Элементы теории вероятностей.

Задачи теории вероятностей. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения. События и их виды. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Основные аксиомы теории вероятностей. Повторение независимых испытаний. Случайные величины – дискретные и непрерывные. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства. Понятие о равномерном и нормальном законах распределения случайных величин, плотности распределения. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал.

Элементы математической статистики.

 

Область применения и задачи математической статистики. Понятие о генеральной совокупности и выборке, представительность выборки, способы её отбора. Статистическое распределение выборки. Первичная обработка статистических данных, элементы выборки,

формирование вариационного ряда. Статистическая оценка параметров распределения, формулы для их вычисления. Понятие о статистической проверке гипотез.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Задание 1

 

1.1. – 1.10. Выполните действия в алгебраической форме. Результат запишите в тригонометрической и показательной формах:

 

1.1. .	1.6. .
1.2. .	1.7. .
1.3. .	1.8. .
1.4. .	1.9. .
1.5. .	1.10. .

 

1.11. – 1.14. Выполните действия в тригонометрической форме. Результат запишите в алгебраической и показательной формах:

1.11. 4(cos 220^o + i sin 220^o) · 1,5(cos 20^o + i sin 20^o).

1.12. 3(cos 280^o + i sin 280^o): (cos 70^o + i sin 70^o).

1. 13. (2(cos 50^o + i sin 50^o))⁶

1.14. 3(cos 340^o + i sin 340^o): (cos 25^o + i sin 25^o).

 

1.15 – 1.20. Запишите комплексное число в тригонометрической и алгебраической формах:

1.15 .	1.18
1.16	1.19
1.17	1.20

Задание 2

 

2.1. Найдите производную функции =   и вычислите

2.2. Найдите производную функции =   и вычислите

2.3. Найдите производную функции у =   и вычислите

2.4. Найдите производную функции s =   и вычислите

2.5. Найдите производную функции =   и вычислите

2.6. Найдите производную функции =   и вычислите

2.7. Найдите производную функции =   и вычислите

2.8. Найдите производную функции =   и вычислите

2.9. Найдите производную функции у = tg² x – ctg² x и вычислите

2.10. Найдите производную функции у =  sin⁴ x cos 4x и вычислите

2.11. Найдите производную функции s =   и вычислите

2.12. Найдите производную функции =   и вычислите

2.13. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

2.14. Найдите производную функции у =   и вычислите

2.15. Найдите производную функции =   и вычислите

2.16. Найдите производную функции =   и вычислите

2.17. Найдите вторую производную функции у =   и вычислите

2.18. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

2.19. Найдите производную функции =   и вычислите

2.20. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

Задание 3

 

3.1. – 3.20. Найдите неопределённые интегралы:

 

3.1. а)	б)
3.2. а)	б) .
3.3. а)	б)
3.4. а)	б)
3.5. а)	б)
3.6. а)	б)
3.7. а)	б)
3.8. а)	б)
3.9. а)	б)
3.10. а)	б)
3.11. а)	б)
3.12. а)	б)
3.13. а)	б)
3.14. а)	б)
3.15. а)	б)
3.16. а)	б)
3.17. а)	б)
3.18. а)	б)
3.19. а)	б)
3.20. а)	б)

 

 

Задание 4

 

4.1. – 4.20. Вычислите определённые интегралы:

 

4.1. а)	б)   х ^3 dx.
4.2. а)	б)  .
4.3. а)	б)  .
4.4. а)	б)  .
4.5. а)	б)  .
4.6. а)	б)   dx.
4.7. а)	б)   dx.
4.8. а)	б)  .
4.9. а)	б)  .
4.10. а)	б)  .
4.11. а)	б) dx.
4.12. а)	б)  .
4.13. а)	б) dx.
4.14. а)	б)  .
4.15. а)	б)  .
4.16. а)	б) dx.
4.17. а)	б) dx.
4.18. а)	б)  .
4.19. а)	б) dx.
4.20. а)	б) dx.

Задание 5

5.1. – 5.20. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый i-ый элемент работает независимо от других с вероятностью p_i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). p₁ = 0,7, p₂ = 0,7, p₃ = 0,6, p₄ = 0,8, p₅ = 0,5, p₆ = 0,9.

5.1.	5.11.
5.2.	5.12.
5.3.	5.13.
5.4.	5.14.
5.5.	5.15.
5.6.	5.16.
5.7.	5.17.
5.8.	5.18.
5.9.	5.19.
5.10.	5.20.

 

Задание 6

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

6.1. 

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1

 

6.2.

Y	-4	-2	-14	1	2	4
p	0,1	0,2	0,1	0,3	0,2	0,1

 

6.3.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.4.

Y	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0	0,3	0,1

 

6.5.

Y	-2	-1	0	1	2
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.6.

Y	-1	-0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.7.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1

 

6.8.

Y	-3	-2	-1	0	1	2
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.9.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,4	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1

 

6.10.

Y	-4	-2	-1	1	2	3
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.11.

Y	-1	-0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.12.

Y	-2	-1	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.13.

Y	-4	-2	-14	1	2	4
p	0,1	0,2	0,1	0,3	0,2	0,1

 

6.14.

Y	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

6.15.

Y	-4	-1	1	2	4
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

6.16.

Y	1	2	3	4	5
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

 

6.17.

Y	-1	1	2	5	6
p	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

 

6.18.

Y	2	5	6	7	10
p	0,2	0,1	0,1	0,5	0,1

 

6.19.

Y	-2	-1	1	2	4
p	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

 

6.20.

Y	2	4	6	8	9
p	0,2	0,1	0,1	0,5	0,1

 

Задание 7

 

7.1.– 7.20. Даны два комплексных числа z₁ и z₂. Требуется:

1) найти комплексные числа z = z₁ + z₂, u = z₁ – z₂, записав их в алгебраической форме;

2) найденные z₁, z₂, z, u изобразить на комплексной плоскости;

3) комплексные числа v = z₁ ∙ z₂, w = z₁: z₂  записать в тригонометрической и показательной формах.

7.1. z1 = –2 – j1,5; z2 =4 + j5	7.11. z1 = 2 – j1,5; z2 = 4 – j3
7.2. z1 = –4 +j3;  z2 = 6 + j8	7.12. z1 = 3 + j4;  z2 = – 6 + j3
7.3. z1 = –4 – j3;  z2 = –6 + j8	7.13. z1 = –10+ j; z2 = 7 + j8.
7.4. z1 = 7 – j8;    z2 = 10 + j11	7. 14. z1 = 7 – j8;  z2 =–2 + j1,5
7.5. z1 = 6 – j5;    z2 = 9 + j10	7. 15. z1 = –10+ j11; z2 =–5 – j4
7. 6. z1 = 4 – j5;    z2 = 4 + j5	7. 16. z1 = –6 – j5; z2 =9 – j10
7.7. z1 = 5 – j4;    z2 = 4 + j5	7. 17. z1 = 4 – j3;   z2 = 5 – j4
7.8. z1 = 2 – j1,5; z2 = 4 + j3	7. 18. z1 = –4 – j3; z2 = 6 + j8
7.9. z1 = 3 – j4;   z2 = 6 + j8	7. 19.  z1 = 7 – j8; z2 = 10 – j11
7.10. z1 = 4 – j3; z2 = 6 + j8	7. 20. z1 = –4 +j3; z2 = –6 + j8

 

 

Задание 8

 

8.1. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым)?

8.2. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8.3. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

8.4. В урне лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Какова веро-ятность вынуть наудачу два белых шара?

8.5. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

8.6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса?

8.7. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

8.8. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

8.9. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?

 

8.10. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

 

 

 

Методические указания к выполнению контрольной работы

Числовые системы

Уравнение вида х² + 1 = 0 не имеет решений на множестве R действительных чисел. Поэтому множество R приходится расширять до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида х² + а² = 0 имели решение.

х² + 1 = 0 => х² = - 1 – мнимая единица, обозначение: j ² = -1.

Комплексным числом называется выражение вида z = а + jb, а – действительная часть комплексного числа, а число jb – мнимая часть.

Свойства комплексных чисел: 1. а₁ + jb₁ = а₂ + jb₂, если а₁= а₂, b₁= b₂.

                                                2. z = 0 + j0 = 0 – нуль. 

3. z = а + j0 = а.

4. z = 0 + jb = jb – чисто мнимое число.

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Ось Х – действительная ось, соответствует

числу а, ось У – мнимая ось, соответствует числу b.

 Модуль комплексного числа:

r = ׀ z ׀ =  

 Аргумент комплексного числа:

 arg z = φ – угол между положительным направлением оси Х (абсцисс) и вектором, соответствующим комплексному числу.

 

 

 

Алгоритм нахождения аргумента числа z = а + j b.

1. находим α = arсtg ׀  ׀

2. определяем в какой четверти находится число z по таблице:

    

	b>0	b<0
a> 0	Iч	IIIч
a<0	IIч	IVч

3. вычисляем φ: если z лежит в I четверти, то φ = α,

                          если z лежит во II четверти, то φ = π - α,

                          если z лежит в III четверти, то φ = π + α,

                          если z лежит в IV четверти, то φ = 2 π – α.

Формы записи комплексных чисел.

1. алгебраическая: z = а + jb, где а и b – действительные числа;

2. тригонометрическая: z = r (cos φ + j sin φ  ), где r – модуль комплексного числа, φ – аргумент.

3. показательная: z = r e^jφ, где r – модуль комплексного числа, φ – аргумент.

Действия над комплексными числами.

1. В алгебраической форме правила те же, что и на множестве R. При делении числитель и знаменатель домножаются на число, сопряженное знаменателю.

2. В тригонометрической форме:

z₁ = r₁ (cos φ₁ + j sin φ₁), z₂ = r₂ (cos φ₂ + j sin φ ₂)

а) z₁٠ z₂ = r₁ ٠ r₂ (cos(φ₁+ φ ₂)+ j sin(φ₁+ φ ₂))

б)       =         (cos(φ₁- φ ₂)+ j sin(φ₁- φ ₂))

в) zⁿ = rⁿ (cos nφ + j sin nφ) 

г) арифметический корень, k=0, 1, 2, …,n-1.

3. В показательной форме:

   z = r₁ e^jφ, z₂ = r e^jφ

а) z₁٠ z₂ = r₁ ٠ r₂ e^j(φ+φ)

б)        = e^j(φ-φ)

 в) zⁿ = rⁿ ٠ e^jnφ

г), k=0, 1, 2, …,n-1.

При переводе из тригонометрической и показательной форм в алгебраическую используются формулы: a = r ٠cos φ

               b = r ٠ sin φ.

 

Производная и её приложения

Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Пусть функция y =  определена на некотором интервале (a;b). Проделаем следующие операции:

- аргументу x (a;b) дадим приращение (a;b);

- найдем соответствующее приращение функции: ;

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ;

- найдем предел этого отношения при .

Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов .

Производной функции y =  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 или = .

Функция y = , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции  и  - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции. Тогда: 1.

            2.

            3.  где с = const;

            4. .

Производная сложной функции. Если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то .