Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Трикутних матриць другого порядку
Будемо використовувати результати пункту 1.9. Нехай маємо матрицю виду . Зведемо її до жорданової форми. Нехай Тоді Розглянемо наступні випадки: 1. Відповідно до твердження п. 1.9 нам потрібно знайти такі і , для яких і матриця має жорданову форму. Для цього необхідно зробити або . Покажемо, що можна зробити рівним 0. Оскільки верхній рядок матриці А в такому разі змінювати не потрібно, то покладемо Нам потрібно знайти такий вектор щоб і Оскільки то не повинно дорівнювати 0. Далі, Далі, Тоді Оскільки , то з останнього рівняння системи маємо, що Тоді з першого рівняння випливає
Отже, Оскільки то можемо покласти тоді . Тому Отже, на підставі твердження п. 1.9 де С визначається з рівностей тобто а . 2. Нехай . Випадки: 2.1. . Тоді матриця А вже має жорданову форму. 2.2. . Тоді Помножимо останнє рівняння на число Тоді Якщо ввести перепозначення: то На підставі твердження п 1.9 матимемо, що де Власні значення та власні вектори квадратної матриці другого порядку Число (комплексне) називається власним числом квадратної матриці , якщо існує такий ненульовий вектор-рядок , що . (1) Ненульовий вектор називається власним вектором матриці А, якщо для деякого власного значення матриці А. Рівність (1) еквівалентна рівності де яка еквівалентна такій рівності де . Теорема. Для того, щоб число було власним значенням, необхідно і достатньо виконання рівності Необхідність. Нехай - власне значення, тоді для деякого власного вектора , тобто Оскільки то це означає, що система має ненульовий розв¢язок. Тому Оскільки визначник при транспонуванні не змінюється, то Достатність. Доведення достатності проводиться в зворотному порядку. Проведіть його самостійно! (Див. наслідок п. 2.1). Теорему доведено.
Рівняння відносно невідомого називається характеристичним рівнянням матриці А. З нього знаходимо власні значення. Зрозуміло, що Отже, характеристичне рівняння можна записати і так
Для знаходження власних векторів матриці А потрібно розв¢язати систему тобто для кожного власного значення , і вибрати ненульові розв¢язки, які існують в силу Зауваження 1. Оскільки кожне квадратне рівняння має два комплексні розв¢язки, якщо врахувати їх кратність, то матриця А має або два різні, або два однакові власні значення. Тому матриця А завжди має власні вектори (тут враховуємо також для власного значення ). Зауваження 2. Характеристичні рівняння подібних матриць однакові. Справді, нехай Тоді Приклад. Нехай Тоді – характеристичне рівняння. Зрозуміло, що – множина усіх власних значень матриці А.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-03-26; просмотров: 147; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.12.166.76 (0.01 с.) |