Розділ 1. Матриці та дії над ними

Означення матриць

 

Матрицею називається прямокутна таблиця, що заповнена певними математичними об’єктами, які називаються елементами матриці. Тут будемо розглядати лише такі матриці, елементами яких є числа. Елементи матриці будемо позначати однією буквою з двома індексами, де перший індекс вказує номер рядка елемента матриці, а другий ­– номер його стовпця.

Таким чином, матриця записується у формі:

 

       або .

Якщо матриця має k рядків і n стовпців, то про таку матрицю кажуть, що вона має розмір k × n.

Якщо кількість рядків і кількість стовпців матриці рівні, то така матриця називається квадратною, а кількість її рядків (стовпців) називається її порядком.

Матрицю також позначають великими латинськими літерами або за допомогою відповідних малих літер з двома індексами:

А =  = ,          В =  = .

Дві матриці однакових розмірів називають рівними, якщо їх відповідні елементи рівні.

Наприклад, матриці

A = ,    В =

не є рівними (А ≠ В), оскільки = 8, = 1.

 

 

Види матриць

 

Матриця, що складається з одного рядка [стовпця], називається матрицею-рядком [ матрицею-стовпцем ].

Матрицю-рядок також називають рядком, а матрицю-стовпець – стовпцем. Використовуються також наступні терміни: вектор-рядок, вектор-стовпець. Вектор, що складається з n елементів, називається n -вимірним.

Матриця О довільних розмірів, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нуль-матрицею:

О = .

 

Рядок [стовпець], всі елементи якого є нулі, називається нульовим рядком [стовпцем] або нуль-вектором.

Одиничною матрицею називається квадратна матриця Е n -го порядку наступного вигляду:

 

Е =  = [ _ij],

 

де _ij =  – символ Кронекера.

Квадратна матриця D називається діагональною, якщо вона має наступний вигляд:

D = ,

тобто d_ij = 0, якщо і ¹ j. Таку матрицю також позначають наступним чином:

D = dia g .

Наприклад, .

Зрозуміло, що одинична матриця є діагональною.

   Квадратна матриця А називається нижньою трикутною, якщо вона має вигляд:                             

А = ,

тобто а_ij = 0, якщо і < j.

Квадратна матриця А називається верхньою трикутною, якщо вона має вигляд:            

А = ,

тобто а _ij = 0, якщо і > j.

 

Матриця, яка є або нуль-матрицею, або матрицею виду

,

 

 

де  0,  0,..., 0 називають верхньою трапецієподібною матрицею.

Приклади:                    

1). ― нуль-матриця;

2).  ― вектор-стовпець;

3).  ― діагональна матриця;

4).  ― одинична матриця;

5).  ― нижня трикутна матриця;

6). , , ,  ― верхні трапецієподібні матриці.

Східчастою називають матрицю А, яка має наступні властивості:

1). Якщо і -ий рядок нульовий, то (ί +1)-ий рядок також нульовий;

2). Якщо перші ненульові елементи ί -го і (ί +1)-го рядків є в стовпцях К_і і К_{і +1} відповідно, то К_і < К_{і +1}.

Приклад.    

 

 ― східчаста матриця, де =2, , .

 

Означення дій над матрицями

 

    Сумою двох матриць однакових розмірів А і В називають матрицю С, кожний елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць А і В, тобто

С = А + В =

(або  для всіх i,   j).

       Добутком матриці А на число λ називають таку матрицю В, кожний елемент якої дорівнює добутку числа λ і відповідного елемента матриці А, тобто:

В = λ А = λ  =  =

(або  для всіх ).

  Матрицю (-1) А позначатимемо через – А і називатимемо її матрицею, протилежною до матриці А.

Під різницею матриць А і В (А – В) будемо розуміти суму А + (- В). Зрозуміло, що А – А = О, А + О = О +А = А для всякої матриці А і нуль-матриці О тих же розмірів.

Транспонованою до матриці А розмірів k   n називається така матриця В розмірів n   k, що

 для всіх і, j. Тобто матриця В має за рядки відповідні стовпці матриці А.

Транспоновану матрицю позначають через А ^T, а елементи її через     (= а ).

Приклад:

А = А ^T =

Для введення добутку двох матриць визначимо спочатку добуток рядка і стовпця однакової довжини (рядок – лівий множник, стовпець – правий множник, бо порядок співмножників тут важливий!):

 =

У результаті одержимо квадратну матрицю першого порядку, яку можна ототожнити з її єдиним елементом  Добуток АВ матриць А і В визначаємо тільки тоді, коли кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.

Нехай матриця А має розмір , а матриця В – n .

Добутком матриць А і В називається матриця С = АВ, що має розмір k r, а її елемент  дорівнює добутку і -го рядка матриці А і j -го стовпця матриці В:

c _ij =  =

i =1,..., k; j =1,..., r.

Приклади:

1).  = ;

2). ;

3).  = ;

4).

 

Нехай А – квадратна матриця n -го порядку, Е – одинична матриця n -го порядку, а О – квадратна нуль-матриця n -го порядку. Тоді легко перевірити, що:

АЕ = ЕА = А,

АО = ОА = О.

Слід зауважити, що добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею (нуль-матрицею).

Справді,

Квадратна матриця В n -го порядку називається оберненою до квадратної матриці А n -го порядку, якщо

АВ = ВА = Е.

Обернену матрицю до матриці А позначають через .

Приклад.

Нехай А = . Тоді В =  – обернена матриця до матриці А.

 

 

1.4. Властивості додавання матриць та множення матриць на числа

Додавання матриць та множення матриць на числа мають наступні властивості:

 

1. А + (В + С) = (А + В) + С (асоціативність);

2.    А + О = О + А = А;

3.    А + (- А) = (- А) + А = О;

4. А + В = В + А (комутативність);

5. А = А;

6. (А + В) = А + В;

7. (  + ) А = А + А;

8. ( А) = () А  

(для довільних матриць А, В, С однакових розмірів і для довільних чисел , ).

Доведемо властивості 1 і 7. Всі інші властивості доводяться аналогічно і залишаються для самостійного доведення читачу.

1. А + (В + С) =  +

  = =

  =

(тут ми використали асоціативність додавання чисел).

7.

   =

(тут ми використали дистрибутивність множення відносно додавання для чисел). 

                    

Символи суми

Суму  позначають через , де і називається індексом підсумовування і його позначення ролі не відіграє, тобто його можна замінити будь-якою іншою буквою:

1). ;

Очевидними також є й інші властивості символу суми:

2).  (адитивність);

3).  (однорідність);

де  – будь-яке число (яке не залежить від і).

Часто використовуються так звані подвійні суми, які необхідні для підсумовування доданків з двома індексами.

тобто для знаходження суми всіх елементів прямокутної таблиці (матриці):

Тут і, j називаються першим і другим індексами підсумовування відповідно.

Очевидно, що сума S всіх елементів даної таблиці дорівнює

S =

де

Тому

(Знаходимо суму всіх сум елементів рядків).

      З другого боку,

(Знаходимо суму всіх сум елементів стовпців).

Таким чином, має місце наступна властивість символу подвійної суми:

4).

      Взагалі кажучи, символ суми може записуватися у найрізноманітніших ситуаціях. Його ж зміст може бути зрозумілим з контексту.

      Тепер нам легко буде оперувати з матрицями. Наприклад, елемент добутку  матриць  і  розмірів  і , відповідно, записується наступним чином:

.