Импульсная характеристика (весовая функция)

 

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал . Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а )-в) показаны три импульса, имею-щих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

а) б) в) г)

 

δ(t)

 

0 t 0 t 0 t 0 t

 

Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевид-но, что высота импульса будет расти и в пределе ( когда ширина стремится к нулю) станет бес-конечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульс или дельта-функцию Дирака δ(t).Это идеальный(невозможный в реальной жизни)

 

сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0 , где он уходит к бесконечность, при-чем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

∞, t =0    
, δ(t) dt =1.  
δ(t)= 0, t ≠0  
    −∞  

Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрел-кой, высота которой равна единице (см. рисунок г).

 

Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигна-ла 1(t) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t , кроме нуля, где она

 

обращается в бесконечность.

 

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной ха-

 

рактеристикойи обозначаетсяw(t):

δ(t)     w(t)    
  δ(t)   w(t)    
  U    
         
        t  
  t  
 

Импульсная характеристика , так же, как и переходная характеристика, определяется при нуле-вых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.

 

Рассматривая дельта- функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единич-ной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Пусть ширина прямоугольного импульса равна ε , а высота – 1/ ε . Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых сигналов

 

x(t)= ε1[1(t)−1(t ε)] ,

 

где 1(tε) – это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t = ε , то есть, смещен по времени на ε (см. рисунок далее).


 


© К.Ю. Поляков, 2008

x(t)     1(t) 1(tε)  
1      
ε      
     
         
           

0 ε t 0 t ε

 

Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равен разности реакций системы на входы 1(t) и 1(tε) , умноженной на коэффициент 1/ ε . Учиты-

 

вая, что реакция на сигнал 1(t) – это переходная функция h(t) , получаем y(t)= ε1[h(t)− h(t ε)] .



Переходя к пределу при ε → 0 , наодим, что импульсная характеристика

w(t)=lim h(t)− h(tε) = dh(t) ,
ε→0 ε dt  
       

как оказывается, равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция – это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t:

h(t)=t w(τ).

 

 

Дифференцируя переходную характеристику (17) звена первого порядка, получаем соот-ветствующую импульсную характеристику:

 

  d       t   k     t  
w(t)=   k 1 −exp       =   exp   .  
         
                    T T  
  dt   T    

Другое название импульсной характеристики – весовая функция. Это название связано с тем, что для произвольного входного сигнала x(t) выход системы y(t) при нулевых начальных

 

условиях вычисляется как интеграл

y(t)=t x(τ) w(t τ)=x(t τ) w(τ).
−∞
Здесь функция w(t) как бы «взвешивает» входной сигнал x(t) в подынтегральном выражении.

 

Заметим, что импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку не учитывает ненулевые начальные условия.

 

В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невоз-можно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы, строго говоря, экспериментально не удается.

 

Передаточная функция

 

Вы уже знаете , выходной сигнал системы можно представить как результат действия не-которого оператора на ее вход. Для линейных моделей такой оператор можно записать сле-дующим образом.

 

Пусть модель объекта задана линейным дифференциальным уравнением второго порядка,

 

связывающим вход x(t) и выход y(t) :                  
b d 2 y(t) + b dy(t) + b y(t) = a dx(t) + a   x(t) (18)  
dt 2 dt      
1 dt        
где ai (i = 0,1) и bi (i = 0,1,2) – постоянные.                

 

 


© К.Ю. Поляков, 2008

Введем оператор дифференцирования p = dtd , который действует на сигнал x(t) по пра-

вилу p x(t) = dxdt(t) . Обратите внимание, что запись p x(t) обозначает не умножение оператора

p на x(t) ,а действие этого оператора,то есть дифференцирование x(t) .

 

Теперь запишем производные сигналов x(t) и y(t) по времени в операторной форме

 

& dy(t) && d 2 y(t) = p & dx(t) = px(t) .    
y(t)= dt = py(t), y(t) = dt 2   y(t), x(t)= dt    
Подставляя эти выражения в (18), получим                
  b p2 y(t)+b py(t)+b y(t)= a px(t)+ a x(t) . (19)
   
                               

Можно формально вынести за скобки y(t) в левой части равенства (19) и x(t) в правой части:

      (b p2 +b p +b ) y(t) = (a p + a ) x(t) . (20)  
               
Левая часть (20) означает, что оператор b p2 +b p +b действует на сигнал y(t) , а в правой час-  
                   
ти оператор a1 p + a0 действует на сигнал x(t) . «Разделив» (условно, конечно) обе части (20) на  
оператор b p2 +b p +b , связь выхода и входа можно записать в виде    
                     
      y(t)=   a1 p + a0   x(t)=W ( p) x(t) , (21)  
      b p2+ b p + b  
где запись W ( p) x(t)                  
означает не умножение, а действие сложного оператора    
        W ( p)=   a1 p + a0   . (22)  
        b p2+ b p + b  
                   
на сигнал x(t) . Иначе говоря, формула y(t)= W ( p) x(t) –это не что иное,как символическая  
запись уравнения (18), которую удобно использовать.        
Функция W ( p) называется передаточной функциейобъекта,который описывается  

 

уравнением (18). Она полностью описывает связи между выходом и входом объекта при нуле-вых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.

 

Часто передаточной функцией называют функцию W (λ) , которая получается из (22) в ре-

 

зультате замены оператора p на некоторую независимую переменную λ . Эта фукнция пред-ставляет собой отношение двух полиномов (многочленов) от λ .

 

Передаточная функция W (λ) называется правильной, если степень ее числителя не

 

больше,чем степень знаменателя;строго правильной,если степень числителя меньше степенизнаменателя; неправильной, если степень числителя больше, чем степень знаменателя. Напри-

мер, функция   – строго правильная и одновременно правильная;   λ   – правильная, но не  
λ +1 λ +1  
               
строго правильная (иногда такие функции называют биправильными), а λ2+ λ +1 – неправиль-  
ная.                     λ +1  
                       
Нулямипередаточной функции называются корни ее числителя,аполюсами–корни  
знаменателя. Например, функция W (λ) =   λ −1   имеет нуль в точке λ =1 и два полюса в  
+ 3λ +  
        λ            

точках λ = −1 и λ = −2 .

 

3.6. Преобразование Лапласа

3.6.1. Что такое преобразование Лапласа?

 

Одна из первых задач, которые были поставлены в теории управления – вычисление вы-хода системы при известном входе. Мы видели, что для ее решения нужно решать дифференци-


 


© К.Ю. Поляков, 2008

альные уравнения. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, кото-рое позволило заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычисле-ниями, то есть, операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями.

 

Для функции f (t) вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как L{ f (t)}:

F (s)=L{ f (t)}= f (t) est dt . (23)  
           
Функция F (s) называется изображением для функции f (t) (оригинала).Здесь s это ком-  
плексная переменная, которая выбирается так, чтобы интеграл (23) сходился3.    
Обратное преобразование Лапласа L -1{F(s)}позволяет вычислить оригинал f (t)по  
известному изображению F (s) :            
    σ + j      
f (t)=L- 1{F (s)}=   F (s) est ds , (24)  
     
  2π j σ j      

где j = −1 , а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился4.

На практике вместо интеграла (24) чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Например, изображения по Ла-

 

пласу для дельта-функции, единичного скачка и функции eat равны, соответственно

 

L{δ(t)}=1,L{1(t)}= 1 , L{eat}= . (25)  
s s + a  
           

 

3.6.2. Свойства преобразования Лапласа

 

Преобразование Лапласа имеет несколько замечательных свойств. Во -первых, используя (23) и (24), легко доказать, что принцип суперпозиции выполняется как для прямого, так и для обратного преобразования Лапласа:

 

L{f1(t)+f2(t)}=L{f1(t)}+L{f2(t)}, (26)
L -1{F (s) + F (s)} = L -1{F (s)} + L-1{F (s)}. (27)
 

Во-вторых, изображение для производной функции f (t) равно

Ldf(t)=sF(s)−f(0) ,

 

dt

 

где F (s) – изображение функции f (t) , и f (0) – ее значение5 при t = 0 . Поэтому при нулевых

 

начальных условиях изображение производной равно изображению самой функции,умножен-ному на s . Аналогично для построения изображения i -ой производной нужно умножить изо-

бражение функции на si (это также справедливо только при нулевых начальных условиях). Кроме того, с помощью преобразование Лапласа можно сразу найти начальное и конеч-

 

ное значенияфункции-оригинала(приt=0иt→∞),не вычисляя самого оригинала:

f (0)=lim s F (s) , f (∞)=lim s F (s) . (28)
s→∞ s→0  

 

 

3 Преобразование Лапласа определяется для функций ограниченного роста, таких что f (t) < Meαt , где M и α – постоянные, и α называется показателем роста функции f (t) . Для всех s, вещественная часть которых боль-

 

ше α ( в области Re s >α ) функция f (t)est затухает при t → ∞ и интеграл (23) сходится.

 

4 Постоянная σ должна быть больше, чем показатель роста α функции-оригинала f (t) . При этом можно пока-зать, что значение интеграла (24) не зависит от выбора σ .

5 Если функция имеет разрыв при t = 0 , нужно брать предел слева, то есть ее значение при бесконечно малом от-рицательном t .


 


                    © К.Ю. Поляков, 2008  
3.6.3. Снова передаточная функция              
Рассмотрим снова уравнение (18):                  
b d 2 y(t) + b dy(t) + b y(t) = a dx(t) + a x(t) (29)  
dt 2 dt dt  
       

Применим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа X (s)и выхода Y (s) :

  b s2Y (s) + bsY (s) + bY (s) = asX (s) + a X (s)        
                       
Можно вынести за скобки Y (s) в левой части и X (s) в правой части:          
    (b s 2 +b s +b ) ⋅Y (s) = (a s + a ) ⋅ X (s) .              
                       
Разделив обе части этого равенства на b s2 +b s +b , получаем              
                             
Y (s)=   a1s + a0     X (s)=W (s)⋅ X (s) , где W (s) = a1s + a0   . (30)  
b s2+b s +b        
                  b s2 +b s +b      
                     

Сравнение (22) и (30) показывает, что W (s) – это передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной s , а не от оператора дифференцирования p , как

 

в (22).

 

Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объек-

 

та вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигна-ла.

Из (30) следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изо-бражений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.

 

3.6.4. Пример

 

Рассмотрим пример использования преобразования Лапласа для вычисления выхода сис-темы при известном входном сигнале. Пусть объект управления описывается уравнением пер-вого порядка (16):

 

T dy(t) + y(t) = kx(t) (31)  
dt  
       

и на его вход поступает единичный ступенчатый сигнал x(t) = 1(t) . Требуется найти сигнал вы-хода y(t) , который в данном случае представляет собой переходную характеристику.

Решим эту задачу с помощью передаточных функций и изображений сигналов по Лапла-су. Чтобы найти изображение выхода по формуле (30), нужно знать изображение входного сиг-нала X (s) и передаточную функцию звена W (s) . Изображение входа находим по табличным

 

данным (см. (25)), а передаточную функцию – из (31), повторяя приведенные выше рассужде-ния:

 

X (s)= 1 , W (s) = k   .  
s Ts +1  
       

Теперь находим изображение выхода

 

Y (s)=1s Tsk+1= ks TskT+1.

и представляем его в виде суммы элементарных дробей:

 

Y (s)= ks s +k1/ T .

Используя принцип суперпозиции для изображений (27), вычисляем оригинал – сигнал выхода:

 

y(t)= k ⋅L −1 1   k ⋅L −1      
            .  
       
    s       s +1/T  

Обратные преобразования Лапласа находим по таблице (25):


 


© К.Ю. Поляков, 2008

    t    
y(t)= k k ⋅exp   при t > 0 ,  
   
    T    

что совпадает с (17). Таким способом можно вычислять реакцию системы на известный вход-ной сигнал без прямого решения дифференциального уравнения.

Применяя формулы (28) для вычисления начального и конечного значений сигнала выхо-

 

да y(t) :            
y(0)=lim s Y (s) ,   y(∞)=lim s Y (s) .  
s→∞         s→0  
При ступенчатом входном сигнале с изображением X (s) = 1 получаем  
y(0)=limW (s)   s  
, y(∞)=W (0) .  
    s→∞        
Таким образом, для рассмотренного выше примера  
y(0)=lim   k = 0 , y(∞)=W (0)= k .  
       
s→∞ Ts +1        

Значение W (0) называют статическим коэффициентом усиления звена, поскольку он пока-зывает, во сколько раз усиливается постоянный сигнал.

 









Последнее изменение этой страницы: 2016-04-06; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su не принадлежат авторские права, размещенных материалов. Все права принадлежать их авторам. Обратная связь