Для выполнения контрольной работы

Методические указания

Для выполнения контрольной работы

по дисциплине

МАТЕМАТИКА

ЕН.01.Математический и общий естественнонаучный цикл

 

для специальностей

Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Механизация сельского хозяйства»

Числовые системы

 

Развитие понятия числа. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

 

Производная и её приложения

 

Свойства и графики основных элементарных функций. Понятия предела и непрерывности функции в точке. Основные свойства предела.

Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов. Производная, её геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Вторая производная и её физический смысл. Выпуклость, точки перегиба графика функции. Исследование функций и построение графиков. Задачи на наибольшее и наименьшее значение.

 

Интеграл и его приложения

 

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование подстановкой.

Определённый интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.

Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла. Применение интеграла к решению физических задач.

Дифференциальные уравнения.

 

Определение дифференциального уравнения, порядок уравнения. Начальные условия. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными, техника их решения. Примеры уравнений I порядка, имеющих решения. Дифференциальные уравнения II порядка вида = с, = х, = sin x и т.п. Краткие сведения о возможностях применения дифференциальных уравнений к решению прикладных задач.

 

Элементы математической статистики.

 

Область применения и задачи математической статистики. Понятие о генеральной совокупности и выборке, представительность выборки, способы её отбора. Статистическое распределение выборки. Первичная обработка статистических данных, элементы выборки,

формирование вариационного ряда. Статистическая оценка параметров распределения, формулы для их вычисления. Понятие о статистической проверке гипотез.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Задание 1

 

1.1. – 1.10. Выполните действия в алгебраической форме. Результат запишите в тригонометрической и показательной формах:

 

1.1. .	1.6. .
1.2. .	1.7. .
1.3. .	1.8. .
1.4. .	1.9. .
1.5. .	1.10. .

 

1.11. – 1.14. Выполните действия в тригонометрической форме. Результат запишите в алгебраической и показательной формах:

1.11. 4(cos 220^o + i sin 220^o) · 1,5(cos 20^o + i sin 20^o).

1.12. 3(cos 280^o + i sin 280^o): (cos 70^o + i sin 70^o).

1. 13. (2(cos 50^o + i sin 50^o))⁶

1.14. 3(cos 340^o + i sin 340^o): (cos 25^o + i sin 25^o).

 

1.15 – 1.20. Запишите комплексное число в тригонометрической и алгебраической формах:

1.15 .	1.18
1.16	1.19
1.17	1.20

Задание 2

 

2.1. Найдите производную функции =   и вычислите

2.2. Найдите производную функции =   и вычислите

2.3. Найдите производную функции у =   и вычислите

2.4. Найдите производную функции s =   и вычислите

2.5. Найдите производную функции =   и вычислите

2.6. Найдите производную функции =   и вычислите

2.7. Найдите производную функции =   и вычислите

2.8. Найдите производную функции =   и вычислите

2.9. Найдите производную функции у = tg² x – ctg² x и вычислите

2.10. Найдите производную функции у =  sin⁴ x cos 4x и вычислите

2.11. Найдите производную функции s =   и вычислите

2.12. Найдите производную функции =   и вычислите

2.13. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

2.14. Найдите производную функции у =   и вычислите

2.15. Найдите производную функции =   и вычислите

2.16. Найдите производную функции =   и вычислите

2.17. Найдите вторую производную функции у =   и вычислите

2.18. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

2.19. Найдите производную функции =   и вычислите

2.20. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

Задание 3

 

3.1. – 3.20. Найдите неопределённые интегралы:

 

3.1. а)	б)
3.2. а)	б) .
3.3. а)	б)
3.4. а)	б)
3.5. а)	б)
3.6. а)	б)
3.7. а)	б)
3.8. а)	б)
3.9. а)	б)
3.10. а)	б)
3.11. а)	б)
3.12. а)	б)
3.13. а)	б)
3.14. а)	б)
3.15. а)	б)
3.16. а)	б)
3.17. а)	б)
3.18. а)	б)
3.19. а)	б)
3.20. а)	б)

 

 

Задание 4

 

4.1. – 4.20. Вычислите определённые интегралы:

 

4.1. а)	б)   х ^3 dx.
4.2. а)	б)  .
4.3. а)	б)  .
4.4. а)	б)  .
4.5. а)	б)  .
4.6. а)	б)   dx.
4.7. а)	б)   dx.
4.8. а)	б)  .
4.9. а)	б)  .
4.10. а)	б)  .
4.11. а)	б) dx.
4.12. а)	б)  .
4.13. а)	б) dx.
4.14. а)	б)  .
4.15. а)	б)  .
4.16. а)	б) dx.
4.17. а)	б) dx.
4.18. а)	б)  .
4.19. а)	б) dx.
4.20. а)	б) dx.

Задание 5

5.1. – 5.20. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый i-ый элемент работает независимо от других с вероятностью p_i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). p₁ = 0,7, p₂ = 0,7, p₃ = 0,6, p₄ = 0,8, p₅ = 0,5, p₆ = 0,9.

5.1.	5.11.
5.2.	5.12.
5.3.	5.13.
5.4.	5.14.
5.5.	5.15.
5.6.	5.16.
5.7.	5.17.
5.8.	5.18.
5.9.	5.19.
5.10.	5.20.

 

Задание 6

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

6.1. 

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1

 

6.2.

Y	-4	-2	-14	1	2	4
p	0,1	0,2	0,1	0,3	0,2	0,1

 

6.3.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.4.

Y	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0	0,3	0,1

 

6.5.

Y	-2	-1	0	1	2
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.6.

Y	-1	-0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.7.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1

 

6.8.

Y	-3	-2	-1	0	1	2
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.9.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,4	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1

 

6.10.

Y	-4	-2	-1	1	2	3
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.11.

Y	-1	-0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.12.

Y	-2	-1	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.13.

Y	-4	-2	-14	1	2	4
p	0,1	0,2	0,1	0,3	0,2	0,1

 

6.14.

Y	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

6.15.

Y	-4	-1	1	2	4
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

6.16.

Y	1	2	3	4	5
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

 

6.17.

Y	-1	1	2	5	6
p	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

 

6.18.

Y	2	5	6	7	10
p	0,2	0,1	0,1	0,5	0,1

 

6.19.

Y	-2	-1	1	2	4
p	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

 

6.20.

Y	2	4	6	8	9
p	0,2	0,1	0,1	0,5	0,1

 

Задание 7

 

7.1.– 7.20. Даны два комплексных числа z₁ и z₂. Требуется:

1) найти комплексные числа z = z₁ + z₂, u = z₁ – z₂, записав их в алгебраической форме;

2) найденные z₁, z₂, z, u изобразить на комплексной плоскости;

3) комплексные числа v = z₁ ∙ z₂, w = z₁: z₂  записать в тригонометрической и показательной формах.

7.1. z1 = –2 – j1,5; z2 =4 + j5	7.11. z1 = 2 – j1,5; z2 = 4 – j3
7.2. z1 = –4 +j3;  z2 = 6 + j8	7.12. z1 = 3 + j4;  z2 = – 6 + j3
7.3. z1 = –4 – j3;  z2 = –6 + j8	7.13. z1 = –10+ j; z2 = 7 + j8.
7.4. z1 = 7 – j8;    z2 = 10 + j11	7. 14. z1 = 7 – j8;  z2 =–2 + j1,5
7.5. z1 = 6 – j5;    z2 = 9 + j10	7. 15. z1 = –10+ j11; z2 =–5 – j4
7. 6. z1 = 4 – j5;    z2 = 4 + j5	7. 16. z1 = –6 – j5; z2 =9 – j10
7.7. z1 = 5 – j4;    z2 = 4 + j5	7. 17. z1 = 4 – j3;   z2 = 5 – j4
7.8. z1 = 2 – j1,5; z2 = 4 + j3	7. 18. z1 = –4 – j3; z2 = 6 + j8
7.9. z1 = 3 – j4;   z2 = 6 + j8	7. 19.  z1 = 7 – j8; z2 = 10 – j11
7.10. z1 = 4 – j3; z2 = 6 + j8	7. 20. z1 = –4 +j3; z2 = –6 + j8

 

 

Задание 8

 

8.1. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым)?

8.2. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8.3. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

8.4. В урне лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Какова веро-ятность вынуть наудачу два белых шара?

8.5. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

8.6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса?

8.7. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

8.8. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

8.9. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?

 

8.10. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

 

 

 

Методические указания к выполнению контрольной работы

Числовые системы

Уравнение вида х² + 1 = 0 не имеет решений на множестве R действительных чисел. Поэтому множество R приходится расширять до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида х² + а² = 0 имели решение.

х² + 1 = 0 => х² = - 1 – мнимая единица, обозначение: j ² = -1.

Комплексным числом называется выражение вида z = а + jb, а – действительная часть комплексного числа, а число jb – мнимая часть.

Свойства комплексных чисел: 1. а₁ + jb₁ = а₂ + jb₂, если а₁= а₂, b₁= b₂.

                                                2. z = 0 + j0 = 0 – нуль. 

3. z = а + j0 = а.

4. z = 0 + jb = jb – чисто мнимое число.

Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Ось Х – действительная ось, соответствует

числу а, ось У – мнимая ось, соответствует числу b.

 Модуль комплексного числа:

r = ׀ z ׀ =  

 Аргумент комплексного числа:

 arg z = φ – угол между положительным направлением оси Х (абсцисс) и вектором, соответствующим комплексному числу.

 

 

 

Алгоритм нахождения аргумента числа z = а + j b.

1. находим α = arсtg ׀  ׀

2. определяем в какой четверти находится число z по таблице:

    

	b>0	b<0
a> 0	Iч	IIIч
a<0	IIч	IVч

3. вычисляем φ: если z лежит в I четверти, то φ = α,

                          если z лежит во II четверти, то φ = π - α,

                          если z лежит в III четверти, то φ = π + α,

                          если z лежит в IV четверти, то φ = 2 π – α.

Формы записи комплексных чисел.

1. алгебраическая: z = а + jb, где а и b – действительные числа;

2. тригонометрическая: z = r (cos φ + j sin φ  ), где r – модуль комплексного числа, φ – аргумент.

3. показательная: z = r e^jφ, где r – модуль комплексного числа, φ – аргумент.

Действия над комплексными числами.

1. В алгебраической форме правила те же, что и на множестве R. При делении числитель и знаменатель домножаются на число, сопряженное знаменателю.

2. В тригонометрической форме:

z₁ = r₁ (cos φ₁ + j sin φ₁), z₂ = r₂ (cos φ₂ + j sin φ ₂)

а) z₁٠ z₂ = r₁ ٠ r₂ (cos(φ₁+ φ ₂)+ j sin(φ₁+ φ ₂))

б)       =         (cos(φ₁- φ ₂)+ j sin(φ₁- φ ₂))

в) zⁿ = rⁿ (cos nφ + j sin nφ) 

г) арифметический корень, k=0, 1, 2, …,n-1.

3. В показательной форме:

   z = r₁ e^jφ, z₂ = r e^jφ

а) z₁٠ z₂ = r₁ ٠ r₂ e^j(φ+φ)

б)        = e^j(φ-φ)

 в) zⁿ = rⁿ ٠ e^jnφ

г), k=0, 1, 2, …,n-1.

При переводе из тригонометрической и показательной форм в алгебраическую используются формулы: a = r ٠cos φ

               b = r ٠ sin φ.

 

Производная и её приложения

Понятие производной является одним из фундаментальных понятий математики. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Пусть функция y =  определена на некотором интервале (a;b). Проделаем следующие операции:

- аргументу x (a;b) дадим приращение (a;b);

- найдем соответствующее приращение функции: ;

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ;

- найдем предел этого отношения при .

Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов .

Производной функции y =  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 или = .

Функция y = , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций. Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции  и  - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции. Тогда: 1.

            2.

            3.  где с = const;

            4. .

Производная сложной функции. Если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то .

 

Интеграл и его приложения

Интегральное исчисление - это раздел математического анализа, в котором изучаются интегралы, их свойства, способы вычисления и приложения. Вместе с дифференциальным исчислением оно составляет основу аппарата математического анализа.
      Интегральное исчисление возникло из рассмотрения большого числа задач естествознания и математики. Важнейшие из них - физическая задача определения пройденного за данное время пути по известной, но, быть может, переменной скорости движения и значительно более древняя задача вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

Центральным в интегральном исчислении является понятие интеграла, которое, однако, имеет две различные трактовки, приводящие соответственно к понятиям неопределенного и определенного интегралов. Рассматриваемая в интегральном исчислении математическая операция (обратная к дифференцированию) называется интегрированием или, точнее, неопределенным интегрированием.

     Если F (x) - первообразная для f (x) на промежутке X, то множество всех первообразных для f (x) имеет вид F (x) + C, где C - любое действительное число.
     Этомножество называют неопределенным интегралом функции y = f (x) и обозначают
f(x)dx: f(x)dx=F(x)+C

Табличные интегралы

 

 

Правила интегрирования

Дифференциальные уравнения.

Многочисленные задачи естествознания, техники и других областей знания сводятся к тому, что по заданным свойствам некоторого процесса или явления необходимо найти математическую модель самого процесса в виде формулы, связывающей переменные величины, т.е. в виде функциональной зависимости.

Уравнения, в которых содержатся производные или дифференциалы искомых функций, называются дифференциальными. Они являются мощным средством познания окружающего нас мира. Дифференциальное уравнение - это как бы мгновенный снимок процесса в данный момент времени, интегрируя дифференциальное уравнение, мы по мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса в целом.

Уравнения вида dy / dx = f (x)/ g (y) можно решить, записав его в дифференциалах g (y) dy = f (x) dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy / dx = x / y имеем f (x) = x, g (y) = y. Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y ² = x ² + c.

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от y и dy. Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и y, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Формула полной вероятности

, где - полная группа гипотез, то есть , - достоверное событие.

6. Формула Байеса (формула Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

, где - полная группа гипотез.

Формула Бернулли

- вероятность появления события ровно раз при независимых испытаниях, - вероятность появления события при одном испытании.

 

 

Решение типовых примеров

Пример 1. Даны два комплексных числа z₁ = 2 – j 7 и z₂ = 3 + j5. Требуется:

1) найти комплексные числа z = z₁ + z₂, u = z₁ – z₂,записав их в алгебраической форме;

2) найденные z₁, z₂, z, u изобразить на комплексной плоскости;

3) комплексные числа v =z₁ ∙ z₂, w =z₁: z₂  записать в тригонометрической и показательной формах.

Решение. 1). Для того, чтобы найти z = z₁ + z₂ в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел z₁ и z₂: z = (2 – j 7) + (3 + j5) = (2 + 3) + j(–7 + 5) =5–j2. При нахождении числа u = z₁ – z₂ вычитаем  действительные и мнимые части чисел z₁ и z₂:

u = z₁ – z₂ = (2 – j 7) – (3 + j5) = (2–3) + j(–7–5) = –1–j12.

 

2). Вектор, соответствующий числу z, строим как сумму векторов z₁ и z₂ по правилу параллелограмма, а вектор, соответствующий числу u, строим как сумму векторов z₁ и (– z₂).

 

3). Найдем модуль r и аргумент φ чисел z₁ и z₂.

  z₁ = 2 – j 7, число принадлежит IVчетверти, значит φ₁ = – arctg  = – arctg3,5 – 74,05°.

r₁ =  =  = .

z₂ = 3 + j5, число принадлежит I четверти, значит φ₂ = arctg arctg 1,6667 59,04°.

r₂ =  =  5,83.

Запишем числа z₁ и z₂ в показательной z = r