Производные основных элементарных функций

 

Интеграл и его приложения

Интегральное исчисление - это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.
      Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов. Рассматриваемая в интегральном исчислении математическая операция (обратная к дифференцированию) называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

     Если F (x) - первообразная для f (x) на промежутке X, то множество всех первообразных для f (x) имеет вид F (x) + C, где C - любое действительное число.
     Этомножество называют неопределенным интегралом функции y = f (x) и обозначают
f(x)dx: f(x)dx=F(x)+C

Табличные интегралы

 

 

Правила интегрирования

Дифференциальные уравнения.

Многочисленные задачи естествознания, техники и других областей знания сводятся к тому, что по заданным свойствам некоторого процесса или явления необходимо найти математическую модель самого процесса в виде формулы, связывающей переменные величины, т.е. в виде функциональной зависимости.

Уравнения, в которых содержатся производные или дифференциалы искомых функций, называются дифференциальными. Они являются мощным средством познания окружающего нас мира. Дифференциальное уравнение - это как бы мгновенный снимок процесса в данный момент времени, интегрируя дифференциальное уравнение, мы по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса в целом.

Уравнения вида dy / dx = f (x)/ g (y) можно решить, записав его в дифференциалах g (y) dy = f (x) dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy / dx = x / y имеем f (x) = x, g (y) = y. Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y ² = x ² + c.

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от y и dy. Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.