Классическое определение вероятности

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу, некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Пусть число возможных исходов равно п, а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов), тогда

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

- классическое определение вероятности.

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Р (А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

0 < Р(A) < 1.

Пример: Решить задачу:

В группе 15 студентов. Из них 8 юношей, 7 девушек. Какова вероятность выхода из кабинета девушки Р₁(А), какова юноши Р₂(А)?

Решение:

Пусть n – (число возможных исходов) –количество студентов в группе, тогда n=15

m₁=7 - число благоприятных исходов выхода девушек;

m₂=8 - число благоприятных исходов выхода юношей;

Вероятность выхода девушек из кабинета:

Вероятность выхода юношей из кабинета:

Ответ: Р₁(А)=0,47 Р₂(А)=0,53

Задание 1: Решить задачу:

Задача 1: В ясельной группе 8 девочек и 5 мальчиков. Какова вероятность уснуть первой девочке?

Задача 2: На автобусной остановке стоят 24 человека. 15 человек стоят в куртках, а остальные в пальто. Какова вероятность, что в автобус первым зайдёт человек в пальто?

Задача 3: В мешке 35 яблок. 2 зелёных и 33 красных. Какова вероятность вытащить первым зелёное яблоко?

 

Основные формулы комбинаторики

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества.

Перестановки

Определение Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения.

Число всех возможных перестановок:

                                                 Р_п = п! (n факториал)

                                               п!=1∙2∙3∙4∙…….∙n

Пример1: Вычислить 7!

Решение:

7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040

Ответ: 7! =  5040

Пример2: Вычислить

Решение:

Ответ: =2517

Задание 1: Найти ошибку:

Задание 2: Вычислить:

1)                                   4)

2)                                   5)

3)                                 6)

                                7)

 

Пример 3: Упростить:

Задание 3: Упростить

1)                            2)                       3)

4)

Размещения

Определение: Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком.

Число всех возможных размещений

                           

Пример1: Вычислить

Задание 1: Вычислить

1)                                2)

2)                         3)

Пример 2: Решить задачу:

В группе студентов 15 человеке. Формируется бригада из 4 человек для участия в олимпиаде по математике. Какое число вариантов возможно?

Решение:

Ответ: 32760 вариантов.

Задание 2: Решить задачу:

Задача 1: В ясельной группе из 13 человек требуется выбрать 4 человек для чтения стихов на утреннике, посвящённому Дню защиты детей. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 2: На остановке стоят 24 человека. 13 из них собираются ехать на троллейбусе, остальные на автобусе. Какое количество вариантов собрать группу из людей стоящих на остановке, которая поедет в автобусе?

Задача 3: Какое количество вариантов выбрать из мешка с 35 яблоками 21 зелёное?

Сочетания

Определение: Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов).

Число сочетаний

                           

Пример 1: Вычислить

      

Задание 1: Вычислить

1)                                2)

3)                         4)

Пример 2: Решить задачу

В студенческой группе из 15 человек требуется найти пару учащихся для поощрения стипендией. Какое количество сочетаний возможно?

Решение:

вариантов

Ответ: 105 вариантов

Задание 2:  Решить задачу:

Задача 1: В ясельной группе из 13 человек нужно выбрать 3-х человек для наблюдения за остальными детьми, чтобы они не ели зубную пасту в ванной комнате. Какое количество сочетаний возможно?

Задача 2: Из стоявших на остановке 24 человек нужно выбрать 6-х, которые не влезут в маршрутное такси. Какое сочетание людей возможно?

Задача 3: Из мешка с 35 яблоками нужно выбрать пару яблок (зелёное и красное). Какое количество сочетание возможно?

                                  

Пример 3: Доказать, что

+6 +6 =n³

Решение:

 

 

+6 +6 =n+6∙ (n²-n)+6∙ (n³-3n²+2n)= n+3n²-3n+n³-3n²+2n=n³

n³= n³

Задание 3: Доказать, что

1) 2 + =n²

2) 6 +6 =n∙(n²-1)