Дрогобицький державний педагогічний університет

ДРОГОБИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ІВАНА ФРАНКА

 

О.Л.ГОРБАЧУК, Л.І.КОМАРНИЦЬКА, Ю.П.МАТУРІН

 

МАТРИЦІ ТА СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК

Дрогобич - 2007

УДК 512.64(09)

К 63

Матриці та системи лінійних рівнянь: Навчально-методичний посібник / Горбачук О.Л., Комарницька Л.І., Матурін Ю.П. – Дрогобич: Редакційно-видавничий відділ ДДПУ, 2007. – 50 с.

 

Посібник написано відповідно до програми навчальної дисципліни “Лінійна алгебра” для підготовки фахівців освітньо-кваліфікаційного рівня “Бакалавр” спеціальностей “Математика”, “Математика та основи економіки”, “Математика та фізика”, затвердженої Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка. Посібник містить виклад теоретичного матеріалу з даної теми, приклади, що ілюструють теорію та вправи для самостійної роботи.

    Розрахований на студентів-математиків, які вивчають курс алгебри в педагогічних та класичних університетах, на вчителів математики та старшокласників, які цікавляться математикою.

 

Бібліографія 5 назв.

 

Рекомендовано до друку Вченою радою Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка

(протокол № 8 від 29 червня 2007 р.)

 

Відповідальний за випуск: доцент Галь Ю.М.

Редактор: Невмержицька Ірина Михайлівна

 

Рецензенти:

    Пташник Б.Й., доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України, завідувач відділу математичної фізики Інституту прикладних проблем механіки та математики імені Я.С.Підстригача НАН України;

Зарічний М.М., доктор фізико-математичних наук, професор, декан механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

 

 

© Горбачук О.Л.,

Комарницька Л.І.,

Матурін Ю.П.

ЗМІСТ

Вступ ……………………………………………………………………….4

1. Матриці та дії над ними.........................................................................5

1.1. Означення матриць ………………………………………………5

1.2. Види матриць ……………………………………………………..5

1.3. Означення дій над матрицями …………………………………..8

1.4. Властивості додавання матриць

     та множення матриць на числа …………………………………10

1.5. Символ суми……………………………………………………...11

1.6. Властивості множення матриць ………………………………..12

1.7. Властивості транспонування …………………………………...14

1.8. Обернена матриця у випадку квадратних матриць

     другого порядку…………………………………………………. 15

1.9. Приклади матриць, елементами яких є вектори……………….18

1.10. Числовий n-вимірний простір………………………………….. 20

1.11. Подібні матриці…………………………………………………. 21

1.12. Вправи…………………………………………………………… 21

2. Системи лінійних рівнянь ……………………………………………23

2.1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими………… 23

2.2. Системи лінійних рівнянь: основні означення……………… 25

2.3. Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь……….. 27

2.4. Східчасті системи……………………………………………… 30

2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду

     (Метод Гаусса)………………………………………………….. 33

2.6. Вправи ………………………………………………………….. 36 

                                                                                                                                                                   

3. Жорданова форма матриць та матричні рівняння …………37

3.1. Слід квадратної матриці……………………………………….. 37

3.2. Жорданова форма квадратних матриць. Основна теорема….  38

3.3. Зведення до жорданової форми нижніх трикутних матриць другого порядку…………………………………………………39

3.4. Власні значення і власні вектори квадратної матриці другого порядку………………………………………………………… 41

3.5. Зведення квадратної матриці другого порядку до нижньої трикутної форми…………………………………………………42

3.6. Загальний випадок………………………………………………43

3.7. Однозначність визначення жорданової форми з точністю до порядку слідування діагональних блоків………………………44

3.8. Спектр квадратної матриці другого порядку………………….47

3.9. Рівняння ……………………………………….47

3.10. Вправи……………………………………………………………49

Список літератури ……………………………………………………. 50

Вступ

 Метою даного навчального посібника є ознайомлення читача з елементами теорії матриць та систем лінійних рівнянь. Цей матеріал є доступним не лише для студентів-першокурсників, але й для старшокласників.  

Серед розглядуваних питань найважливішими є властивості дій над матрицями, рівносильні перетворення систем лінійних рівнянь, жорданова форма матриць та матричні рівняння. Останні питання мають поглибити знання студентів в галузі теорії матриць, користуючись при цьому тільки елементарними засобами.

Кожний із розділів закінчується вправами, які ілюструють й доповнюють теоретичний матеріал.

Теорія матриць відіграє важливу роль не тільки у всіх галузях математики, але й  у фізиці. Тому її вивчення повинно бути дуже ретельним. Матриці з числовими елементами є природнім узагальненням чисел і широко використовуються в алгебрі, як приклади алгебраїчних структур. Так, наприклад, кватерніони Гамільтона можна представляти у вигляді певних квадратних матриць 4-го порядку з дійсними елементами. Якщо ж дозволити елементам матриць пробігати множину елементів певного кільця, то можна отримати приклади нових кілець. Таким способом отримуються кільця із заданими властивостями.

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гаусса фактично зводиться до певних перетворень над їх розширеними матрицями, а тому ця тема є органічним продовженням першого розділу даного посібника.

Вивчення теми про жорданову форму матриць дозволить досить просто розв’язувати деякі типи матричних рівнянь.

Джерела із списку літератури допоможуть зацікавленим студентам продовжити вивчення тем, викладених у посібнику.

 

Означення матриць

 

Матрицею називається прямокутна таблиця, що заповнена певними математичними об’єктами, які називаються елементами матриці. Тут будемо розглядати лише такі матриці, елементами яких є числа. Елементи матриці будемо позначати однією буквою з двома індексами, де перший індекс вказує номер рядка елемента матриці, а другий ­– номер його стовпця.

Таким чином, матриця записується у формі:

 

       або .

Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то про таку матрицю кажуть, що вона має розмір k × n.

Якщо кількість рядків і кількість стовпців матриці рівні, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків (стовпців) називається її порядком.

Матрицю також позначають великими латинськими літерами або за допомогою відповідних малих літер з двома індексами:

А =  = ,          В =  = .

Дві матриці однакових розмірів називають рівними, якщо їх відповідні елементи рівні.

Наприклад, матриці

A = ,    В =

не є рівними (А ≠ В), оскільки = 8, = 1.

 

 

Види матриць

 

Матриця, що складається з одного рядка [стовпця], називається матрицею-рядком [ матрицею-стовпцем ].

Матрицю-рядок також називають рядком, а матрицю-стовпець – стовпцем. Використовуються також наступні терміни: вектор-рядок, вектор-стовпець. Вектор, що складається з n елементів, називається n -вимірним.

Матриця О довільних розмірів, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею:

О = .

 

Рядок [стовпець], всі елементи якого є нулі, називається нульовим рядком [стовпцем] або нуль-вектором.

Одиничною матрицею називається квадратна матриця Е n -го порядку наступного вигляду:

 

Е =  = [ _ij],

 

де _ij =  – символ Кронекера.

Квадратна матриця D називається діагональною, якщо вона має наступний вигляд:

D = ,

тобто d_ij = 0, якщо і ¹ j. Таку матрицю також позначають наступним чином:

D = dia g .

Наприклад, .

Означення дій над матрицями

 

    Сумою двох матриць однакових розмірів А і В називають матрицю С, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В, тобто

С = А + В =

(або  для всіх i,   j).

       Добутком матриці А на число λ називають таку матрицю В, кожний елемент якої дорівнює добутку числа λ і відповідного елемента матриці А, тобто:

В = λ А = λ  =  =

(або  для всіх ).

  Матрицю (-1) А позначатимемо через – А і називатимемо її матрицею, протилежною до матриці А.

Під різницею матриць А і В (А – В) будемо розуміти суму А + (- В). Зрозуміло, що А – А = О, А + О = О +А = А для всякої матриці А і нуль-матриці О тих же розмірів.

Транспонованою до матриці А розмірів k   n називається така матриця В розмірів n   k, що

 для всіх і, j. Тобто матриця В має за рядки відповідні стовпці матриці А.

Транспоновану матрицю позначають через А ^T, а елементи її через     (= а ).

Приклад:

А = А ^T =

Для введення добутку двох матриць визначимо спочатку добуток рядка і стовпця однакової довжини (рядок – лівий множник, стовпець – правий множник, бо порядок співмножників тут важливий!):

 =

У результаті одержимо квадратну матрицю першого порядку, яку можна ототожнити з її єдиним елементом  Добуток АВ матриць А і В визначаємо тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай матриця А має розмір , а матриця В – n .

Добутком матриць А і В називається матриця С = АВ, що має розмір k r, а її елемент  дорівнює добутку і -го рядка матриці А і j -го стовпця матриці В:

c _ij =  =

i =1,..., k; j =1,..., r.

Приклади:

1).  = ;

2). ;

3).  = ;

4).

 

Нехай А – квадратна матриця n -го порядку, Е – одинична матриця n -го порядку, а О – квадратна нуль-матриця n -го порядку. Тоді легко перевірити, що:

АЕ = ЕА = А,

АО = ОА = О.

Слід зауважити, що добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею (нуль-матрицею).

Справді,

Квадратна матриця В n -го порядку називається оберненою до квадратної матриці А n -го порядку, якщо

АВ = ВА = Е.

Обернену матрицю до матриці А позначають через .

Приклад.

Нехай А = . Тоді В =  – обернена матриця до матриці А.

 

 

1.4. Властивості додавання матриць та множення матриць на числа

Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступні властивості:

 

1. А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);

2.    А + О = О + А = А;

3.    А + (- А) = (- А) + А = О;

4. А + В = В + А (комутативність);

5. А = А;

6. (А + В) = А + В;

7. (  + ) А = А + А;

8. ( А) = () А  

(для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і для довільних чисел , ).

Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічно і залишаються для самостійного доведення читачу.

1. А + (В + С) =  +

  = =

  =

(тут ми використали асоціативність додавання чисел).

7.

   =

(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел). 

                    

Символи суми

Суму  позначають через , де і називається індексом підсумовування і його позначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:

1). ;

Очевидними також є й інші властивості символу суми:

2).  (адитивність);

3).  (однорідність);

де  – будь-яке число (яке не залежить від і).

Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні для підсумовування доданків з двома індексами.

тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці (матриці):

Тут і, j називаються першим і другим індексами підсумовування відповідно.

Очевидно, що сума S всіх елементів даної таблиці дорівнює

S =

де

Тому

(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).

      З другого боку,

(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).

Таким чином, має місце наступна властивість символу подвійної суми:

4).

      Взагалі кажучи, символ суми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бути зрозумілим з контексту.

      Тепер нам легко буде оперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку  матриць  і  розмірів  і , відповідно, записується наступним чином:

.

Властивості транспонування

 

1.

для довільної матриці А (ідемпотентність);

2. ,

де А і В – довільні матриці однакових розмірів (адитивність);

3.

для довільної матриці А і довільного числа λ (однорідність);

4.

для довільних матриць А і В, для яких існує добуток АВ;

5. .

      Доведемо ці властивості.

1. Очевидно.

2. Справді,

   =

   3. Справді,

   

      4. Нехай U = АВ. Тоді

       

тобто  = .

    5. Доведемо першу з рівностей. Використаємо попередню і першу властивості:

     .

Матриця А, для якої , називається симетричною.

     Таким чином, матриця  завжди симетрична.

Приклад:

                   – симетрична матриця.

 

Вправи

1. Матрицю  подати, як лінійну комбінацію матриць:

, , , ,

, , , ,

.

2. Нехай . Чи обов’язково ?

3. Обчислити , якщо .

4. Коли справджуються рівності  і .

5. Довести, що добуток двох симетричних матриць є симетричною 

матрицею тоді й тільки тоді, коли ці матриці комутують.

6. Квадратна матриця  називається кососиметричною, якщо .

Довести, що всяку квадратну матрицю можна представити як суму   

симетричної та кососиметричної.

7. Обчислити

8. Довести: якщо , то обидві матриці квадратні та однакового

порядку.

9. Довести формулу .

10. Довести, що добуток двох верхніх (нижніх) трикутних матриць

однакового розміру є верхньою (нижньої) трикутною матрицею.

 

 

  

 

 

Східчасті системи

 

Східчастою називається така система лінійних рівнянь, матриця якої є східчастою, тобто це система, яка має наступний вигляд:

                                                   (1)

 

де  

або система вигляду

                                                                               

тобто система називається східчастою, якщо у розширеній її матриці  матриця А східчаста.

      

Приклади східчастих систем:

1).  – східчаста система, що складається з одного рівняння  (тут ).

2).  – східчаста система                       (тут ).

3).  – східчаста система (тут ).

Системи виду  мають множину розв¢язків, що складається з усіх векторів  де  - довільні числа, якщо  системи виду  є несумісними, якщо хоч одне з чисел  відмінне від 0.

  Тому розглянемо системи виду (1).

В такій системі невідомі  називаються головними невідомими, а всі інші невідомі – вільними невідомими.

  Розглянемо два випадки:

І. Нехай серед чисел  хоч одне відмінне від 0. Тоді система (1) містить рівняння

де .

Зрозуміло, що жодна сукупність чисел  не задовольняє рівняння. Отже, система (1) розв¢язків немає. Тобто (1) – несумісна система.

ІІ. Нехай  Для зручності подальших міркувань зробимо перепозначення невідомих  буквами , так щоб головні невідомі  були позначені відповідно через , а всі інші (тобто вільні невідомі) через інші .

У відповідності до цього елементи матриці А системи (1) будуть перепозначені на елементи матриці С, тобто система (1) матиме наступний вигляд:

                                   (2)

де

(Рівняння системи (1), починаючи з -го мали вигляд  і тому ми їх опустили, оскільки при вилученні нуль-рівнянь (рівнянь виду ) система переходить у рівносильну їй систему.)

Надамо вільним невідомим  довільним чином конкретні числові значення  Тоді з останнього рівняння однозначно визначається , а саме:

                                                   (3)

Тоді з попереднього рівняння ( -го рівняння) можна однозначно визначити  і т. д.

Якщо вже визначені  то з і -го рівняння

 визначається однозначно

Так, рухаючись вгору по системі, будуть однозначно визначені  тобто будуть однозначно визначені усі головні невідомі через числа .

Отже, система (2), а тому і система (1) є сумісними, причому при  система має єдиний розв¢язок, а при  більше, ніж один розв¢язок. Зрозуміло, що усі розв¢язки системи (2) отримуються вказаним методом. Тобто ми можемо знайти всі розв¢язки системи.

Приклад. Нехай маємо систему

Ця система східчаста і має вигляд (1) (  головні невідомі;  вільні невідомі). Нехай  де  довільні числа. Тоді з останнього рівняння системи маємо

а тоді можна визначити  з першого рівняння

тобто  

Таким чином,  – множина усіх розв¢язків даної системи.

 

 

2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду (метод Гаусса)

 

В пункті 2.4 було наведено метод розв¢язання східчастих систем (обернений хід методу Гаусса – послідовне знаходження головних невідомих  через вільні невідомі). В цьому пункті ми покажемо, що кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень може бути зведена до системи східчастого вигляду (прямий хід методу Гаусса). Враховуючи те, що елементарні перетворення переводять систему в рівносильну їй систему, ми одержимо таким чином загальний метод розв¢язування систем лінійних рівнянь. Він називається методом Гаусса.

Теорема. Кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень зводиться до системи східчастого вигляду.

 

Доведення теореми для випадку системи з трьох рівнянь з чотирма невідомими.

Спочатку ми доведемо цю теорему для випадку системи, що складається з 3-ох рівнянь і має 4-и невідомі. Справді, нехай маємо систему:

                                                                  (S1)

Будемо вважати, що матриця даної системи не є нуль-матрицею, бо інакше система вже мала б східчастий вигляд. Тоді серед усіх стовпців матриці А існує ненульовий стовпець  з найменшим номером . Тоді наша система може бути записана у такому вигляді:

                                                              (S1¢)

Причому можна вважати, що  Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець   ненульовий. Для того, щоб коефіцієнт при  в другому і в третьому рівняннях зробити рівним 0, додамо до другого рівняння перше, помножене на , а до третього додамо перше, помножене на . Таким чином, здійснивши дані елементарні перетворення, ми одержимо систему, в якій  входить тільки до першого рівняння:

                                                               (S2)

Можливі випадки  або . Якщо , то система (S2) має східчастий вигляд. Тому вважатимемо, що

  Якщо матриця

нульова, то система (S2) вже має східчастий вигляд. Розглянемо випадок, коли така матриця  ненульова. Тоді в матриці  хоча б один стовпець ненульовий. Номери стовпців матриці  змінюються від  до 4. Серед усіх ненульових стовпців матриці  виберемо стовпець з найменшим номером . Тоді система (S2) має вигляд

                                                        (S2¢)

Причому можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець  ненульовий. Для того, щоб у третьому рівнянні системи (S2¢) коефіцієнт при  зробити рівним 0, додамо до третього рівняння друге, помножене на . Таким чином, здійснивши елементарне перетворення над системою (S2¢), ми одержимо систему східчастого вигляду.

  Теорему для даного випадку доведено.

Доведення теореми для загального випадку.

Доведення проводимо індукцією за числом рівнянь даної системи.

1). Якщо система складається лише з одного рівняння , то вона є східчастою.

2). Припустимо, що система з числом рівнянь  шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.

3). Покажемо, що тоді і система з числом рівнянь  шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.

 

 

Справді, нехай маємо систему, що має   рівнянь

                                                                        (1)

Якщо матриця даної системи є нуль-матрицею, то система (1) є східчастою. Тому вважатимемо, що матриця системи (1) не є нуль-матрицею. Тоді вона має ненульовий стовпець. Нехай  – найменший номер серед номерів ненульових стовпців матриці А. Тоді система (1) має вигляд:

                                                                (2)

Можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися шляхом елементарного перетворення перестановки рівнянь системи, оскільки  – ий стовпець матриці системи ненульовий.

Зробимо над системою (2) такі елементарні перетворення (типу В), щоб в усіх рівняннях, починаючи з 2-го, коефіцієнти при  стали нульовими:

до 2-го рівняння додамо перше, помножене на

   до 3-го рівняння додамо перше, помножене на  і т. д.,

   до го рівняння додамо перше, помножене на   

Отримаємо таку систему:

                                                                   (3)

 

Використовуючи до системи з останніх го рівняння наше припущення, отримаємо що та система шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастого вигляду:

                                                               (4)

де

Тому і вся система (3) зведеться до східчастого вигляду:

                                                                        (5)

де  

Теорему доведено.

 

Вправи

 

1. Дослідити систему рівнянь і знайти її розв’язки в залежності від значень

параметра :

2. Переконатися, що елементарні перетворення