Спектр квадратної матриці другого порядку

      

Множина усіх власних значень квадратної матриці другого порядку називається її спектром. Якщо така множина є двоелементною, то кажуть, що матриця має простий спектр.

Теорема. Квадратна матриця А другого порядку з простим спектром подібна до діагональної.

Доведення. Оскільки така матриця А є подібною до жорданової матриці, то вона подібна до матриці виду  або до матриці виду  Припустимо, що вона подібна до матриці  Тоді ці матриці мають однакові характеристичні рівняння, а, отже, і множини їх коренів. Проте множина коренів рівняння  є одноелементна. Отже, матриця А має два однакових власних значення.

Суперечність.

Теорему доведено.

 

 

3.9. Рівняння

 

І. Розглянемо спочатку рівняння , в якому  а Х - невідома квадратна матриця другого порядку. Нехай Х ₀- якийсь розв’язок цього рівняння. Тоді існує (згідно попередніх пунктів) матриця Т, для якої  - жорданова матриця. Y ₀ - теж розв’язок цього рівняння. Справді,  Оскільки Y ₀ - жорданова матриця, то можливі наступні варіанти її вигляду:

1).  або 2).  де а ₁, а ₂, а - числа (комплексні).

1). Нехай  Тоді  Тому

Отже,  Тоді .

Отже, .

Перевірка показує, що О і справді є розв’язком рівняння.

2). Нехай  Тоді  Тому . Отже, . Тоді . Отже,

Нехай Т - довільна неособлива матриця, тоді  - розв’язок рівняння.

Справді,

Таким чином, множина всіх розв’язків рівняння  складається з усіх матриць  де Т – довільна неособлива матриця, і з

Зауваження. Якщо задано деяке матричне рівняння  яке має наступну властивість: якщо Х ₀ - розв’язок, а Т - довільна неособлива матриця, то  – теж розв’язок, то для його розв’язання, зрозуміло, достатньо знайти розв’язок S в кожному з усіх різних класів подібних матриць (якщо такий розв’язок існує). Всі матриці в класі подібних будуть розв’язками рівняння, якщо хоч один розв’язок з цього класу існує. Представники ж класів подібних матриць краще брати у жордановій формі, оскільки над такими матрицями легше виконувати обчислення і, крім того, такі матриці є єдиними в кожному класі подібних матриць з точністю до порядку слідування жорданових блоків. Прикладами рівнянь з такою властивістю є  і

ІІ. Розв’яжемо тепер рівняння  де   Х - квадратна матриця другого порядку, використавши це зауваження.

Нехай  тоді  тобто або  або  або  або  Далі використовуємо п. 3.7. Зрозуміло тоді, що

Отже,  - представники різних класів подібних матриць, які є розв’язками рівняння.

Далі, нехай  тоді  Отже,  і  що неможливо.

Отже, всі розв’язки рівняння  такі:

де Т – довільна неособлива матриця.

3.10. Вправи

1. Знайти спектр матриці  та звести її до діагональної форми.

2. Розв’язати матричне рівняння  в квадратних матрицях другого

порядку.

3. Звести до жорданової форми матрицю

4. Розв’язати матричне рівняння  в квадратних матрицях другого

порядку, де , використавши попередню задачу.

5. Розв’язати матричне рівняння  в квадратних матрицях другого

порядку.

 

 6. Розв’язати матричне рівняння  в квадратних матрицях другого

порядку

 

Список літератури

 

1. Скорняков Л.А. Элементы алгебры. – Москва. – Наука. – 1980. – 240 с.

2. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – Москва.– Наука. – 1970. – 400 с.

3. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. –

Москва. – МГУ. – 1980. – 320 с.

4. Ланкастер П. Теория матриц. – Москва. – Наука. – 1978. – 280 с.

5. Горбачук О.Л., Воробець Б.Д. Вступ до вищої алгебри. – Львів. – ЛДУ. –1976. – 88 с.