Исследование термодинамических процессов

 

Состояние газа можно изменить двумя путями: сообщить ему или отвести от него теплоту, путем сжатия или расширения. При этом важно знать, как в том или ином процессе распределяется теплота между внутренней энергией и работой, а также каково изменение параметров. Анализ процессов необходимо проводить в следующей последовательности:

1. Записать характерную особенность процесса.

2. Вывести уравнение процесса.

3. Установить связь между термодинамическими параметрами.

4. Изобразить процесс графически в координатах pv и Ts.

5. Определить теплоту, изменение внутренней энергии, энтальпии, энтропии, работу и теплоемкость.

6. Определить долю теплоты, которая расходуется на увеличение внутренней энергии и долю теплоты, которая идет на совершение внешней работы.

Изменение внутренней энергии для всех процессов определяется по формуле du = c_νdT, а энтальпии – dh = c_pdT.

Изохорный процесс

 

1. Характерной особенностью процесса является то, что он осуществляется при постоянном объеме, т.е. ν = const.

2. Уравнение состояния процесса получим из уравнения состояния идеального газа (1.8): p/T = const.

3. Таким образом, между давлением и температурой в изохорном процессе существует прямо пропорциональная зависимость: p₂/p₁ = = T₂/T₁.

4. Графическое изображение изохорного процесса в pv и Ts диаграммах представлено на рис. 3.1.

5. Определение теплоты и изменения энтропии процесса:

– теплоту, подводимую к системе, определим, используя математическую формулировку первого закона термодинамики (2.5) dq = du + + pdν. В изохорном процессе dν = 0, поэтому dq = du;

– в изохорном процессе отношение ν₂/ν₁ = 1, поэтому уравнение (2.30) принимает вид s₂ – s₁ = c_νln(T₂/T₁), или в дифференциальной форме

ds = c_νdT/T. (3.1)

 

 

Рис. 3.1. Изображение изохорного процесса в pν- и Ts-диаграммах

 

6. В изохорном процессе объем не изменяется и работа равна нулю.

7. Теплоемкость изохорного процесса принято обозначать с_ν.

8. Доля теплоты, расходуемая на увеличение внутренней энергии, определяется по формуле α = du/δq, т.к. в изохорном процессе dq = du, получим α = 1, т.е. вся подведенная к термодинамической системе теплота идет на изменение внутренней энергии. Долю теплоты, которая идет на совершение внешней работы, можно определить по формуле α' = δl/δq = 1 – α. Учитывая, что α = 1, получим α' = 0.

Изобарный процесс

 

1. Характерной особенностью процесса является то, что он осуществляется при постоянном давлении, т.е. p = const.

2. Уравнение состояния процесса получим из уравнения состояния идеального газа (1.8): ν/T = const.

3. Таким образом, между объемом и температурой в изобарном процессе существует прямо пропорциональная зависимость: ν₂/ν₁ = = T₂/T₁.

4. Графическое изображение изобарного процесса в pν- и Ts-ди­аграммах показано на рис. 3.2.

5. Определение теплоты и изменения энтропии процесса:

– теплоту определим из уравнения (2.24): Δq = dh – νdp.

В изобарном процессе dp = 0, поэтому вся подвденная теплота идет только на изменение энтальпии: δq = dh;

 

Рис. 3.2. Изображение изобарного процесса в рv- и Ts-диаграммах

 

– в изобарном процессе p₂/p₁ = 1, поэтому уравнение (2.31) в дифференциальной форме принимает вид ds = c_pdT/T.

6. Работа процесса определяется интегрированием выражения dl = pdν в пределах от ν₁ до ν₂:

l = p(ν₂ – ν₁). (3.2)

7. Теплоемкость изобарического процесса обозначают c_p.

8. Доля теплоты, которая расходуется на увеличение внутренней энергии: α = 1/к, доля теплоты, которая идет на выполнение внешней работы: α' = 1 – 1/к = (к – 1)/к.

Изотермический процесс

 

1. Характерная особенность процесса: T = const.

2. Уравнение состояния процесса: pν = const.

3. Связь между объемом и давлением имеет вид: ν₂/ν₁ = p₁/p₂.

 

Рис. 3.3. Изображение изотермического процесса в рv- и Ts-диаграммах

 

4. Графическое изображение изотермического процесса в pν- и Ts-диаграммах представлено на рис. 3.3.

5. Определение теплоты и изменения энтропии процесса:

– теплота процесса равна работе: δq = δl = pdν;

– из уравнений (2.30) и (2.31): учитывая, что T₂/T₁ = 1, s₂ – s₁ = = Rln(ν₂/ν₁) = –Rln(p₂/p₁) или в дифференциальной форме:

ds = Rlnν = –Rlnp. (3.3)

6. Работу изотермического процесса определяют по формуле

L = RTln(ν₂/ν₁) = RTln(p₁/p₂). (3.4)

7. Теплоемкость изотермического процесса равна ¥.

8. Доля теплоты, которая расходуется на увеличение внутренней энергии: α = du/δq = 0/δq = 0, доля теплоты, которая идет на выполнение внешней работы: α' = 1 – 0 = 1. Таким образом, вся подведенная в изотермическом процессе теплота идет на выполнение работы.

Адиабатный процесс

1. Характерной особенностью процесса является то, что он осуществляется при отсутствии теплообмена системы с внешней средой: δq = 0.

2. Уравнение состояния процесса:

pv^к = const. (3.5)

3. Связь между давлением и объемом: p₁ν₁^к = р₂ν₂^к, или

р₂/р₁ = (ν₁/ν₂)^к. (3.6)

Связь между температурой и объемом:

Т₂/Т₁ = (ν₁/ν₂)^к–1. (3.7)

Связь между давлением и температурой:

. (3.8)

4. Графическое изображение адиабатного процесса в рν- и Ts-диаграммах представлено на рис. 3.4.

 

Рис. 3.4. Изображение адиабатного процесса в рv- и Ts-диаграммах

 

5. Определение теплоты и изменения энтропии процесса:

– из характеристики адиабатного процесса: δq = 0;

– изменение энтропии системы:

ds = 0. (3.9)

6. Работа адиабатного процесса определяется по одной из формул:

l = (p₁ν₁ – p₂ν₂)/(к – 1); l = RT₁[1 – p₂/p₁)^{(к – 1)/к}/(к – 1). (3.10)

7. Теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.

8. Доля теплоты, которая расходуется на увеличение внутренней энергии: α = du/0 = ∞, долю теплоты, которая идет на выполнение внешней работы: α' = 1 – ∞ = –∞.

Политропный процесс

 

1. Характерной особенностью процесса является то, что он осуществляется при постоянной теплоемкости с и постоянном показателе политропы n.

2. Уравнение состояния процесса:

Pνⁿ = const. (3.11)

3. Связь между давлением и объемом: p₁ν₁ⁿ = р₂ν₂ⁿ, или

р₂/р₁ = (ν₁/ν₂)ⁿ. (3.12)

Связь между температурой и объемом:

Т₂/Т₁ = (ν₁/ν₂)^{(n – 1)/n}. (3.13)

Связь между давлением и температурой:

Т₂/Т₁ = (p₂/p₁)^{n – 1}. (3.14)

В формулах (3.11)–(3.14) n = (c – c_p)/(c – c_ν) – показатель политропы.

Из уравнения политропного процесса, задавая показателю политропы значения, получим: n = 0, p = const – изобарный процесс; n = 1, pν = const – изотермический процесс; n = к, pν^к = const – адиабатный процесс; n = ∞, ν = const – изохорный процесс.

4. Графическое изображение политропного процесса в pν- и
Ts-диаграммах представлено на рис. 3.5 n = ±∞.

 

Рис. 3.5. Изображение политропных процессов в рv- и Ts-диаграммах

5. Определение теплоты и изменения энтропии процесса:

– теплота в политропном процессе: ∆q = c_ν(n – к)dT/(n – 1);

– изменение энтропии системы:

ds = cdT/T. (3.15)

6. Работа политропного процесса (но вместо показателя адиабаты к необходимо подставлять показатель политропы n):

l = (p₁ν₁ – p₂ν₂)/(n – 1); l = RT₁[1 – p₂/p₁)^{(n – 1)/n}/(n – 1). (3.16)

7. Теплоемкость политропного процесса:

с = с_ν(n – к)/(n – 1). (3.17)

Анализ уравнения (3.17) показывает, что в диапазоне 1 < n < ктеплоемкость отрицательна, при этом δQ и dT имеют разные знаки. Работа совершается при подводе теплоты по всем политропам диапазона, кроме адиабаты, т.е. изменение теплоты положительно. Температура рабочего тела в процессе расширения понижается и, таким образом, изменение температуры является отрицательной величиной.

8. Доля теплоты, которая расходуется на увеличение внутренней энергии: α = (n – 1)/(n – к), а доля теплоты, которая идет на выполнение внешней работы: α' = (1 – к)/(n – к).

Примеры решения задач

Задача 1. В изобарном процессе к термодинамической системе, рабочим телом в которой является СО₂, подводится теплота в количестве q = 50 кДж/кг. Определить количество теплоты, расходуемое на выполнение работы и на изменение внутренней энергии.

Решение. Доля теплоты, расходуемой на изменение внутренней энергии, в изобарном процессе определяется по формуле α = 1/к. Для трех и более атомных газов показатель адиабаты к = 1,29. Следовательно, доля теплоты на изменение внутренней энергии составит
α = 1/1,29 = 0,775. При этом на изменение внутренней энергии будет израсходовано ∆u = q · α = 50 · 0,775 = 38,75 кДж/кг, а на работу l = q –
– ∆u = 50 – 38,75 = 11,25 кДж/кг.

Задача 2. В закрытом сосуде емкостью 0,5 м³ содержится азот при абсолютном давлении 0,5 МПа и температуре 15ºС. Определить абсолютное давление и температуру в сосуде после подвода к азоту 750 кДж тепла. Теплоемкость азота постоянна.

Решение. Процесс изохорный. Массу азота в сосуде определяем по формуле m = p₁V/RT₁. Молярная масса азота равна 28, получим R_N2 = 8314/28 Дж/(кг·К). После подстановки в формулу для определения m численных значений входящий в нее величин получим m = 0,5 х
х 10⁶ · 0,5/(297 · 288) = 2,92 кг. Температура азота в конце процесса T₂ = = Q/(mc_ν) + T₁ = 750 · 28/(2,92 · 20,9) + 288 = 632 К.

Определяем абсолютное давление в конце процесса:

р₂ = Т₂ · р₁/Т₁ = 632 · 0,5/288 = 1,1 МПа.

Второй закон термодинамики