О. Л. Горбачук, Л. І. Комарницька, Ю. П. Матурін

 

МАТРИЦІ ТА СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Дрогобич - 2007

УДК 512.64(09)

К 63

Матриці та системи лінійних рівнянь: Навчально-методичний посібник / Горбачук О.Л., Комарницька Л.І., Матурін Ю.П. – Дрогобич: Редакційно-видавничий відділ ДДПУ, 2007. – 50 с.

 

Посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” для підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальностей “Математика”, “Математика та основи економіки”, “Математика та фізика”, затвердженої Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Посібник містить виклад теоретичного матеріалу з даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправи для самостійної роботи.

    Розрахований на студентів-математиків, які вивчають курс алгебри в педагогічних та класичних університетах, на вчителів математики та старшокласників, які цікавляться математикою.

 

Бібліографія 5 назв.

 

Рекомендовано до друку Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

(протокол № 8 від 29 червня 2007 р.)

 

Відповідальний за випуск: доцент Галь Ю.М.

Редактор: Невмержицька Ірина Михайлівна

 

Рецензенти:

    Пташник Б.Й., доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України, завідувач відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки та математики імені Я.С.Підстригача НАН України;

Зарічний М.М., доктор фізико-математичних наук, професор, декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

 

 

© Горбачук О.Л.,

Комарницька Л.І.,

Матурін Ю.П.

ЗМІСТ

Вступ ……………………………………………………………………….4

1. Матриці та дії над ними.........................................................................5

1.1. Означення матриць ………………………………………………5

1.2. Види матриць ……………………………………………………..5

1.3. Означення дій над матрицями …………………………………..8

1.4. Властивості додавання матриць

     та множення матриць на числа …………………………………10

1.5. Символ суми……………………………………………………...11

1.6. Властивості множення матриць ………………………………..12

1.7. Властивості транспонування …………………………………...14

1.8. Обернена матриця у випадку квадратних матриць

     другого порядку…………………………………………………. 15

1.9. Приклади матриць, елементами яких є вектори……………….18

1.10. Числовий n-вимірний простір………………………………….. 20

1.11. Подібні матриці…………………………………………………. 21

1.12. Вправи…………………………………………………………… 21

2. Системи лінійних рівнянь ……………………………………………23

2.1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими………… 23

2.2. Системи лінійних рівнянь: основні означення……………… 25

2.3. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь……….. 27

2.4. Східчасті системи……………………………………………… 30

2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду

     (Метод Гаусса)………………………………………………….. 33

2.6. Вправи ………………………………………………………….. 36 

                                                                                                                                                                   

3. Жорданова форма матриць та матричні рівняння …………37

3.1. Слід квадратної матриці……………………………………….. 37

3.2. Жорданова форма квадратних матриць. Основна теорема….  38

3.3. Зведення до жорданової форми нижніх трикутних матриць другого порядку…………………………………………………39

3.4. Власні значення і власні вектори квадратної матриці другого порядку………………………………………………………… 41

3.5. Зведення квадратної матриці другого порядку до нижньої трикутної форми…………………………………………………42

3.6. Загальний випадок………………………………………………43

3.7. Однозначність визначення жорданової форми з точністю до порядку слідування діагональних блоків………………………44

3.8. Спектр квадратної матриці другого порядку………………….47

3.9. Рівняння ……………………………………….47

3.10. Вправи……………………………………………………………49

Список літератури ……………………………………………………. 50

Вступ

 Метою даного навчального посібника є ознайомлення читача з елементами теорії матриць та систем лінійних рівнянь. Цей матеріал є доступним не лише для студентів-першокурсників, але й для старшокласників.  

Серед розглядуваних питань найважливішими є властивості дій над матрицями, рівносильні перетворення систем лінійних рівнянь, жорданова форма матриць та матричні рівняння. Останні питання мають поглибити знання студентів в галузі теорії матриць, користуючись при цьому тільки елементарними засобами.

Кожний із розділів закінчується вправами, які ілюструють й доповнюють теоретичний матеріал.

Теорія матриць відіграє важливу роль не тільки у всіх галузях математики, але й  у фізиці. Тому її вивчення повинно бути дуже ретельним. Матриці з числовими елементами є природнім узагальненням чисел і широко використовуються в алгебрі, як приклади алгебраїчних структур. Так, наприклад, кватерніони Гамільтона можна представляти у вигляді певних квадратних матриць 4-го порядку з дійсними елементами. Якщо ж дозволити елементам матриць пробігати множину елементів певного кільця, то можна отримати приклади нових кілець. Таким способом отримуються кільця із заданими властивостями.

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса фактично зводиться до певних перетворень над їх розширеними матрицями, а тому ця тема є органічним продовженням першого розділу даного посібника.

Вивчення теми про жорданову форму матриць дозволить досить просто розв’язувати деякі типи матричних рівнянь.

Джерела із списку літератури допоможуть зацікавленим студентам продовжити вивчення тем, викладених у посібнику.