Дискретные случайные величины.

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:

 

xi	x 1	x 2	…	xn	…
pi	p 1	p 2	…	pn	…

 

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (x_i, p_i).

  x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅

Математическое ожидание случайной величины

 

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

                           М (Х) = х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + … + х_пр_п.                                        

Если число возможных значений случайной величины бесконечно, то

Пример 1: Найти математическое ожидание величины Х, заданной законом распределения

Х	2	3	5	8
Р	0,2	0,1	0,4	0,58

Решение:

М(Х)= х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + х ₃ р ₃ + х ₄ р ₄ =2∙0,2+3∙0,1+5∙0,4+8∙0,58=7,34

Ответ: М(Х)=7,34

Задание 1:

Найти математическое ожидание величин, заданных законом распределения:

1)

Х	2	3	5	6	7	9
Р	0,1	0,2	0,4	0,67	0,8	0,8

 

2)

Х	2	9	11	12
Р	0,12	0,3	0,5	0,7

 

Свойства математического ожидания

 

1) Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

М (С) = С.

2) Постоянный множитель можно выносит за знак математического ожидания:

                      М (СХ) = С М (Х).                                                       

Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая. В противном случае случайные величины зависимы.

 

Определение: Назовем произведением независимых случайных величин Х и Y случайную величину XY, возможные значения которой равны произведениям всех возможных значений Х на все возможные значения Y, а соответствующие им вероятности равны произведениям вероятностей сомножителей.

 

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M (XY) = M (X)∙ M (Y)                                                       

  Определение: Определим сумму случайных величин Х и Y как случайную величину Х + Y, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности таких сумм равны произведениям вероятностей слагаемых (для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго).

4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

                   M (X + Y) = M (X) + M (Y)

Задание 2: Найти  математическое ожидание  суммы и произведения случайных величин Х и Y, заданных своими законами распределения:

Х	2	4	5
Р	0,1	0,3	0,5

 

Y	3	6	7
Р	0,3	0,2	0,6

 

Дисперсия

 

Определение: Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:

                                        D (X) = M (X – M (X))².                                               

Замечание 1. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения.

Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии:

D (X) = M (X ²) – M ²(X)

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

                                 D (C) = 0.                                                                 

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D (CX) = C ² D (X)

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

                                      D (X + Y) = D (X) + D (Y).                                    

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

                                  D (X – Y) = D (X) + D (Y).