Нагрів тіл з обмеженою теплопровідністю

Маємо наступні характеристики:

При нагріві тонких тіл (з безмежною теплопровідністю)

При нагріві масивних тіл (з обмеженою теплопровідністю)

Розглянемо перетворення диференціального рівняння теплопровідності у безрозмірний (критеріальний) вигляд.

Для прикладу візьмемо диференційне рівняння теплопровідності для пластини

                                      (4.19)

Змінна х у цьому рівнянні приймає значення від 0 до S. Якщо х розділити на інтервал її зміни отримаємо . Ця зміна приймає значення від 0 до 1.

Змінна Х у цьому рівнянні і має нульову розмірність ().

Змінна t (температура) може приймати значення від t_о до t_печ.. Розділимо t

 на величину її інтервалу. Отримаємо безрозмірну величину

Виконаємо над рівнянням (4.19) деякі операції

 

або

.                                       (4.20)

Отримали диференційне рівняння теплопровідності у безрозмірному вигляді, де

    -  критерій Фур^,є (безрозмірний час).

У цьому виразі величина  називається інерційним часом. Ця характерна величина для тіла з товщиною S та коефіцієнтом температуропровідності . По смислу вона становить час, який потрібен для того, щоб теплота, яку отримала поверхня, дійшла до центра тіла.

Надалі при розв’язанні задач теплопровідності зустрічається критерій Біо

.

По змісту критерій Біо визначає відношення внутрішнього опору  об’єкта до зовнішнього   і характеризує термічну його масивність. На практиці прийнято вважати

 - тонке тіло;  - масивне;  - проміжне.

Беручи до уваги суть критерія Біо, ясно, що термічна масивність тіла залежить від співвідношення між внутрішнім та зовнішнім тепловими опорами, куди входять три величини: геометричний розмір, коефіцієнт теплопровідності та коефіцієнт тепловіддачі.

 

4.8 Розв^,язання  диференційного рівняння теплопровідності

Існує декілька способів розв’язання диференційного рівняння теплопровідності. Зупинимось на методі розділення змінних.

Будемо шукати розв^,язок для функції  у вигляді добутку двох функцій:

,                              (4.21)

де  залежить тільки від , а  - тільки від . Підставимо розв^,язок (4.2) у рівняння (4.19), отримаємо

,

тобто

Ліва частина (4.22) залежить тільки від , а права тільки від . Рівнясть має виконуватись при будь-яких значеннях  та . Це можливо тільки тоді, коли ліва та права частини (4.22) дорівнюють сталій величині

;                                  (4.23)

                                  (4.24)

Після інтегрування (4.23) маємо

.

Із фізичних міркувань температура не може досягнути нескінченності. Тому має бути виконана умова  вважаємо .

Тоді

                                 (4.25)

                         (4.26)

Звичайні диференційні рівняння мають такі розв^,язки

                                    (4.27)

 або .                          (4.28)

Таким чином

,

або

Взагалі кажучи, маємо

(4.29)

Постійні величини С, D і  визначаються із крайових умов задачі. Оскільки кількість цих величин нескінченна, то

                         (4.30)

Велиина  має бути безрозмірною. Це можливо, якщо , а

Тоді маємо

                  (4.31)

Виходячи із загального розв^,язку (4.31), можна отримати розв^,язок задачі теплопровідності для конкретних граничних умов.

Граничні умови I-го роду

 - умова на поверхні; ; - умова симетрії;

 - початкова умова.

Сформульована математично задача теплопровідності відповідає умовам нагріву необмеженої пластини, що має рівномірно розподілену по об’єму початкову температуру , симетрична відносно центральної площини, а на поверхні у початковий момент часу встановлюється постійна температура .

Для цього випадку маємо функцію температури

                  (4.32)

де

.

Граничні умови II-го роду

Розглянемо ту ж ситуацію, окрім умови на поверхні пластини, де через поверхню проходить постійний тепловий потік

                              (4.33)

Маємо температурну функцію

        (4.34)

де

.

 

Граничні умови III-го роду

Розглядаємо той же об ^,єкт  з тими ж умовами, окріма умови на поверхні

                               (4.35)

де

- температура навколишнього середовища.

Температурна функція

 ,                            (4.36)

де

 - корені трансцендентального рівняння

.

 

 

Рисунок 4. 3. Графічне визначення коренів

 

Розглядаючи температурні функції об’єкта, можна зробити висновок, що метод розділення змінних (класичний метод) дає інформацію про те, що в момент підведення теплоти до поверхні об’єкта вона розповсюджується на всю товщину тіла. Інженерна модель  трактує, що теплота охоплює тіло пошарово, приймаючи до уваги інерційнність теплопровідності.

 

ГЛАВА 5

ТЕПЛООБМІННІ АПАРАТИ

На практиці широко розповсюджені теплообмінні апарати для передачі теплоти від одного теплоносія до іншого.

По принципу дії теплообмінні апарати підрозділяються на рекуперативні, регенеративні та змішувальні.

Рекуперативні  - апарати, у котрих гаряча і холодна рідина протікають одночасно і теплота передається від одного теплоносія до іншого через розділяючу їх стінку (парові котли, рекуперативні повітронагрівачі нагрівальних печей, радіатори теплообмінних батарей та ін.).

Регенеративні – апарати, у яких одна і та ж сама поверхня нагріву деякого об’єкта поперемінно обмивається то гарячим, то холодним теплоносієм. При протіканні  гарячого агента теплота сприймається стінками апарата і в них акумулюється. При протіканні холодного теплоносія ця акумульована

теплота передається цьому носію (регенератори мартенівських та доменних печей і т.ін.).

Рекуперативні та регенеративні теплообмінні апарати називаються поверхневими, передача теплоти в них  обов’язково пов’язана з поверхнею твердого тіла.

Змішувальні – апарати, у яких процес теплопередачі відбувається шляхом змішування гарячої та холодної рідин, тобто одночасно з масопереносом

(градирні, скрубера та ін.).

Спеціальні назви апаратів визначаються їх призначенням (парові котли, теплообмінники печей, водонагрівачі, пароперегрівачі, конденсатори та ін.).

Разом з тим, загальне призначення усіх теплообмінних апаратів полягає в передачі теплоти від одного теплоносія до іншого. У зв’язку з цим основні положення типового розрахунку для них залишаються загальними.

Розглянемо принцип розрахунку рекуперативних теплообмінних апаратів (р.т.а).

При розрахунках цих апаратів виникають дві задачі:

1- якщо проектується новий апарат, кінцевою метою розрахунку є визначення площі теплообмінної поверхні;

2- якщо апарат уже діє, треба визначити кінцеву температуру робочої рідини.

Основними розрахунковими рівняннями у обох випадках при цьому є:

 , Вт                                     (5.1)

, Вт                   (5.2)

де

Q – теплова потужність апарата;

k - коефіцієнт теплопередачі;

t₁ – середня за процес температура гарячого теплоносія;

t₂ – середня за процес температура холодного теплоносія;

 - середній температурний напір між теплоносіями;

 - швидкість  гарячого теплоносія, м/с;

f₁ – площа поперечного перерізу, через який протікає гарячий теплоносій;

- об^.ємна витрата гарячого теплоносія, м³/с;

 - густина гарячого теплоносія, кг/м³;

 - середня масова теплоємкість ізобарного процесу в інтервалі температури t₁  і t₂ (вважаємо, що теплопередача відбувається в ізобарному процесі),

Дж/ кг К;

 - масова витрата гарячого теплоносія, кг/с;

 - теплоємкість секундної витрати гарячого теплоносія, Вт/К;

 - початкова температура гарячого теплоносія;

 - кінцева температура гарячого теплоносія.

Позначення із виразу (5.2), що мають індекс 2, характеризують ті ж величини, але відносяться до холодного теплоносія.

На характер зміни температури робочих рідин вздовж поверхні теплообміну впливає схема їх руху і співвідношення їх водяних еквівалентів.

Відрізняють наступні схеми руху потоків:

прямотік – гаряча і холодна рідини протікають паралельно і в одному напрямку

                                                  

 

противотік – рідини протікають паралельно у протилежних напрямках

 

перехрестний тік – рідини протікають у перехресному напрямку

 

 

Окрім вказаних схем руху теплоносії на практиці мають місце більш складні схеми: одночасно прямотік і противотік, багаторазовий перехрестний тік та ін.

Нижче показана зміна температури при прямотоці та противотоці вздовж шляху руху

 

 

 

Рисунок 5.1. Зміна температури теплоносіїв при різних схемах потоків

    

 

Маємо  - водяний еквівалент – кількість води, що по теплоємкості еквівалента теплоємкості секундної витрати теплоносія

 ,                                          (5.3)

Із наведених схем видно, що при противотоці кінцева температура холодного теплоносія при всіх інших однакових умовах більша, ніж при прямотоці. Відповідно, для досягнення деякої температури при прямотоці потрібна, а відповідно, потрібен більш громіздкий теплообмінник, ніж при противотоці.

Для розрахунків рекуперативних теплообмінників необхідно знайти величину середнього за процес температурного напору . Виявляється, він має різні значення при прямотоці та противотоці.

Застосовуються два способи усереднення температурного напору:

середньоарифметичний

;                             (5. 3)

середньологарифмічний

                                 (5.4)

де

 - прямотік;

 - противотік;

 - прямотік;

 - противотік.

  Використовуючи рівняння теплового балансу

,

можна визначити

                                         (5.5)

тобто зміна температури теплоносіїв обернено пропорційно їх водяним еквівалентів.

 

 

ГЛАВА 6

ОСНОВИ ТЕОРІЇ МАСООБМІНУ

 

У багатьох процесах промисловості широко застосовуються явища переносу маси або масоперенос. Звичайно, ці процеси відбуваються разом з явищами теплообміну.

В основі теорії масообміну лежать ті ж фундаментальні залежності, що і в теорії теплообміну. Тому, при розгляданні подібних процесів використовуються принципи аналогії.

 

6.1 Основні визначення теорії масообміну

1. Масообмін – перенос маси деякого компонента у межах фази в іншу.

2. Фаза -  суміш декількох компонентів, що не реагують один з іншим хімічно. В окремому випадку фазу може становити один компонент.

3. Поверхня розподілу – поверхня, що розділяє фази.

4. Ядро фази  - основна частина фази, що характеризується постійністю розподілу концентрацій компонентів.

5. Пограничний шар – шар, розташований між по верхньою розподілу та ядром фази (приклад – випаровування рідина: дві фази, рідка та газоподібна, поверхня розподілу – поверхня рідини). По товщині пограничного шару спостерігається змінювання концентрацій компонентів.

6. Масовіддача - перенос маси компонента у межах однієї фази у напрямку до поверхні розподілу (або навпаки, від поверхні розподілу до ядра фази випаровування рідини, сублімація твердих тіл – відбувається масовіддача від поверхні розподілу в парогазове або газове середовище; розчинювання - масовіддача від твердої поверхні до навколишнього рідкого середовища).

Аналогія – тепловіддача при конвективному теплообміні.

7. Масопередача – перенос маси із однієї фази до іншої через поверхню розподілу. Аналогія - теплопередача. Відбувається наступне: компонент переноситься у межах однієї  фази до поверхні розподілу шляхом масовіддачі, передається через поверхню розподілу, а потім діє масовіддача того ж компонента у межах іншої фази (абсорбція – перехід речовини із газового середовища у рідке; адсорбція – перехід речовини із газового середовища у тверде; десорбція - зворотний процес абсорбції; сушка – перехід вологи із твердої фази в газову;  зволоження – перехід вологи до твердої фази від вологоносія.

8. Дифузія - проникнення молекул (або деяких мікрочастинок)компонента у міжмолекулярний простір речовини або декількох речовин тієї або іншої фази. Відрізняють молекулярну та конвективну дифузію.

Молекулярна дифузія зумовлена тепловим рухом молекул, конвективна – переміщенням мікрочастинок (конвекція маси).

9. Концентраційна дифузія – виникає в результаті різниці концентрації компонента.

10. Термодифузія – виникає в результаті нерівномірності температури суміші по об’єму.

11. Бародифузія – виникає в результаті неоднорідності тиску по об’єму.

12. Потік маси – маса даного компонента фази, що проходить через деяку поверхню за одиницю часу I, кг/с (масова витрата).

13. Густина потоку маси – потік маси, віднесений до одиниці поверхні (тобто маса даного компонента, що проходить за одиницю часу через одиницю поверхні), , кг/м²с.

Між потоком маси та густиною потоку маси існує залежність

 кг/с,

де F -  поверхня.

14. Концентраційне поле – (по аналогії до температурного поля) сукупність миттєвих значень концентрацій по об’єму об’єкта.

15. Ізоконцентраційна поверхні – уявлювана поверхня, що об’єднує однакові значення концентрації.

16. Концентрація компонента – маса одиниці об’єму фази, С, кг/м³.

17. Градієнт концентрації – падіння концентрації на одиниці довжини, кг /м⁴.