Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

  Сумою лінійних рівнянь   і                                              

називається лінійне рівняння

  Добутком лінійного рівняння  на число  називається лінійне рівняння .

  Нехай маємо дві системи з однаковим числом невідомих. Кажуть, що друга система утворена з першої за допомогою елементарного перетворення типу А, якщо другу систему можна одержати з першої переставлянням місцями в першій системі її -го і -го рівнянь . Таке перетворення позначають через  і записують:

                                                                                  

cистема 1  ~     cистема 2.

 

  Кажуть, що друга система утворена з першої за допомогою елементарного перетворення типу В, якщо другу систему можна одержати з першої заміною -го рівняння першої системи сумою її -го рівняння та го рівняння, помноженого на деяке число . Таке перетворення позначають через  і записують:

                                                    

система 1         ~           система 2.

 

Зауваження. Легко бачити, що якщо з першої системи можна одержати другу за допомогою перетворення  (відповідно ), то з другої системи можна одержати першу за допомогою перетворення  (відповідно ). Перевірку виконати самостійно!

Приклад.

    ~

~

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему лінійних рівнянь в рівносильну їй систему.

Перед доведенням цієї теореми доведемо допоміжну лему.

Лема. Якщо друга система лінійних рівнянь одержується з першої за допомогою елементарного перетворення, то кожен розв¢язок першої системи є розв¢язком другої.

Доведення. У випадку елементарного перетворення типу А твердження леми очевидне.

  Нехай перша система лінійних рівнянь має вигляд

                                                                          (1)

де , а друга система одержується з першої за допомогою елементарного перетворення , де деяке число. Нехай також  – розв’язок першої системи, тоді є правильними наступні числові рівності:

                                                                             (2)

   Помножимо почастинно ту рівність з (2) на  і одержимо правильну числову рівність

                  

Додамо почастинно до і -тої рівності з (2) останню рівність, одержимо правильну числову рівність

тобто

                        (3)

Отже, правильними є наступі числові рівності

                           (4)

Всі рівності в (4) ті самі, що і в (2), лише і -та рівність замінена рівністю (3). Отже,  є також і розв¢язком тої системи, що одержана із системи (1) за допомогою елементарного перетворення .

Лему доведено.

Доведення теореми.

   Нехай друга система лінійних рівнянь одержується з першої за допомогою елементарного перетворення, тоді і перша система одержується з другої за допомогою елементарного перетворення (див. зауваження після означення елементарного перетворення типу B). Тоді за лемою кожен розв¢язок першої системи є розв¢язком другої системи, і навпаки, кожен розв¢язок другої системи є розв¢язком першої системи.

Теорему доведено.

         

Східчасті системи

 

Східчастою називається така система лінійних рівнянь, матриця якої є східчастою, тобто це система, яка має наступний вигляд:

                                                   (1)

 

де  

або система вигляду

                                                                               

тобто система називається східчастою, якщо у розширеній її матриці  матриця А східчаста.

      

Приклади східчастих систем:

1).  – східчаста система, що складається з одного рівняння  (тут ).

2).  – східчаста система                       (тут ).

3).  – східчаста система (тут ).

Системи виду  мають множину розв¢язків, що складається з усіх векторів  де  - довільні числа, якщо  системи виду  є несумісними, якщо хоч одне з чисел  відмінне від 0.

  Тому розглянемо системи виду (1).

В такій системі невідомі  називаються головними невідомими, а всі інші невідомі – вільними невідомими.

  Розглянемо два випадки:

І. Нехай серед чисел  хоч одне відмінне від 0. Тоді система (1) містить рівняння

де .

Зрозуміло, що жодна сукупність чисел  не задовольняє рівняння. Отже, система (1) розв¢язків немає. Тобто (1) – несумісна система.

ІІ. Нехай  Для зручності подальших міркувань зробимо перепозначення невідомих  буквами , так щоб головні невідомі  були позначені відповідно через , а всі інші (тобто вільні невідомі) через інші .

У відповідності до цього елементи матриці А системи (1) будуть перепозначені на елементи матриці С, тобто система (1) матиме наступний вигляд:

                                   (2)

де

(Рівняння системи (1), починаючи з -го мали вигляд  і тому ми їх опустили, оскільки при вилученні нуль-рівнянь (рівнянь виду ) система переходить у рівносильну їй систему.)

Надамо вільним невідомим  довільним чином конкретні числові значення  Тоді з останнього рівняння однозначно визначається , а саме:

                                                   (3)

Тоді з попереднього рівняння ( -го рівняння) можна однозначно визначити  і т. д.

Якщо вже визначені  то з і -го рівняння

 визначається однозначно

Так, рухаючись вгору по системі, будуть однозначно визначені  тобто будуть однозначно визначені усі головні невідомі через числа .

Отже, система (2), а тому і система (1) є сумісними, причому при  система має єдиний розв¢язок, а при  більше, ніж один розв¢язок. Зрозуміло, що усі розв¢язки системи (2) отримуються вказаним методом. Тобто ми можемо знайти всі розв¢язки системи.

Приклад. Нехай маємо систему

Ця система східчаста і має вигляд (1) (  головні невідомі;  вільні невідомі). Нехай  де  довільні числа. Тоді з останнього рівняння системи маємо

а тоді можна визначити  з першого рівняння

тобто  

Таким чином,  – множина усіх розв¢язків даної системи.

 

 

2.5. Зведення системи лінійних рівнянь до східчастого вигляду (метод Гаусса)

 

В пункті 2.4 було наведено метод розв¢язання східчастих систем (обернений хід методу Гаусса – послідовне знаходження головних невідомих  через вільні невідомі). В цьому пункті ми покажемо, що кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень може бути зведена до системи східчастого вигляду (прямий хід методу Гаусса). Враховуючи те, що елементарні перетворення переводять систему в рівносильну їй систему, ми одержимо таким чином загальний метод розв¢язування систем лінійних рівнянь. Він називається методом Гаусса.

Теорема. Кожна система лінійних рівнянь за допомогою скінченного числа елементарних перетворень зводиться до системи східчастого вигляду.

 

Доведення теореми для випадку системи з трьох рівнянь з чотирма невідомими.

Спочатку ми доведемо цю теорему для випадку системи, що складається з 3-ох рівнянь і має 4-и невідомі. Справді, нехай маємо систему:

                                                                  (S1)

Будемо вважати, що матриця даної системи не є нуль-матрицею, бо інакше система вже мала б східчастий вигляд. Тоді серед усіх стовпців матриці А існує ненульовий стовпець  з найменшим номером . Тоді наша система може бути записана у такому вигляді:

                                                              (S1¢)

Причому можна вважати, що  Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець   ненульовий. Для того, щоб коефіцієнт при  в другому і в третьому рівняннях зробити рівним 0, додамо до другого рівняння перше, помножене на , а до третього додамо перше, помножене на . Таким чином, здійснивши дані елементарні перетворення, ми одержимо систему, в якій  входить тільки до першого рівняння:

                                                               (S2)

Можливі випадки  або . Якщо , то система (S2) має східчастий вигляд. Тому вважатимемо, що

  Якщо матриця

нульова, то система (S2) вже має східчастий вигляд. Розглянемо випадок, коли така матриця  ненульова. Тоді в матриці  хоча б один стовпець ненульовий. Номери стовпців матриці  змінюються від  до 4. Серед усіх ненульових стовпців матриці  виберемо стовпець з найменшим номером . Тоді система (S2) має вигляд

                                                        (S2¢)

Причому можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися перестановкою рівнянь (елементарне перетворення), оскільки стовпець  ненульовий. Для того, щоб у третьому рівнянні системи (S2¢) коефіцієнт при  зробити рівним 0, додамо до третього рівняння друге, помножене на . Таким чином, здійснивши елементарне перетворення над системою (S2¢), ми одержимо систему східчастого вигляду.

  Теорему для даного випадку доведено.

Доведення теореми для загального випадку.

Доведення проводимо індукцією за числом рівнянь даної системи.

1). Якщо система складається лише з одного рівняння , то вона є східчастою.

2). Припустимо, що система з числом рівнянь  шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.

3). Покажемо, що тоді і система з числом рівнянь  шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастої.

 

 

Справді, нехай маємо систему, що має   рівнянь

                                                                        (1)

Якщо матриця даної системи є нуль-матрицею, то система (1) є східчастою. Тому вважатимемо, що матриця системи (1) не є нуль-матрицею. Тоді вона має ненульовий стовпець. Нехай  – найменший номер серед номерів ненульових стовпців матриці А. Тоді система (1) має вигляд:

                                                                (2)

Можна вважати, що . Цього можна завжди домогтися шляхом елементарного перетворення перестановки рівнянь системи, оскільки  – ий стовпець матриці системи ненульовий.

Зробимо над системою (2) такі елементарні перетворення (типу В), щоб в усіх рівняннях, починаючи з 2-го, коефіцієнти при  стали нульовими:

до 2-го рівняння додамо перше, помножене на

   до 3-го рівняння додамо перше, помножене на  і т. д.,

   до го рівняння додамо перше, помножене на   

Отримаємо таку систему:

                                                                   (3)

 

Використовуючи до системи з останніх го рівняння наше припущення, отримаємо що та система шляхом елементарних перетворень зводиться до східчастого вигляду:

                                                               (4)

де

Тому і вся система (3) зведеться до східчастого вигляду:

                                                                        (5)

де  

Теорему доведено.

 

Вправи

 

1. Дослідити систему рівнянь і знайти її розв’язки в залежності від значень

параметра :

2. Переконатися, що елементарні перетворення -матриці можна

одержати, помноживши її зліва на одиничну матрицю k -го порядку, над

якою виконано відповідне перетворення.

3. Довести, що будь-яку матрицю, елементами якої є цілі числа, можна звести

елементарними перетвореннями до східчастого вигляду (при цьому рядки

можна множити лише на цілі числа).

4. Якщо кількість невідомих лінійної системи більша від кількості рівнянь,

то система не може мати єдиного розв’язку. Довести.