Задача восстановления функции по её производным

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные задачи математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, физике, технике приводят к обратной задаче: по данной функции f (x) найти функцию F (x), производная которой равна f (x).

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором множестве X, если для всех значений x Î X справедливо равенство: F ^'(x) = f (x).

Пример №1. Функция F(x) = sin x есть первообразная для функции , так как " x Î ℝ: (sin x)^'_x = cos x.

Пример №2. Функция F (x) = x ³ есть первообразная для функции .

Пример №3. Функция есть первообразная для функции , на интервале (-1;1), так как в любой точке этого интервала

.

Задача отыскания по данной функции f (x) её первообразной F (x) решаются неоднозначно.

Действительно, если F (x) – первообразная для функции f (x), т.е. F^' (x) =f (x), то и функция F (x) +С, где С – произвольная постоянная, также является первообразной для функции f (x), так как производная постоянной равна нулю, и для любого числа С.

Пример. Для функции первообразной является не только sin , но и функция , так как .

Теорема. Всякие две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную, определённую на одном и том же множестве X.

Доказательство

1) Пусть F₁ (x) и F₂ (x) – некоторые первообразные функции f (x), опре­деленные на промежутке X.

2) Введем вспомогательную функцию Ψ(x) = F₂ (x)- F₁ (x), и Ψ(x) – дифференцируема на X как производная разности двух дифференцируемых функций.

3) Причем, Ψ .

4) На основании следствия к теореме Лагранжа функция Ψ(x) будет являться постоянной, так как её производная равна нулю на X, следовательно, Ψ(x) =C.

5) Поэтому Ψ(x) можно представить в виде Ψ(x) = F₂ (x) - F₁ (x) = C, следовательно, F₂ (x) = F₁ (x) + C.

ч.т.д.

Следствие. Если F (x) – какая-либо первообразная функции f (x)на промежутке X, то совокупность всех первообразных функции f (x)на промежутке X совпадает со множеством функции { F (x) +C }, C Î ℝ, C – const. Множество первообразных функции { F (x) +C } обозначается F (x) +C, C – const.

Чтобы выделить определенную первообразную Ф (x) для f (x)из { F (x) +C }, необходимо наложить некоторое дополнительное условие на функцию Ф (x). Обычно это начальное условие, т.е. требование, чтобы функция Ф (x) имела в какой-либо фиксированной точке x₀ наперед заданное значение y₀:

F (x₀) +C = Ф (x₀) + y₀.

Неопределенный интеграл

Равенство F^' (x) = f (x) можно записать имеет место тогда и только тогда, когда dF (x) = f (x) dx. Поэтому первообразную функции f (x) называют первообразной дифференциальной формы, , т.е.

.

Определение №1. Если функция F (x) –первообразная функции f (x) на промежутке X, то множество функции F (x) +C, где C – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x)на этом промежутке X и обозначается символом = F (x) +C (читают: интеграл эф икс дэ икс), где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Символ обозначает всю совокупность всех первообразных для f (x) на X. Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т.е. как какую-нибудь из первообразных. Зная о том, что = , неопределенный интеграл можно записать в других эквивалентных формах .

Определение №2. Восстановлением функции по её производной или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.

Интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно, продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример №1. . Утверждение верно на любом промежутке из .

Пример №2. , верно на любом промежутке из .