Трикутних матриць другого порядку

     

Будемо використовувати результати пункту 1.9. Нехай маємо матрицю виду

           .

Зведемо її до жорданової форми. Нехай  

Тоді 

Розглянемо наступні випадки:

1.

Відповідно до твердження п. 1.9 нам потрібно знайти такі  і , для яких  і матриця  має жорданову форму. Для цього необхідно зробити  або . Покажемо, що  можна зробити рівним 0. Оскільки верхній рядок матриці А в такому разі змінювати не потрібно, то покладемо  Нам потрібно знайти такий вектор  щоб  і

Оскільки  то  не повинно дорівнювати 0. Далі,

Далі,             

Тоді               

Оскільки , то з останнього рівняння системи маємо, що  Тоді з першого рівняння випливає

                         

Отже,  Оскільки  то можемо покласти  тоді . Тому  Отже, на підставі твердження п. 1.9  де С визначається з рівностей

тобто  а .

2. Нехай .

Випадки:

2.1. .

Тоді матриця А вже має жорданову форму.

2.2. . Тоді 

Помножимо останнє рівняння на число  

Тоді

Якщо ввести перепозначення:

 то

 На підставі твердження п 1.9 матимемо, що  де

Власні значення та власні вектори квадратної матриці другого порядку

  Число  (комплексне) називається власним числом квадратної матриці , якщо існує такий ненульовий вектор-рядок , що

                                       .                                                             (1)

Ненульовий вектор  називається власним вектором матриці А, якщо

для деякого власного значення  матриці А.  

Рівність (1) еквівалентна рівності  де  яка еквівалентна такій рівності

де .

  Теорема. Для того, щоб число  було власним значенням, необхідно і достатньо виконання рівності

Необхідність. Нехай  - власне значення, тоді  для деякого власного вектора , тобто  Оскільки  то це означає, що система

має ненульовий розв¢язок. Тому  Оскільки визначник при транспонуванні не змінюється, то  

Достатність. Доведення достатності проводиться в зворотному порядку.

Проведіть його самостійно! (Див. наслідок п. 2.1).

Теорему доведено.

 

Рівняння  відносно невідомого  називається характеристичним рівнянням матриці А. З нього знаходимо власні значення. Зрозуміло, що

Отже, характеристичне рівняння можна записати і так

                                

Для знаходження власних векторів матриці А потрібно розв¢язати систему

тобто                       

для кожного власного значення , і вибрати ненульові розв¢язки, які існують в силу

Зауваження 1. Оскільки кожне квадратне рівняння має два комплексні розв¢язки, якщо врахувати їх кратність, то матриця А має або два різні, або два однакові власні значення. Тому матриця А завжди має власні вектори (тут враховуємо також  для власного значення ).

Зауваження 2. Характеристичні рівняння подібних матриць однакові. Справді, нехай  Тоді

Приклад. Нехай  Тоді  – характеристичне рівняння. Зрозуміло, що  – множина усіх власних значень матриці А.