Моделирование асинхронного двигателя.

3.3.1.  ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
МАШИН.

 

В параграфе приведены краткие сведения из теории электрических машин, рассмотрена Г-образная схема замещения трехфазной асинхронной машины, указаны рабочие и механические характеристики.

 

Асинхронная машина представляет собой электромеханический преобразователь, в котором возникновение момента на валу ротора возможно при создании вращающегося магнитного поля, пронизывающего обмотку ротора. Трехфазные асинхронные машины с короткозамкнутым ротором благодаря своей технологичности, надежности, большому сроку службы широко применяются практически во всех отраслях промышленного комплекса.

Конструктивно асинхронная машина включает в себя неподвижную магнитную систему – статор и подвижную – ротор (рис. 3.13.).

 

 

 

Для изображения токов статора и ротора на векторной диаграмме в режиме вращения машины нельзя пользоваться их реальными величинами, так как частота изменения тока статора равна частоте питающей сети, а частота тока ротора зависит от скольжения:

,                                   (3.2)

где  - скольжение двигателя, %.

Поэтому необходимо привести режим работы вращающейся асинхронной машины к эквивалентному режиму при неподвижном роторе.

 

Условием приведения является равенство токов, намагничивающей силы обмоток статора и ротора, а также их фазных сдвигов друг относительно друга. Таким образом, сохраняются величины результирующих магнитных потоков, потерь в ферромагнитном сердечнике и активном сопротивлении обмотки статора. В неподвижной машине не происходит электромеханического преобразования энергии, Поэтому механическая мощность реальной машины должна быть представлена равной ей электрической мощностью.

Учитывая, что параметры каждой из фаз роторной обмотки можно считать одинаковыми и используя выражение (3.2) реактивное сопротивление роторной примет вид:

,          (3.3)

где , - индуктивные сопротивления цепи рассеяния ротора в режиме вращения и торможения ротора.

Из этой схемы можно определить ток ротора:

 

      (3.4)

Тогда, схему замещения роторной цепи асинхронной машины можно представить в виде последовательного соединения индуктивного сопротивления и активного сопротивления  (рис. 3.15). Сопротивление можно представить как сумму двух сопротивлений, одно из которых не зависит от скольжения, а другое является функцией скольжения:

.                                    (3.5)

 

 

В практических расчетах часто пользуются Г-образной схемой замещения (рис. 3.17), в которой контур намагничивания вынесен к цепи источника питания. Эквивалентирование схемы выполняется при помощи коэффициента С, который для асинхронных двигателей общего применения равен 1.01-1.05. В принципе значение коэффициента С можно принять равным единице, что существенно облегчает расчеты и мало сказывается на точности результата.

 

 

 

 

 

 

В двигательном режиме происходит электромеханическое преобразование электрической энергии потребляемой из питающей сети, в механическую энергию на валу ротора двигателя.

Мощность, потребляемая двигателем из сети, равна

,                               (3.6)

где -число фаз двигателя;  - напряжение, ток фазы и угол сдвига между ними).

Мощность потерь в ферромагнитном сердечнике ротора не учитывается, т.к. она пренебрежимо мала вследствие низкой величины частоты изменения э.д.с. и тока ротора, определяемой выражением

                                       (3.7)

где - частота питающей сети).

Механическая мощность может быть представлена выражением

,                        (3.8)

где -электромагнитный момент двигателя, - угловая частота вращения ротора

                (3.9)

Для оценки свойств асинхронного двигателя используется механическая характеристика (зависимость скорости вращения ротора машины  или скольжения от вращающего момента )

Выражение для тока ротора:

                                    (3.10)

Скольжение, при котором момент достигает максимального значения, называется критическим . Причем максимальный момент и критическое скольжение можно определить по выражениям:

 

, (3.11)

где - кратность максимального момента двигателя,  - номинальное скольжение двигателя.

Механическую характеристику можно построить используя формулу Клоса, устанавливающая взаимосвязь между искомым моментом двигателя , ее максимальным моментом , критическим скольжением   и скольжением .

,                         (3.12)

где - коэффициент, учитывающий соотношение активных сопротивлений статорной и роторной обмоток асинхронной машины.

При значениях , не выходящих за пределы диапазона значений  можно воспользоваться упрощенной формулой Клосса (погрешность расчетов при этом наблюдается в области нелинейной части механической характеристики и составляет 10-17%):

 

                                    (3.13)

 

Максимальный момент машины не зависит от сопротивления цепи ротора, тогда как критическое скольжение является функцией этого сопротивления, что позволяет регулировать пусковой момент асинхронного двигателя с фазным ротором, изменяя сопротивление, включенное последовательно с сопротивлением обмотки ротора (для асинхронных машин с фазным ротором).

Величина момента асинхронной машины пропорциональна квадрату питающего напряжения. При снижении питания напряжения на 30 % величина момента падает почти в два раза, а при его увеличении на такую же величину, токи статора и ротора возрастают настолько, что электрическая машина перегревается и выходит из строя даже в режиме холостого хода. Поэтому изменение напряжения в электрических сетях, питающих силовое оборудование, должно быть в пределах 5%.

 

Способность восстанавливать свое первоначальное состояние при воздействии возмущения по сети и по нагрузки называется устойчивостью работы двигателя.

Уравнение динамики электромеханической системы:

 

,                                   (3.14)

где - момент сопротивления на валу машины, момент инерции и скорость вращения ротора).

Машина находится в состоянии покоя, либо вращения с постоянной скоростью при условии .

К рабочим характеристикам асинхронного двигателя можно отнести:

· скорость вращения ротора ;

· вращающий момент на валу машины ;

· потребляемый ток двигателя ;

· коэффициент полезного действия ;

· коэффициент мощность .

Эти характеристики позволяют находить все основные величины, которые определяют режим работы двигателя при различных нагрузках [11].  

 

 

Вопросы для самопроверки.

1. Назначение, область применения, конструкция и принцип действия асинхронного двигателя.

2. Укажите схему замещения асинхронного двигателя.

3. Особенности конструкции короткозамкнутого и фазного ротора.

4. Укажите рабочие характеристики асинхронного двигателя.

5. Приведите методику расчета механической характеристики асинхронного двигателя.

 

3.3.2.  ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ.

 

В данном параграфе описаны режимы работы асинхронной машины, приведена программа расчета параметров схемы замещения асинхронного двигателя, рассмотрены схемы имитационного моделирования асинхронного привода с использованием библиотеки SimPowerSystems.

 

Асинхронная машина кроме работы в двигательном режиме может находиться в генераторном режиме, режиме противовключения или в режиме динамического торможения.

В генераторном режиме ротор двигателя приводится во вращения каким-либо другим двигателем (постоянного или переменного тока, внутреннего сгорания и т.д.) в направлении и со скоростью, превышающей скорость вращения магнитного поля. Скольжение в этом режиме будет отрицательной, причем по условиям механической прочности, ограничения потерь, нагрева и высокого КПД в генераторном режиме возможны значения абсолютных величин скольжения такого же порядка, как и в двигательном.

Асинхронная машина в генераторном режиме отдает активную мощность  в сеть, преобразуя механическую энергию приводного двигателя в электрическую энергию питающей сети.

Реактивная мощность асинхронного генератора положительна . Следовательно, асинхронная машины потребляет реактивную мощность из сети, как в двигательном, так и в генераторном режимах, что обуславливает необходимость компенсации реактивной мощности.

В режиме противовключения подводимая из сети электрическая энергия обеспечивает вращение магнитного поля против направления вращения вала ротора машины, вследствие чего . Электрическая машина в режиме противовключения потребляет как электрическую мощность из питающей сети, так и механическую мощность с вала ротора. Этот режим наблюдается при реверсе двигателя, а также в тех случаях, когда необходимо замедлить, либо быстро остановить вращение производственного механизма.

В режиме динамического торможения в рабочем зазоре создается неподвижное в пространстве магнитное поля, для чего статорную обмотку асинхронной машины подключают к источнику постоянного напряжения. При вращении ротора в неподвижном поле в его обмотках наводится э.д.с. и протекает ток. Взаимодействие этого тока и потока статора приводит к появлению тормозного момента.

Для моделирования асинхронной машины в различных режимах работы необходимо вычислить параметры ее схемы замещения. Разработаны достаточно большое количество методик расчета параметров схемы замещения, однако точный расчет асинхронной машины на основании ее паспортных данных является трудной задачей, так как ее момент связан с параметрами нелинейной зависимостью.

Для расчета параметров схемы замещения асинхронного двигателя можно использовать методику разработанную в Московском энергетическом институте на кафедре «Электромеханика» (Листинг 3.1)[13,14].

Программа для расчета параметров схемы замещения в MatLab приведена на листинге 3.1

Листинг 3.1

Pn = 400e3;                       % Nominal mechanic power, W Ul = 6000;                         % Nominal line-to-line voltage, V Uf = Ul/sqrt(3);                   % Nominal phase-to-ground voltage, V kpd = 0.94;                        % Nominal efficiency, pu cosfi = 0.9;                      % Nominal cos(fi), pu Zp = 1;                            % Number of poles Sn = 0.036;                       % Nominal slip, pu Ki = 8;                            % Start current ratio, pu Kp = 3;                         % Start torque ratio, pu Km = 4;                         % Maximum torque ratio, pu J = 1.2;                           % ASM rotor inertia coefficient, kg*m^2 fc = 50; pf = 0.5;                         % Power coefficient end efficiency power factor, pu Ppf = Pn * pf;                     % ASM power at stated power factor kpd_pf = 0.915;                    % Efficiency at stated power factor, pu cosfi_pf = 0.68;                   % cos(fi) at stated power factor, pu w0 = 2*pi*fc;                      % Field frequency, rad/sec wn = (1-Sn)*w0/Zp;                 % Nominal rotor frequency, rad/sec Mn = Pn / wn;                      % Nominal torque, N*m Mp = Mn*Kp;                        % Start torque, N*m Is = Pn/3/Uf/kpd/cosfi;            % Nominal stator current, A Ik = Is*Ki;                        % Start stator current, A Is_pf = Pn/3/Uf/kpd_pf/cosfi_pf*pf; % Stator current at stated power factor, A I0_br = pf*(1-Sn)/(1-pf*Sn);       % Idling stator current branch I0num = Is_pf^2 - (I0_br*Is)^2;    % Idling stator current numerator I0den = 1 - I0_br^2;               % Idling stator current denominator I0 = sqrt(I0num/I0den);            % Idling stator current   betta = 1.2;                       % Initial betta; betta = R1/(R21*C1); C1 = 1 + I0/(2*Ki*Is);             % Construction coefficient, C1 = 1+X1/Xm Sk_br = 1 - 2*Sn*betta*(Km - 1);   % Sk_drob = (Km+sqrt(Km^2-Sk_br))/Sk_br; % Sk = Sn * Sk_drob;                 % Critical slip   fi0 = 88 / 180*pi;                 % Idling phase, set from 87 to 88 degrees Iscos = Is*cosfi;                  % Nominal stator current projection I0cos = I0*cos(fi0);               % Idling curent projection   A0 = (Iscos-I0cos) / Uf;           % subsidiary coefficient A0 A1 = 3*Uf^2 * (1-Sn) / (2*C1*Km*Pn); % subsidiary coefficient A1 B = 1/Sn + 1/Sk - 2*A0*A1/Sn;      % subsidiary coefficient B C = 1/(Sn*Sk) - A0*A1*(1/Sn^2 + 1/Sk^2);% subsidiary coefficient C % betta^2 + betta*B + C = 0        % betta compute equation Dis = sqrt(B^2 - 4*C);             % Diskriminant of equation

 

 

(продолжение Листинг 3.1)

Xbetta1 = (-B + Dis)/2;            % equation root 1 Xbetta2 = (-B - Dis)/2;            % equation root 2 betta = Xbetta1;                   % set sense betta; betta = R1/(R21*C1); R21 = A1/(betta +1/Sk)/C1;         % Ohm R1 = C1*betta*R21;                 % Ohm Xn = sqrt((R21/Sk)^2 - R1^2);      % Full reactive resistance, Ohm X1 = 0.42*Xn;                      % stator leakage resistance, Ohm X21 = 0.58*Xn;                     % rotor leakage resistance, Ohm e11 = (Uf*cosfi - R1*Is);          % active voltage e12 = (Uf*0.54 - X1*Is);           % reactiv voltage E1 = sqrt(e11^2 + e12^2);          % full voltage Xm = E1 / I0;                      % Magnetizing resistance, Ohm L1s = X1 / w0;                     % stator leakage inductance, H Lrs = X21 / w0;                    % rotor leakage inductance, H Lm = Xm / w0;                      % Magnetizing inductance, H L1:=L1s+Lm;                       //% stator inductance, H L2:=Lrs+Lm;                       //% rotor leakage inductance, H Kr:=Lm/L2;                        // coeficient of electromagnetic Torque r:=(R1+sqr(Kr)*R21);              // coeficient of active resistance T1s:=(L1-sqr(Lm)/L2)/r;           // Constant of time stator Tr:=L2/R21;                       // Constant of time rotor % Ploting R21 and X21 by slip at starting procedure ps1 = (1/kpd)-1;                   % dPn = Pn*ps1-0.005*Pn/kpd;         % ps2 = (1/kpd_pf)-1;                % dPpf = Ppf*ps2-0.005*Ppf/kpd_pf;   % Rv = (dPn-dPpf) / 3 /(Is^2+Is_pf^2); % dPv = 3*Is^2*Rv;                   % P0 = dPn-dPv;                      % Pmex = 0.33*P0;                    % I2p = 0.97*Ki*Is;                 % starting current R21p = Km * (Pn*(1+0.005/kpd) + Pmex) / 3 / (1-Sn) / I2p^2; % R21 at start Xp = sqrt((Uf/I2p)^2 - (R1 + C1*R21p)^2);          % X at start X1p = X1 * (Xp / (X1+C1*X21));    % X1 at start X21p = (Xp - X1p)/C1;              % X21 at start s = [1:-0.001:Sn];                 % num1 = 0.0185*s - 0.375*s.^2 + s.^2.*sqrt(s); den1 = 0.035 + 0.612*s.^2.*sqrt(s); % num2 = 0.0358 - 0.5560*s.^2 + s.^2.*sqrt(s); den2 = 0.0187 - 0.0151*s.^2 + 0.446*s.^2.*sqrt(s); f1 = num1./ den1;                 % f2 = num2./ den2;                 % Ra = (R21 - R21p*f1(966))./ (1-f1(966));% Rb = (R21p - R21)./ (1-f1(966));   % Xa = (X21-X21p*f2(966))./ (1-f2(966)); % Xb = (X21p-X21)./ (1-f2(966));     % R21n = Ra + Rb.* f1;              % X21n = Xa + Xb.* f2;              % plot(R21n,1-s, X21n,1-s); grid on  % [Lm,L1s,R1,R21p]

 

Скорость вращения магнитного поля (синхронная скорость вращения)

                  (3.15)

Угловая скорость вращения ротора:

                                            ,                            (3.16)

Номинальный, максимальный и пусковой моменты, :

 

       , ,                   (3.17)

 

Приведенное активное сопротивление ротора

 

, Ом                     (3.18)

Пренебрегая потерями в ферромагнитном сердечнике и добавочными сопротивлениями в машине, можно считать, что мощность выделяемая в активном сопротивлении статорной обмотки, определяется по выражению

 

.     (3.19)

 

Активное сопротивление статора в этом случае:

 

,                     (3.20)

где - фазное напряжение, В.

 

Приведенная индуктивность рассеяния ротора, Гн

 

                                (3.21)

Индуктивность статора, Гн:

                  (3.22)

Индуктивность контура намагничивания, Гн:

 

                                      (3.23)

Коэффициент приведения С₁ осуществляется после расчета параметров по выражению

                                                                           (3.24)

Полученное значение сравнивается с принятым С и весь расчет повторяется до тех пор, пока с достаточной точностью не будет выполнено условие .

Обобщенная модель виртуальной установки для исследования асинхронной машины показана на рис. 3.20.

 

[кВт]	[кВ]	[А]	[Гц]	n [об/мин]	[%]					J [кгм^2]	p
400	6	46.35	50	2890	94	0.9	8	3	4	1.2	1

 

Параметры схемы замещения для исследования заданной асинхронной машины приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Rs	Rr	Ls= Lr
2.706	4.533	9.4	0.4486

 

 

Модель содержит:

· источник переменного трехфазного напряжения Inductive Source with neutral из библиотеки SimPowerSystems/Extra Library/Three-Phase
Library;

· измеритель трехфазного напряжения и тока Three-Phase V-I Measurement из библиотеки SimPowerSystems/Measurements;

· исследуемая трехфазная асинхронная машина Asynchronous Machine SI Units из библиотеки SimPowerSystems/Machines;

· блок Display для количественного представления измеренных величин из библиотеки Simulink/Sinks;

· блок Constant для задания постоянного механического момента на валу машины из библиотеки Simulink/Sources;

· блок Mux, объединяющий три сигнала в один векторный из библиотеки Simulink/Signal Routing;

· блок 3-phase Instantaneous Active & Reactive Power для измерения потребляемой двигателей активной и реактивной мощности из библиотеки SimPowerSystems/Extra Library/ Measurements;

· блок XY Graph для снятия механической характеристики машины из библиотеки Simulink/Sinks;

· блок Scope для снятия осциллограмм токов статора, ротора, а также механического состояния машины при пуске из библиотеки
Simulink/Sinks;

· блок RMS SimPowerSystems/Extra Library/ Measurements для преобразования мгновенных значений токов и напряжений к действующим значениям.

Параметры асинхронной машины частично берутся из паспортных данных машин, а частично рассчитываются на основании каталожных данных (рис. 3.21). При задании машины сразу указывается тип ротора (Rotor Type): короткозамкнутый (Squirrel-Cage) или фазный (Wound).

Далее указываются система отсчета при анализе.

В полях окна настройки двигателя последовательно задаются:

· номинальная мощность на валу, напряжение и частота сети;

· активное сопротивление и индуктивность обмотки статора;

· активное сопротивление и индуктивность обмотки ротора;

· индуктивность ветви намагничивания;

· момент инерции, коэффициент вязкого трения, число пар полюсов;

· начальные условия для моделирования (скольжение, положение ротора, токи статора и их начальные фазы).

 

При задании источника питания задаются фазное значение напряжения, сдвиг фазы на определенный угол, частота питающего напряжения, а также внутренние сопротивления источника питания.

Нагрузка на валу двигателя задается при помощи блока Constant.

Полученная в результате расчета механическая характеристика приведена на рис. 3.22.

 

 

Используя T-образную схему замещения (рис. 7.4) систему уравнений трехфазной асинхронной машины можно записать в следующем виде:

 

            (3.25)

 

Сочетание системы уравнений (3.25), уравнений (3.6)-(3.11) и (3.13) можно составить структурную схему для моделирования асинхронного двигателя (рис. 3.23). Представленная структурная схема применима и при моделировании асинхронного двигателя с фазным ротором, в этом случае меняется сопротивление обмотки ротора . Достоинством структурных схем является возможность контроля любого параметра модели в произвольный момент времени.

 

Расчет электромагнитного момента развиваемого двигателем может быть выполнен по упрощенной формуле Клосса (рис. 3.23), а также используя мгновенные значения тока и напряжения:

,                                (3.26)

где  - угловая частота вращения ротора асинхронного двигателя (рис. 3.24).

Используя законы электротехники можно записать уравнения состояния электрической цепи представленной на рис. 3.17.

 

 

      (3.27)

 

 

Система уравнений (3.27) дополняется уравнением

                                                                               (3.28)        

Имитационная модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором при С=1 приведена на рис. 3.24

 

Рис. 3.24 Имитационная модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым
ротором

 

Вопросы для самопроверки.

1. Укажите схему замещения асинхронного двигателя и расчет ее параметров.

2. Поясните принцип составления структурных схем в MatLab\Simulink.

3. Составьте структурная схема моделирования асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором.

4. В каких тормозных режимах может находится асинхронный двигатель.

5. Может ли электромагнитный момент на валу двигателя не совпадать с моментом сопротивления.

3.3.3. МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ В
НЕПОДВИЖНОЙ И ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

В параграфе изложено описание обобщенной асинхронной машины, приведены особенности имитационной модели асинхронной машины в неподвижной и вращающейся системе координат.

 

Система уравнений относительно токов каждой из фаз может быть переписана относительно потокосцеплений [2].

 - для статора  - для ротора (3.26)

В системе уравнений (3.26) фигурируют мгновенные значения токов, напряжений и потокосцеплений, а сами уравнения записаны по второму закону Кирхгофа. Как правило, обмотки асинхронной машины симметричны, поэтому можно записать:

                               (3.27)

Согласно закону Ампера  можно записать:

· для статора

       (3.28)        

· для ротора

            (3.29)

В системах уравнений (9.28), (9.29) индуктивности, у которых индекс состоит из двух одинаковых букв, являются собственными, а с различными буквами – взаимоиндукциями соответствующих фаз.

Третьим законом, лежащим в основе анализа, является второй закон Ньютона – закон равновесия моментов на валу машины:

                                     (3.30)

Уравнение, связывающее векторные величины момента, потокосцепления и тока может быть записано в виде:

                                         (3.31)

Решение общей системы уравнений (3.26)-(3.31) представляется достаточно сложной задачей обусловленной несколькими причинами:

· в уравнениях (3.30)-(3.31) фигурируют векторные величины, а в уравнениях (3.26) – (3.29) скалярные;

· общее количество взаимосвязанных уравнений равно 14;

· коэффициенты взаимоиндукции между обмотками статора и ротора в уравнениях (3.28), (3.29) являются функцией угла поворота ротора относительно статора, т.е. эти уравнения являются уравнениями с переменными коэффициентами;

· уравнение (3.31) является нелинейным, так как в нем перемножаются коэффициенты.

Для упрощения математического описания асинхронной машины можно применить метод пространственного вектора. Данный метод позволяет связать уравнения (3.26)-(3.31) в единую систему с векторными переменнми состояния. Суть метода состоит в том, что мгновенные значения симметричных трехфазных переменных состояния можно математически преобразовать так, чтобы они были представлены одним пространственным вектором. Это математическое преобразование имеет вид:

,                               (3.32),

где , - векторы, учитывающие пространственное смещение обмоток.

Математическое описание пространственного вектора статорного тока:

 

. (3.33)

 

Применяя метод пространственного вектора систему уравнений (3.26)-(3.29) можно переписать в виде:

 

,                              (3.34)

 

где - собственные индуктивности статора и ротора,  взаимная индуктивность между статором и ротором.

Переменные коэффициенты в системе уравнений (3.34) являются результатом того, что уравнения равновесия эдс для статора записаны в неподвижной системе координат, связанной со статором, а уравнения равновесия эдс для ротора записаны во вращающейся системе координат, связанной с ротором. Если переписать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся с произвольной скоростью , то система уравнений (3.34) примет вид:

,                    (3.35)

где , p – число пар полюсов.

В системе уравнений (3.35) все коэффициенты являются постоянными и могут быть определены по паспортным данным двигателя.

Момента в уравнении (3.31) является векторным произведением любой пары векторов, например, . В уравнениях (3.30), (3.31) векторные величины момента и скорости могут быть заменены их модульными значениями:

 

                           (3.36)

Система уравнений может быть приведена к безразмерным величинам. В качестве основных базовых величин выбираются амплитудные номинальные значения фазного напряжения и тока, а также номинальное значение угловой частоты:

,                (3.37)

 

базовые значения всех переменных и коэффициентов, входящих в уравнения:

 

          (3.38)

 

Обобщенная система уравнений для описания асинхронной машины принимает вид:

           (3.39)

В системе уравнений (3.39) все переменные являются относительными, полученными как результат деления реальных значений на базовые. Переменные и параметры в относительных единицах:

(3.40)

В уравнениях (3.39) используется относительное время .

Введение относительных величин существенно сокращает время моделирования. Введем в рассмотрение неподвижную и вращающуюся системы координат и приведем математическое описание асинхронной машины в этих системах.

Пусть система координат  является неподвижной, а система x,y вращается относительно неё с некоторой угловой скоростью ω.

 

 

 

 

Вектора тока в неподвижной системе координат может быть представлен в алгебраической и показательной форме

                                (3.41)

В системе вращающихся координат (x,y) вектор тока может быть представлен виде:

.       (3.42)

Уравнения перехода от неподвижной системы

, (3.43)

 

 

На рис. 3.26 представлена модель преобразования неподвижной системы координат во вращающуюся, реализованную по уравнениям (3.43). На вход модели подаются проекции пространственных векторов токов на неподвижные оси , в то время как на выходе модели формируются токи в неподвижной системе координат.

Реализация систем электропривода переменного тока, как правило, связана с использованием преобразователя координат, входящего в состав системы управления. Это обусловлено тем, что реализация регуляторов возможна во вращающейся системе, а реальные токи в обмотках статора связаны с неподвижной системой координат.

Функциональная схема электропривода приобретает вид (рис. 3.27).

 

 

 

На основе сигнала управления u и сигналов обратной связи по переменным состояния вырабатываются сигналы управления во вращающейся системе координат. Преобразование сигналов к неподвижной системе координат позволяет управлять инвертором (изменять токи в обмотках статора асинхронной машины).

Для асинхронной машины с короткозамкнутым ротором систему уравнений (3.39) можно преобразовать с учетом :

 

.          (3.44)

 

Для динамических систем необходимо учитывать переходные электромагнитные процессы в машине.

В качестве пары вектор выберем пространственные векторы тока статора и потокосцепления ротора ,

 

Подставим уравнения для потокосцеплений в уравнения состояния обмоток статора:

                                     

подставим

       , следовательно , тогда

       .                                     

Используем

 

, следовательно , тогда после последовательных преобразований

 

,

.

 

Применим

        или , получим

,

 

,

 

.                         (3.47)

 

Используем второе уравнение системы

 

применительно к асинхронной машине с короткозамкнутым ротором, в этом случае .

Тогда

 или .

 

Подставим выражение  в полученное уравнение для обмотки статора

,

получим

,

.

Первое уравнение системы  (3.44) можно переписать в виде:

.

Второе уравнение системы (3.44)

можно преобразовать, если воспользоваться выражением:

, тогда

, окончательно получим

.

Таким образом после преобразования система уравнений (3.44) примет вид:

, (3.45)

где  - безразмерные коэффициенты.

Рассмотрим асинхронную машину в