Относительный угол закручивания:

 

Работа внешних нагрузок равна 0.5 умножить на внешний момент умножить на угол поворота.

28. Геометрические характеристики плоских фигур – основные понятия, определение положения центра фигуры.

  - центр тяжести.

 - площадь поперечного сечения.

 - статический момент относительно оси X.

 - статический момент относительно оси Y.

Осевые моменты инерции:

 - осевой момент относительно X.

 - осевой момент относительно Y.

 - центробежный момент инерции.

 - полярный момент инерции.

Координаты центра тяжести: .

Моменты инерции – величины аддитивные.

1. Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее частей.

2. Момент инерции фигуры равен моменту инерции ее наружного контура минус момент инерции фигур-вырезов.

Эти свойства также справедливы для статических моментов.

Изменение моментов инерции плоской фигуры при параллельном переносе осей.

 

Решение:

Момент относительно X:

Момент относительно Y:

Если оси x1 и y1 – центральные (точка О1 совпадает с центром тяжести), то статические моменты  и  равны нулю.

 

Теорема Штейнера: Вывод: минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (а=0 или b=0). Удаление рассматриваемой оси от центральной увеличивает момент инерции.

30. Изменение моментов инерции плоской фигуры при повороте осей. Главные оси и главные осевые моменты инерции (вывод формул для определения положения и величин главных осевых моментов инерции).

 

Решение:

Найдем экстремум функции , то есть найдем такой угол , при котором  достигает максимума или минимума.

 

 

 

Так как , то  при угле  также примет экстремальное значение.

Найдем угол , при котором центробежный момент  обращается в ноль:

.

Значит, для точки О на плоскости существует только одна пара координатных осей, относительно которых моменты инерции фигуры принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции обращается в ноль. Этот момент называется главным.

31. Моменты инерции простейших фигур (вывод формул для круга, прямоугольника, треугольника).

Прямоугольник:

 

Треугольник:

Круг:

Напряжения в наклонных площадках стержня при кручении (вывод формул).

Условия равновесия части элементарного объема под наклонной площадкой:

При кручении круглого хрупкого образца образуется большое количество трещин от растяжения, ориентированных под 45 градусов к оси.

       При разрушении, микротрещины сливаются в макротрещины с образованием винтовой линии под 45 градусов.

Прямой

. Вывод зависимостей для определения напряжений в поперечном сечении стержня и кривизны оси изогнутого стержня.

       Деформации слоев балки при ее чистом изгибе в плоскости рисунка возникают в результате взаимного поворота плоских поперечных сечений.

Изгиб – вид нагружения, при котором все внутренние силы в поперечном сечении приводятся к паре сил, действующих в плоскости, перпендикулярной плоскости поперечного сечения и силе, действующей в плоскости сечения.

 Главная плоскость – плоскость, проходящая через ось стержня и одну из главных осей.

Классификация изгибов:

1. Прямой – плоскость действия момента совпадает с главной плоскостью.
Косой – не совпадает.

2. Чистый – есть только изгибающий момент.
Поперечный – действуют момент и поперечная сила.

Часть продольных слоев балки растягивается, часть – сжимается. Их разделяет нейтральный слой, длина которого неизменна.

Косой изгиб – совокупность 2 прямых изгибов.

       Гипотеза о плоских сечениях: сечения, плоские и нормальные к оси бруса до деформации остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформации.

       Гипотеза о ненадавливании продольных слоев друг на друга: в продольных сечениях нормальные напряжения равны нулю.

       Бесконечно близкие поперечные сечения 1-1 и 2-2 взаимно поворачиваются, оставаясь плоскими.

       Продольная деформация  в произвольном слое на расстоянии y от нейтрального: .

По закону Гука для одноосного напряженного состояния: .

Внутренний изгибающий момент: .

Положение нейтральной линии:

нейтральный слой, от которого отсчитывается координата y, проходит через центр тяжести поперечного сечения стержня.