Интегрирование простейших иррациональных функций

Некоторые иррациональные и трансцендентные функции можно преобразовать к рациональным функциям и осуществлять интегрирование рациональных функций.

Определение. Преобразование подынтегральной функции в рациональную функцию с помощью определенных подстановок называется рационализацией интегралов.

Рационализация интеграла - это один из методов, с помощью которого устанавливается интегрируемость некоторых классов нерациональных функций.

Рассмотрим интегрирование некоторых простейших иррациональных функций.

Интеграл вида: , где подынтегральная функция является сложной функцией от аргумента и , где a,b,c,d,g- const, но

, N.

1. Такой интеграл рационализируется подстановкой:

.

2. Возведем обе части равенства в m степень:

.

3. Продифференцируем полученное выражение:

, .

4. Таким образом, рассматриваемый интеграл принимает вид:

= ,

где - рациональная функция от переменной t.

Итак, полученный интеграл вычисляется по правилам интегрирования рациональных функций. Переход к старой переменной осуществляется с помощью подстановки .

 

Интеграл вида: , где ,

– сложная функция от и .

1. В данном случае нельзя применить подстановку .

2. Рационализация данного интеграла достигается с помощью одной из трех подстановок Эйлера.

Модуль

Тема №8

Неопределенный интеграл и его основные методы интегрирования

Лекция №15

1. Три подстановки Эйлера.

2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций. Примеры.

3. Интегралы от некоторых показательных функций. Примеры.

Первая подстановка Эйлера

Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, механик, физик, астроном, член Петербургской академии наук.

1. Если а > 0, то применяется подстановка

.

2. Для определенности рассмотрим подстановку вида

.

3. Возведем в квадрат обе части записанного выражения, получим:

, .

4. Дифференцируем обе части записанного выражения:

или

.

5. Поэтому .

.

6. Так как теперь и радикал рационально выражаются через , то подставим в данный интеграл вместо и их значения:

=

где рациональная функция от переменной .

Вторая подстановка Эйлера

1. Если то для рационализации интеграла можно применить вторую подстановку Эйлера:

.

2. Рассмотрим для определенности подстановку

.

3. Возведем в квадрат обе части этого равенства, получим:

или или .

4. Отсюда .

5. Продифференцируем обе части выражения, получим:

,

или .

6. При этом ,

.

7. Тогда данный интеграл примет вид:

=

где рациональная функция от переменной .

Третья подстановка Эйлера

1. Если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни и , то считая мы получаем:

.

2. Следовательно, подынтегральная функция рационально зависит от и от радикала так, что

.

3. Таким образом, пришли к рассмотренному выше интегралу I типа, который рационализируется с помощью подстановки Эта подстановка и представляет собой третью подстановку Эйлера.

Замечание. 1. Формула таблицы основных интегралов

была получена с помощью первой подстановки Эйлера:

2. Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам. Поэтому их следует применять только, если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.