Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Элементы математической статистики.

Теорию вероятностей можно определить как раздел математики, в котором изучаются закономерности присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих задачах экономики, статистики, страхового дела, массового обслуживания.

Вероятность – одно из основных понятий т.в. Существует несколько определений этого понятия. Приведем то, которое принято называть классическим.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 – красные, 3 – синие, 1 – белый. Возможность вынуть из урны цветной шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Эту возможность можно охарактеризовать числом, которое и называют вероятностью события (появление цветного шара). Т.о., вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р(А) = m/n, m- число иcходов, благоприятствующих А; n- число всех возможных исходов испытания.

Основные формулы комбинаторики

а) перестановки .

б) размещения

в) сочетания .

Классическое определение вероятности.

, где - число благоприятствующих событию исходов, - число всех элементарных равновозможных исходов.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

,

- условная вероятность события при условии, что произошло событие ,

- условная вероятность события при условии, что произошло событие .

Формула полной вероятности

, где - полная группа гипотез, то есть , - достоверное событие.

6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

, где - полная группа гипотез.

Формула Бернулли

- вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании.

 

 

Решение типовых примеров

Пример 1. Даны два комплексных числа z₁ = 2 – j 7 и z₂ = 3 + j5. Требуется:

1) найти комплексные числа z = z₁ + z₂, u = z₁ – z₂, записав их в алгебраической форме;

2) найденные z₁, z₂, z, u изобразить на комплексной плоскости;

3) комплексные числа v =z₁ ∙ z₂, w =z₁: z₂  записать в тригонометрической и показательной формах.

Решение. 1). Для того, чтобы найти z = z₁ + z₂ в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел z₁ и z₂: z = (2 – j 7) + (3 + j5) = (2 + 3) + j(–7 + 5) =5–j2. При нахождении числа u = z₁ – z₂ вычитаем  действительные и мнимые части чисел z₁ и z₂:

u = z₁ – z₂ = (2 – j 7) – (3 + j5) = (2–3) + j(–7–5) = –1–j12.

 

2). Вектор, соответствующий числу z, строим как сумму векторов z₁ и z₂ по правилу параллелограмма, а вектор, соответствующий числу u, строим как сумму векторов z₁ и (– z₂).

 

3). Найдем модуль r и аргумент φ чисел z₁ и z₂.

  z₁ = 2 – j 7, число принадлежит IVчетверти, значит φ₁ = – arctg  = – arctg3,5 – 74,05°.

r₁ =  =  = .

z₂ = 3 + j5, число принадлежит I четверти, значит φ₂ = arctg arctg 1,6667 59,04°.

r₂ =  =  5,83.

Запишем числа z₁ и z₂ в показательной z = r e^jφ и тригонометрической  z = r (cosφ + j sinφ) формах: z₁ = 8,06e^-j74,05°, z₁ = 8,06(cos (–74,05 °)+ j sin (–74,05 °))

          z₂ = 5,83e^j59,04°, z₂ = 5,83(cos 59,04 ° + j sin 59,04 °).

 

Найдем произведение и частное этих чисел: v = z₁∙ z₂ = 8,06∙5,83e^{j(-74,05°+59,04°)} = 46,99e^-j15,01° =

 46,99(cos(–15,01°) + j sin(–15,01°));

w = z₁: z₂ = 8,06:5,83e^{j(-74,05°-59,04°)} = 1,38e^-j133,09° = 1,38(cos(–133,09°) + j sin(–133,09°)).

Пример 2. Вычислить производную функции y=(3x³-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 2, y'=(3x³-2x+1)'×sin x + (3x³-2x+1)×(sin x)' =

= (9x²-2)sin x + (3x³-2x+1)cos x.

Пример 3. Найти производную сложной функции y= , u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'_x =y '_u u'_x =( )'_u(x⁴ +1)'_x =(2u + . Так как u=x⁴ +1, то y'_x=(2 x⁴ +2+ .

Пример 4. Решить уравнение y' = xy

Решение. Производную функции y' заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 5. Найти частное решение уравнения

2yy' = 1- 3x², если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+ C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или