Синтез оптимального демодулятора при

 известном ансамбле сигналов (когерентный прием)

 

Постановка и решение задачи когерентного приема

     на корреляторах

Постановка задачи:

Известны:

1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора

{ s_i (t)}; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

2. Непрерывный канал

,

где N (t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

.

3. В качестве критерия качества приема задан критерий максимального правдоподобия (6.6)

 

Требуется синтезировать оптимальный демодулятор, иначе говоря, найти алгоритм оптимальной обработки входного сигнала и принятия решения о передаваемом сообщении.

Решение

В основу решения положим выражение заданного критерия качества приема, для чего рассмотрим входящие в него функции правдоподобия гипотез:

1) о наличии во входном колебании z (t) i -го сигнала [ z (t) = s_i (t) + n (t)]

,

2) об отсутствии в нем какого-либо сигнала [ z (t) = n (t)]

,

где .

Начнем с последней. Учитывая, что сечения квазибелого шума, разделенные интервалами , не коррелированны, а в силу нормального распределения шума и независимы, получим

.

Поскольку СП Z (t) = s_i (t)+ N (t) отличается от шума N (t) только известным, а потому неслучайным сигналом s_i (t), играющим роль математического ожидания Z (t), то

,

где использовано обозначение s_{i , k} = s_i (t_k).

В итоге отношение правдоподобия гипотез о наличии и отсутствии сигнала принимает вид

или с учетом

.

Перейдем к белому шуму, сняв ограничение на ширину его спектра (F ® ¥). Иначе говоря, от евклидова пространства перейдем к гильбертовому. При этом 

и

.           (6.10)

Синтезируемый демодулятор должен принимать решение в пользу , обеспечивающего максимум выражения (6.10), или, что эквивалентно, максимум показателя экспоненты в нем

.       (6.11)

Нетрудно видеть, что максимум (6.11) достигается при минимуме вычитаемого

.    (6.12)

Демодулятор оптимальный по критерию максимального правдоподобия принимает решение в пользу того символа , сигнал s_i (t) которого отстоит от принятого колебания z (t) на меньшее расстояние.

 Рассматривая выражение (6.12) как алгоритм обработки принятого колебания z (t) приходим к схеме демодулятора, представленной на рис. 6.2.

 

Другую форму алгоритма можно получить из выражения (6.11)

,

или

,                      (6.13)

где E_i – энергия i -го сигнала.

Схема оптимального демодулятора, реализующего алгоритм (6.13), приведена на рис. 6.3. Поскольку в каждой ветви такого демодулятора присутствует вычислитель скалярного произведения  – коррелятор, то его называют демодулятором на корреляторах (активных фильтрах).

Если использовать сигналы равных энергий, то алгоритм (6.13) и схема демодулятора (рис. 6.3) существенно упрощаются (рис. 6.4)

.         (6.14)

Все вышерассмотренные демодуляторы используют всю информацию о форме сигналов s_i (t), включая начальную фазу. В каждой их ветви содержатся генераторы, генерирующие синфазные образцы этих сигналов, поэтому их называют когерентными демодуляторами.