Потенциальная помехоустойчивость когерентного приема

Постановка задачи:

Известны:

1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора

{ s_i (t)} _m; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

2. Непрерывный канал

,

где N (t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

.

3. Алгоритм работы демодулятора (оптимального когерентного по критерию максимального правдоподобия) (6.13)

.

Определить Р - среднюю вероятность ошибочного приема.

Ограничимся случаем двоичной системы (m = 2), когда

.

Перепишем алгоритм (6.13) в развернутом виде

,

или

.

Из иной записи того же алгоритма

 

вытекает достаточность одной ветви в оптимальном демодуляторе, которая должна содержать либо коррелятор с опорным генератором разностного сигнала, либо согласованный с этим разностным сигналом фильтр (рис. 6.25). В этих демодуляторах в качестве решающих устройств используются компараторы со стробированием. Компаратор представляет собой дифференциальный усилитель с цифровым выходом и коэффициентом усиления К ® ¥. Напряжение на выходе компаратора может принимать одно из двух значений: высокое (уровень логической «1»), если напряжение на его прямом входе больше, чем на инверсном, и низкое (уровень логического «0») в противном случае. В данном случае производится сравнение выходного напряжения коррелятора или СФ с пороговым в моменты kT поступления коротких стробирующих импульсов. Символом «= =» в УГО компаратора обозначена операция сравнения, а кружком – инверсный вход.

Для решения поставленной задачи рассмотрим случайную величину Y _D(T) – отсчеты реакции СФ в конце каждого сигнала на входной СП Z (t) = s_i (t) + N (t). Очевидно, что Y _D(T) имеет нормальное распределение с двумя возможными математическими ожиданиями :

y ₀ – при передаче сообщения b ₀,

y ₁ – при передаче сообщения b ₁.

,    .

Условные распределения величины Y _D(T) показаны на рис. 6.26

    В двоичных системах имеют место ошибки двух типов. Определим их вероятности

, .

Средняя вероятность ошибочного приема

.

При равных вероятностях передаваемых сообщений

.

Минимизация Р означает минимизацию суммы S₀ + S₁, что достигается при выборе оптимального порога λ_опт, определяемого из условия  (рис. 6.26)

.

При таком выборе порога

и, следовательно, для вычисления средней вероятности ошибочного приема Р достаточно определить любую условную вероятность ошибок, например,

.

Произведя замену переменных

,

получим

,              (6.18)

где Q (ν_опт) – дополнительная функция ошибок,

F (ν_опт) – функция ошибок,

Ф(ν_опт) – функция Крампа.

Все эти функции табулированы, их можно найти в математических справочниках.

Полученный результат свидетельствует, что для любой двоичной системы при когерентном приеме вероятность ошибок определяется исключительно величиной ν_опт, на которой сосредоточим свое внимание. Из рассмотренного вытекает

,

где  – математическое ожидание отклика фильтра, согла-

              сованного с разностным сигналом s _Э(t) = s ₁(t) – s ₀(t),

              на «свой» сигнал в момент t = T,

  σ – квадратный корень из дисперсии этого отклика.

Используя ранее вычисленное значение отношения с/ш на выходе согласованного фильтра (6.17), получаем

,                     (6.18)

где Е _Э – энергия разностного (эквивалентного) сигнала s _э(t),

N _O – спектральная плотность мощности шума,

.

Учитывая геометрический смысл энергии сигнала , выражение (6.18) можно переписать в виде

.

Выводы

1. Помехоустойчивость когерентного приема в двоичных системах определяется исключительно соотношением энергии Е _Э разностного сигнала (расстоянием между сигналами) и спектральной плотности мощности N _O нормального белого шума

.                             (6.19)  

2. Средняя вероятность ошибочного приема для этого случая вычисляется с помощью дополнительной функции ошибок по формуле

                          (6.20)