Моделирование  однофазного трансформатора.

 

Рассмотрены подходы к составлению математической модели линейного однофазного трансформатора. Приведены рабочие характеристики трансформатора.

 

Силовым трансформатором называют статическое электромагнитное устройство с двумя или несколькими обмотками, использующее явление электромагнитной индукции для преобразования токов и напряжений одной системы в токи и напряжения другой. Важную роль трансформаторы играют при передачи электрической энергии на большие расстояния, так как в этом случае до поступления ее потребителю она подвергается многократному преобразованию.

 

 

На ферромагнитном сердечнике (рис.2.3) размещены две обмотки: первичная с количеством витков w1 и вторичная с количеством витков w2. Первичная обмотка подключается к источнику с напряжением u1, во вторичную обмотку подключена нагрузка. Протекающие по обмоткам токи создают основной магнитный поток Ф и потоки рассеяния. Поскольку число витков в обмотках различное, то исходя из выражения для коэффициента трансформации:

,                                  (2.5)

напряжение на обмотках будет также различное.

Режим холостого хода трансформатора. В режиме холостого хода ток во вторичной обмотке равен нулю. При подаче на первичную обмотку трансформатора синусоидального питающего напряжения по ней протекает ток, под действием основного рабочего потока в обеих обмотках наводятся эдс самоиндукции. В том случае если на первичной обмотке напряжение изменяется по синусоидальному закону, изменение рабочего потока также носит синусоидальный характер. Форма тока в режиме холостого хода, вследствие насыщения магнитной системы, становится заостренной и имеет резко выраженную третью гармонику, амплитуда которой достигает 15-30% от амплитуды первой гармоники. При расчетах трансформаторов, как правило, используют символический метод, в этом случае действительную форму тока заменяют эквивалентной синусоидальной. Действующее значение эквивалентной синусоиды равно действующему значению реального тока, а фазовый сдвиг этой эквивалентной синусоиды относительно приложенного напряжения зависит от потерь в ферромагнитном сердечнике.

Режим холостого хода позволяет определить потери в ферромагнитном сердечнике, индуктивное сопротивление контура намагничивания.

Исследование трансформатора (аналитическое и экспериментальное) значительно упрощается, если реальный трансформатор с магнитосвзанными обмотками заменить эквивалентной схемой, элементы которой электрически связаны между собой. Для этого необходимо реальный трансформатор заменить эквивалентным (приведенным) трансформатором, у которого число витков первичной и вторичной обмотки равны. При таком приведении должны оставаться неизменными все энергетические соотношения в трансформаторе.

Параметры приведенного и неприведенного трансформатора связаны соотношениями:

(2.6)

Схема замещения приведенного трансформатора приведена на рис.2.4.

 Учитывая связь э.д.с. самоиндукции с магнитным потоком, можно получить уравнение трансформаторных эдс на первичной и вторичной обмотках.

В режиме холостого хода ток в первичной обмотке трансформатора составляет лишь 3-10% (для трнасформаторов средней и большей мощности) от номинального тока. Поэтому мощность, измеренная в первичной цепи, соответствует практически только потерям в сердечнике трансформатора.

Действующие значение э.д.с. равно:

,                                         (2.7)

где  и  - числа витков обмоток, S – площадь поперечного сечения сердечника трансформатора, - магнитный поток и индукция магнитного поля в нейтральном сечении магнитопровода, f – частота питающей сети.

Параметры режима холостого хода: номинальное напряжение, ток и потери мощности  указываются заводом-изготовителем трансформатора в справочных данных. По этим данным рассчитываются параметры схемы замещения необходимые для анализа трансформатора.

; ; ,         (2.8)

где  - сопротивления контура намагничивания; - ток в первичной обмотке трансформатора в режиме холостого хода; - угол сдвига между током и напряжением первичной обмотки в режиме холостого хода.

Режим нормального короткого замыкания трансформатора.

В режиме короткого замыкания вторичная обмотка замыкается накоротко, а на первичную обмотку подается напряжение   такой величины, при которой ток первичной обмотки имеет номинальное значение. Величина напряжения короткого замыкания не превышает, как правило, 20% от номинального значения. Учитывая пропорциональную зависимость магнитного потока от напряжения, приложенного к первичной обмотке, и зависимость потерь в сердечнике трансформатора от квадрата магнитного потока, можно прийти к выводу, что в режиме нормального короткого замыкания потерями в сердечнике трансформатора можно пренебречь и считать, что потери мощности обусловлены сопротивлением обмоток трансформатора. Параметры схемы замещения приведенного трансформатора в режиме короткого замыкания можно определить по формулам:

 

, ; ,                       (2.9)

где  - сопротивление трансформатора в режиме короткого замыкания,  - номинальный ток трансформатора.

Таким образом, с учетом , которые определяются в режиме холостого хода, определены все параметры приведенной схемы замещения трансформатора.

Используем схему замещения силового трансформатора нагруженного активным сопротивлением (рис. 2.4) для составления математической модели, при этом будем учитывать, что при исследовании динамических процессов необходимо пользоваться не реактивными сопротивлениями обмоток, а их собственными индуктивностями:

,                                       (2.10)

где ;  - сопротивление нагрузки.

 

Расчет параметров схемы замещения трансформатора целесообразно проводить, используя уравнения (2.8,2.9), в относительных единицах (pu), т.к. относительные сопротивления и индуктивности первичной и вторичной обмоток оказываются равными.

В этом случае

                 (2.11)

где  .

Тогда расчет относительных параметров трансформатора осуществляется на основе паспортных данных завода-изготовителя и уравнений (2.8,2.9) и (2.11):

; ;      (2.12)

,

где  - номинальный ток трансформатора; - потери мощности трансформатора в режимах холостого хода и короткого замыкания.

В качестве примера рассмотрим способы моделирования линейного однофазного трансформатора с параметрами, указанными в табл.2.1.

Таблица 2.1

Каталожные данные силового трансформатора

Тип трансформатора	, кВА	, %	, Вт	, Вт	%
ТС-10/066	10	4.5	280	90	7

 

Используя (2.12) расчетные значения параметров схемы замещения приведены в табл. 2.2.

 

Таблица 2.2

Параметры схемы замещения, в отн. ед.

111.11	14.40	0.014	0.022

Сопротивление нагрузки по формулам (3.2) с учетом (3.7) в относительных единицах .

Расчет проведем в программе MatLab используя подход, приведенный в параграфе 2.1. Результаты расчета приведены на рис. 2.5.

 

Вопросы для самопроверки.

1. Укажите назначение и область применения и принцип работы силового трансформатора.

2. Назовите каталожные данные трансформатора.

3. Поясните схему замещения трансформатора. Какие физические процессы адекватно отражает схема замещения?

4. Поясните опыт холостого хода и опыт короткого замыкания трансформатора. Для каких целей проводятся эти опыты?

5. Приведите методику расчета параметров схемы замещения однофазного трансформатора.

6. Используя схему замещения составьте программу в пакете MatLab для определения параметров состояния трансформатора.

2.3. АППРОКСИМАЦИЯ ОСНОВНОЙ КРИВОЙ НАМАГНИЧИВАНИЯ СТАЛИ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ
УСТРОЙСТВ.

Рассмотрен вопрос аппроксимации основной кривой намагничивания магнитопровода. Применение  аппроксимирующих полиномов в общей задаче моделирования трансформатора.

 

Под аппроксимацией обычно подразумевается описание некоторой, порой не заданной явно, зависимости или совокупности представляющих ее данных с помощью другой, обычно более простой или более единообразной зависимости. Часто данные находятся в виде отдельных узловых точек, координаты которых задаются таблицей данных.

При решении задачи аппроксимации подбирается некоторый аппроксимирующий полином, причем полученная функция может не проходить через узловые точки. При линейной интерполяции зависимости y(x) узловые точки соединяются друг с другом отрезками прямых, и, считается, что искомые промежуточные точки расположены на этих отрезках.

На современном этапе одним из предпочтительных методов аппроксимации является интерполяция кубическим сплайном. Сплайн (с англ. гибкая линейка) используется для представления данных отрезками полиномов невысокой степени – чаще всего третьей. Интерполяция полиномом третьей степени обеспечивает непрерывность первой и второй производной полученной функции в узловых точках. Сплайн-интерполяция обладает следующими свойствами:

· график аппроксимирующей функции проходит точно через узловые точки;

· в узловых точках нет разрывов и резких перегибов функции;

· благодаря низкой степени полиномов погрешность между узловыми точками обычно достаточно мала;

· связь между числом узловых точек и степенью полинома отсутствует;

· поскольку используется множество полиномов, появляется возможность аппроксимации сложного закона распределения.

Реализуется сплайн-интерполяция следующей функцией:  - использует векторы x и y, содержащие аргументы функции и ее значения, и вектор , задающий новые точки. В том случае если вызов сплайн-интерполяции осуществляется  - матрица Z будет представлять собой объект, в котором присутствует матрица коэффициентов (Z.coefs) кубического сплайна вида . Причем количество сплайнов будет на единицу меньше чем задано число точек (полином описывает поведение функции между двумя соседними точками).

При расчетах нелинейных электрических цепей с индуктивными элементами зачастую исходная информация о характеристике намагничивания индуктивного элемента задается в графической или табличной форме, представляющей совокупность экспериментально снятых точек. В этом случае общеизвестным подходом к расчету нелинейной электрической цепи является аппроксимация характеристики намагничивания индуктивного элемента гладкой аналитической функцией, тип которой определен в табл.2.3 [4,5]. Несмотря на кажущуюся простоту решения этой задачи на ПК с использованием соответствующего программного обеспечения (например, пакета математического моделирования MATLAB), недостаточно изученными являются вопросы обеспечения требуемой точности расчета электрической цепи при заданной точности аппроксимации заданной функции.

                                                   Таблица 2.3.

Аппроксимирующее выражение	Тип аналитической функции
	Гиперболическая функция
	Экспоненциальная функция
	Тригонометрическая функция
	Степенной полином
	Сглаживающий сплайн невысокой степени (кубический сплайн)

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 2.6) содержащую нелинейный индуктивный элемент, характеристика намагничивания которого B=B(H) представлена табл.2.4 [10].

 

Рис. 2.6. Электрическая цепь с нелинейным индуктивным элементом

Таблица 2.4

 

Марка стали ГОСТ № 11036 – 75	Коэрци-тивная сила в разом-кнутой цепи, А/м, не более	Магнитная индукция при напряженности магнитного поля в А/м в цепи, Тл, не менее
		200	300	500	1000	2500
10895	95,0	1,00	1,20	1,32	1,45	1,54

 

 

 

Кроме этого, в ряде расчетов используется обратная функция, что приводит к необходимости либо дополнительного интерполирования обратной функции, либо к расчету обратной зависимости, причем второй путь определения возможен в том случае, когда выражение для прямой функции имеет невысокий порядок, что не всегда позволяет обеспечивать заданную точность аппроксимации.  Система уравнений электрического состояния цепи имеет вид:

                ,                                         (2.13)

Данную систему уравнений можно переписать, положив:

                и  , получим

                                    (2.14)

Также, систему уравнений (2.13) можно представить и в виде                      

                            (2.15)        

Видно, что для решения систем дифференциальных уравнений (2.14) или (2.15) необходимо использовать аппроксимацию основной кривой намагничивания B(H).

Практика показывает, что использование сплайн - аппроксимации требует большего количества заданных точек по сравнению с табл. 2.4, что обусловлено большим расхождением между сплайном и истинной функцией в промежуточных точках (рис. 2.8). На этапе задания матрицы сплайна решение возможно с применением метода кусочно-линейной аппроксимации.

 

 

В этом случае в командной строке MatLab надо выполнить последовательность команд:

B=[0 0.5 1 1.2 1.32 1.4 1.45 1.5 1.54]; H=[0 100 200 300 500 800 1000 2000 2500].

B1=0:0.01:1.55 % задает последовательность B1 через 0.01

H1=spline(H,B,B1) % - определяет вектор H1

Коэффициенты сплайна в этом случае будут равны:

A=spline(H,B)

A.coefs – коэффициент сплайна a₃, a₂ a₁ a₀.

 

 

Листинг программы для расчета системы уравнений (2.14), (2.15) в пакете MatLab имеет форму m-файла рассмотренного в параграфе 2.1, но при расчете напряженности магнитного поля используется строка:

H=spline(B,H,y(1)),

где y(1) – индукция магнитного потока, Тл.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение аппроксимации.

2. Укажите преимущества и недостатки использования степенного полинома и гиперболической функции при аппроксимации основной кривой намагничивания.

3. Что такое сплайн-аппроксимация? Назовите преимущества и недостатки использования в качестве аппроксимирующего полинома сглаживающего сплайна третьей степени.

4. Укажите команду в программе MatLab для задания сплйн-функции.

5. Какие требования предъявляются к сплайн-аппроксимации.

 

3. СХЕМОТЕХНИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ В ПРОГРАММЕ MATLAB \ SIMULINK.