать від часу.

 

ВФ y = f(x₁(t), x₂(t)..., х_n (t),

 

a(t)) називається динамічною, оскільки її параметри і значення результативної перемінної y залежать від фактора часу, що включений у цю модель як самостійна величина.

При побудові ВФ може бути врахований науково-технічний прогрес за допомогою введення додаткового множника, що залежить від фактора часу.

Вибір аналітичної форми ВФ диктується насамперед теоретичними розуміннями, що повинні явно (або навіть неявно) враховувати особливості взаємозв'язків між конкретними ресурсами (у випадку мікроекономічного рівня) або економічних закономірностей (у випадку макроекономічного рівня), особливості реальних або експертних даних, перетворених у параметри ВФ. Відзначимо, що оцінка параметрів ВФ звичайно проводиться за допомогою методу найменших квадратів (МНК).

Виробничі функції можуть бути представлені як лінійними, так і нелінійними математичними залежностями, одним рівнянням або системою рівнянь.

Виробничі функції можуть бути однорідними функціями ступеня r > 0, для яких характерно, що

 

f(t ´ X₁, t ´ Х₂) = t^r ´ f(X₁, X₂).

 

При r > 1 з ростом масштабу виробництва в t раз обсяг випуску продукції зросте в t^r раз, тобто спостерігається зростання ефективності виробництва від росту масштабу виробництва. При r < 1 спостерігається падіння ефективності виробництва від росту масштабу виробництва. При r = 1 спостерігається постійна ефективність виробництва при рості його масштабу.

Однією з найбільш відомих і широко використовуваних ВФ у макроекономіці виступає функція Кобба-Дугласа, що має такий вигляд:

 

, (3.3)

 

де L - витрати праці;

K - обсяг використовуваного основного капіталу (основні фонди);

а₀, а₁, а₂ - параметри моделі;

Y - величина суспільного продукту (ВВП, обсяг виробництва).

Позначимо надалі для спрощення розрахунків x₁ як L (витрати праці), а х₂ як K (основні фонди).

Для оцінки параметрів ВФ КД нелінійну залежність необхідно лінеарізувати:

 

log y = log а₀ + a₁ ´ log L + а₂ ´ log K.

 

Потім після оцінки параметрів для такої перетвореної моделі методом найменших квадратів варто провести верифікацію (перевірку адекватності) даної ВФ реальним економічним процесам. Для цього використовують розрахунок коефіцієнта лінійної кореляції.

Якщо модель адекватна, то ВФ КД може бути використана для аналізу і прогнозування макроекономічних представлений.

На основі ВФ КД можна визначити ряд найважливіших характеристик.

) Середня продуктивність праці, яка показує середню кількість продукції на одиницю витраченої праці, розраховується по формулі:

 

. (3.4)

 

) Гранична продуктивність праці, яка показує, скільки додаткових одиниць продукції приносить додаткова одиниця витраченої праці, виходить відповідно до формули:

 

.   (3.5)

 

) Еластичність випуску продукції по витратах праці, яка показує, на скільки відсотків збільшиться випуск продукції при збільшенні витрат праці на 1%, може бути визначена в такий спосіб:

₁ = ´  E₁ =  E₁ = a_1. (3.6)

 

) Середня фондовіддача (капіталовідддача), яка показує обсяг продукції в розрахунку на одиницю використовуваних виробничих фондів,

 

.   (3.7)

 

) Гранична фондовіддача (капіталовіддача), яка показує, скільки додаткових одиниць продукції приносить додаткова одиниця основних фондів.

 

   .   (3.8)

 

) Еластичність випуску продукції по обсягу виробничих фондів, яка показує, на скільки відсотків збільшиться випуск продукції при збільшенні основних фондів на 1%.

₂ =  ´  E₂ =  E₂ = a₂.   (3.9)

 

) Сумарна еластичність по витратах (праці і капіталу):

 

А = E₁ + Е₂ = a₁ + а₂. (3.10)

 

Сумарна еластичність по витратах показує ефект одночасного пропорційного збільшення обсягів ресурсів праці і основних фондів.

Виробнича функція дозволяє розрахувати потребу в одному з ресурсів при заданому обсязі виробництва і величині другого ресурсу [34].

 

 

Гранична норма заміни i-го ресурсу j-м ресурсом

_ij = - , R^¢_ij = - (3.13)

 

Гранична норма заміни ресурсів R_ij показує, на скільки одиниць збільшаться витрати j-ro ресурсу (при незмінному фіксованому випуску продукції), якщо витрати i-го ресурсу зменшаться на одну одиницю.

Для двохфакторної виробничої функції справедлива рівність

 

⁼         (3.14)

 

Еластичність заміщення факторів (ресурсів)

 

s_ij =    (3.15)

 

Еластичність заміщення ресурсів має наступний економічний зміст: вона приблизно показує, на скільки відсотків повинне змінитися співвідношення ресурсів (при незмінному фіксованому випуску продукції), щоб при цьому гранична норма заміщення R_ij змінилася на 1%.

Для виробничої функції можна розрахувати також і фондоозброєність (капіталоозброєність) праці:

 = a₀^{-1/ a} ´ y₀^1/a ´ L^{-1-a /a} (3.16)

 

Якщо сума показників у ВФ Кобба - Дугласа y = а₀ ´ L^a ´ K^a дорівнює одиниці (а₁ + а₂ = 1), то її можна записати в іншій формі:

 

 = = =a₀ ´   (3.17)

 

або якщо перейти до нових позначень z = , k = , то одержимо залежність z= a₀ ´ k^a .

Оскільки 0<а₂<1, то із формули випливає, що продуктивність праці z росте повільніше його капіталоозброєності.

Слід зазначити, що в дипломній роботі параметри виробничої функції a₁, a₂, a₃ будуть визначатися шляхом застосування комп'ютерної програми STATISTIСA, як і в раніше розглянутих однофакторних економетричних моделях. Потім отримані оцінки параметрів будуть використовуватися для визначення ряду характеристик на основі ВФ КД і висновків щодо проведеного аналізу.