Критерий идеального наблюдателя

(критерий Котельникова)

 

Этот критерий требует обеспечения минимума средней вероятности ошибочного приема.

Для двоичной системы

,

для m -ичной системы

,

где

– условная вероятность j -ой ошибки при передаче

                        i -го сообщения,

    – условная вероятность любой ошибки при передаче

                        i -го сообщения,

     Р – безусловная вероятность любой ошибки.

Вычислим условную вероятность конкретной ошибки

,

где – n -мерная условная плотность вероятности (при разложении  в n -мерном евклидовом пространстве по любому базису), а интеграл, вычисляемый по векторной переменной , очевидно, n -кратный. Таким образом, критерий Котельникова приобретает вид

,                   (6.1)

где находится варьированием областей .

Минимуму средней вероятности ошибок соответствует максимум средней вероятности правильного приема (иная эквивалентная форма записи критерия Котельникова)

.                 (6.2)

Учитывая, что демодулятор должен реализовать критерий (6.1) или (6.2), принимая решение  на основе анализа единственной реализации   на интервале 0 – Т, рассмотрим апостериорную вероятность вида , т.е. вероятность того, что при приеме сигнала  передавалось сообщение b_i. Очевидно, что максимум средней вероятности правильного приема будет достигнут, если всякую реализацию принятого колебания z (t) относить к той области , для которой апостериорная вероятность  максимальна, т.е. решение в пользу  принимается при совместном выполнении совокупности неравенств

.

Иначе говоря, критерий Котельникова требует максимизации апостериорной (обратной) вероятности и его можно записать в виде

.                                 (6.3)

Для выполнения анализа (6.3) воспользуемся известной формулой Байеса

.

Тогда

,

а выражение (6.3) принимает вид

                        (6.4)

(безусловная плотность вероятности  здесь исключена, т. к. она не зависит от i и, следовательно, не влияет на решение).

В развернутом виде критерий (6.4) можно записать в виде системы из m -1 неравенств

 

,

или

.

Условную плотность вероятности , рассматриваемую при известном после приема векторе  как функцию аргумента b_i, называют функцией правдоподобия гипотезы о передаче сообщения b_i, а  - отношением правдоподобия двух гипотез о передаче сообщений b_i и b_j. С учетом этого критерий Котельникова можно записать в виде:

если , то решение .   (6.5)

Рассмотренный критерий Котельникова обладает следующими особенностями:

1) требует знания априорных безусловных вероятностей отдельных сообщений ;

2) безразличен к виду ошибок  (все виды ошибок одинаково нежелательны), что приводит к росту ошибок при приеме менее вероятных сообщений, а они являются более информативными.