Моделирвование электротехнических комплексов в программе matlab .

2.1. АНАЛИЗ  ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.

 

Рассмотрен пример использования пакета MatLab для расчета переходного процесса в электрической цепи с несколькими накопителями электрической энергии.

 

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории колебаний и в поведении упругих оболочек обычно базируются на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

                          (2.1)

с граничными условиями , где  - начальные и конечные точки интервалов. Параметр t, как правило, означает время, так как решение дифференциальных уравнений ищется во временной области. Вектор b задает начальные и конечные условия.

Многообразие электротехнических устройств, конструкций, различие магнитных систем делают задачу анализа электрических цепей актуальной. Приведем пример расчета электрической цепи приведенной на рис. 2.1.

Используя законы коммутации для электрической цепи можно составить математическую модель, описывающую процессы протекающие в рассматриваемой электрической цепи, причем

Рис. 3.Исследуемая электрическая цепь.

количество дифференциальных уравнений равно количеству накопителей электрической энергии (L,C).

С учетом  и  математическая модель будет представлена в виде системы уравнений (2.2)

   

 

                         (2.2)

Для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в MatLab реализованы различные методы. Их реализации представляют собой решатели ОДУ. Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений, причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать только специальные решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb [3]:

· ode45- одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты;

· ode23 – одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка. При низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения;

· ode113 – многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка. Адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения;

· ode15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5), использующий формулы численного дифференцирования. Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения;

· ode23tb – неявный метод Рунге-Кутта в начале решения и метод, использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка в последующем. Данный метод может оказаться более эффективным, чем ode15s;

· ode23s – одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы дифференциальных уравнений.

· ode23t – метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармоническим выходным сигналом;

· bvp4c служит для проблемы граничных значений систем дифференциальных уравнений вида  (краевая задача);

· pdepe нужен для решения систем параболических и эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных, введен в ядро системы для поддержки графических функций OpenGL

Все решатели могут решать системы уравнений явного вида . Решатели ode15s и ode23t способны найти корни дифференциально-алгебраических уравнений , где M – матрица массы. Решатели ode15s, ode23t и ode23tb могут решать уравнения неявного вида . Методы ode23s и ode23tb служат для решения жестких дифференциальных уравнений, ode15s – для решения жестких дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, ode23t – умеренно жестких дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений.

Для расчета уравнения (2.1) хорошо зарекомендовали себя численные методы решения систем дифференциальных уравнений. Система уравнений (2.2) должна быть разрешена относительно неизвестных стоящих под знаком дифференциала, следовательно, необходимо дополнить (2.2) алгебраическими уравнениями:

                       (2.3)

Выполнив соответствующие преобразования (2.3) получим

                 (2.4)

 

Подготовим m-файл ode-функции для расчета электрической цепи (Литинг.2.1).

 

 

Листинг 2.1.

 

 

 

 

Данный текст программы должен быть сохранен в формате m-файла (текстового файла с расширением *.m). Запуск программы на расчет производится указанием в командном окне строки:

[t,y]=ode45(@filename, [0 0.03], [0 0 0 0]),

где @Filename – имя сохраненного m-файла с программой; [0 0.03] – время моделирования (в данном случае от 0 до 30 мс); [0 0 0 0] – начальные значения .

Результаты расчета приведены на рис. 2.2.

Вопросы для самопроверки.

1. В чем особенности расчета переходных процессов в линейных электрических цепях?

2. Назовите наиболее распространенные методы расчета систем дифференциальных уравнений.

3. Укажите последовательность записей m-файла для расчета переходного процесса в линейных электрических цепях.

4. Какой командой в программе MatLab созданный m-файл запускается на выполнение?

5. Укажите команду для графического построения результатов расчета.