Променистий теплообмін між двома плоско-паралельними

Поверхнями при наявності екрана між ними

 

 

Рисунок 3.10. Наявність екрана між сірими поверхнями

 

Між двома сірими тілами, що мають температури T₁>T₂  розташовано тонкий лист із непрозорого високо теплопровідного матеріалу. Всі чотири поверхні випромінюють як сірі тіла. Вважаємо газове середовище між тілами променевопрозорим, а конвекцією та теплопровідністю його нехтуємо.

Приймаємо приведений коефіцієнт випромінювання у системі таким

,

де відповідно А_прив. та  приведений коефіцієнт поглинання та приведена міра чорноти.

Тоді кількість енергії, що передається від першої поверхні до екрана буде

.

Кількість енергії, що передає екран другій поверхні

,

де

             (3.18)

При стаціонарному стані системи маємо

Звідси можна визначити температуру екрана (приймаючи постійну температуру екрана Т_Е).

                      (3.19)

В окремому випадку  отримаємо

 

Кутові коефіцієнти

Припустимо, що передача теплоти випромінюванням відбувається між двома плоскими або випуклими тілами із абсолютно чорними поверхнями. Кожна з тіл має рівномірну температуру Т₁ та Т₂, причому Т₁>T₂.

Випромінювальна спроможність тіл відповідно дорівнює Е₀₁ и Е₀₂.

Рисунок 3.11. Передача теплоти від площадки dF₁ до dF₂

Виділимо на поверхнях тіл елементарні площадки dF₁ та dF₂  і з’ясуємо питання про передачу теплоти від першої площадки до другої. Перш за все, від площадки dF₁ енергія попадає на площадку dF₂ під тілесним кутом ,  а від dF₂ на площадку dF₁ під тілесним кутом . Відповідно маємо dЕ_о12 та dЕ_о21 – ефективні енергії. Випромінювання від dF₁ спрямоване на dF₂   під кутом  до нормалі n₁, а від dF₂ до dF₁ під кутом  до нормалі n₂. Згідно з законом Ламберта, маємо

                                         (3.20)

Е_о – ефективне випромінювання абсолютно чорної поверхні у всіх напрямках у межах півсфери;

Е_on  - ефективне випромінювання по нормалі до першої поверхні.

Тоді маємо ефективне випромінювання від поверхні dF₁ до поверхні dF₂

                                (3.21)

Оскільки тілесний кут вимірюється площею, вирізаною ним в поверхні сфери з одиничним радіусом можна записати

,                                          

де r – радіус півсфери, що оточує площу F₁.

У зв’язку з цим запишемо

                             (3.22)

По аналогії

                           (3.23)

Отож

                  (3.24)

Кількість теплоти, що віддається площадкою dF₁ усьому другому тілу F₂ знаходиться інтегруванням

.                             (3.25)

Вираз

 

назвемо точковим (локальним) кутовим коефіцієнтом між dF₁ та dF₂. Цей коефіцієнт визначає ту долю ефективного випромінювання поверхні  dF₁,яка попадає на F₂.

Повторне інтегрування дає повну кількість теплоти, яка надходить від поверхні F₁ до поверхні F₂

Поначимо  як середній кутовий коефіцієнт від поверхні F₁ до F₂

                             (3.26)

Тоді

                                 (3.27)

Аналогічно можна показати, змінюючи порядок інтегрування

 

.

Таким чином маємо

.                                       (3.28)

Цей вираз називається властивістю взаємності кутових коефіцієнтів.

Нарешті теплообмін між двома абсолютно чорними F₁ та F_2, довільно орієнтовані у просторі

_.                              (3.29)

 

3.10 Теплообмін між сірими поверхнями, довільно орієнтований у

Просторі

Маємо дві сірі обмежені поверхні F₁ та F довільно розташовані у просторі. Перше тіло випромінює ефективну спроможність

                                      (3.30)

де Е_вл.- власне випромінювання, Вт/м²;

Е_R – відбите випромінювання, Вт/м².

В той же час поверхня F₁ має результативне випромінювання (якщо F₁ менш нагріта, ніж околюючі його тіла)

                      (3.31)

де

Е_А – вбиране випромінювання, Вт/м²;

Е_вл. – власне випромінювання, Вт/м²;

Е_пад.1 – падаюче випромінювання на F₁.

Формула (3.30) має інший вигляд

звідки

                                      (3.32)

Використовуючи поняття про кутові коефіцієнти, запишемо результат теплообміну між двох сірих поверхонь, довільно розташованих у просторі (T₂>T₁)

Позначимо як приведений коефіцієнт вбирання системи

                 (3.33)

Тоді

.                        (3.34)

Розглянемо деякі конкретні випадки:

- вся енергія першої поверхні попадає на другу поверхню, тобто

                           (3.35)

- дві нескінченні пластини,                                             (3.36)

                               (3.37)

-  - порожнина 2 охоплює всю поверхню 1,

;                                           (3.38)

- А₂ =1 – поверхня 2 близька до абсолютно чорного тіла

                                       (3.39)

Випромінювання газів

Гази також мають спроможність випромінювати та вбирати (поглинати) променисту енергію, але для різних газів ця спроможність різна.

Основні особливості випромінювання газів.

3.11.1. Випромінюють (і поглинають), як правило трьохатомні гази (особливо Н₂О, СО₂ і SO₂), двохатомні гази діатермічні (випромінюють енергію за межами теплового спектра коливань хвиль).

 

3.11.2. У газах випромінювання і поглинання енергії відбувається в об’ємі, на відміну від твердих тіл, у яких ці процеси діють у поверхневому шарі. Розглянемо вбирання шаром газу монохроматичного випромінювання (рис. 3.12). На відстані х від поверхні газу виділимо елементарний шар товщиною dx. Густина потоку випромінювання, що входить у об’єм газу становить  - початкова густина. На відстані х ця густина зменшується в результаті поглинання енергії і стає рівною  

 

 

Рис. 3.12. Залежність монохроматичного випромінювання від відстані

 

 

Припустимо, що зменшення енергії пропорційне відстані, тобто

де  - коефіцієнт ослаблення променя на даній довжині хвилі коливань .

Після інтегрування маємо

Потенціюючи цей вираз, маємо

                                (3.41)

Формула (3.41) називається законом Бугера. Згідно з цим законом зменшення густини випромінювання відбувається згідно з експоненційним законом.

Визначимо коефіцієнт пропускання шару газу товщиною х. Він представляє собою відношення енергії, що виходить із шару до енергії, що входить в нього, тобто

.

  Відповідно, коефіцієнт поглинання (вбирання)

                          (3.42)

Згідно із законом Кірхгофа міра чорноти дорівнює коефіцієнту поглинання, тобто

.                                   (3.43)

Таким чином, міра чорноти газу збільшується зі збільшенням товщини шару по експоненціальному закону.

На рис.3.12 показано характер залежності густини монохроматичного

 

 

Рисунок 3.13. Характер випромінювання абсолютно чорного тіла і газу

 

випроміння для

– абсолютно чорного тіла – суцільна крива;

– селективного (вибіркового) газів на окремих полосах спектра коливань , які мають товщини шару х₁, х₂, х₃. Остання товщина , тобто згідно із формулою (3.43)  Маємо .

Зі збільшенням товщини шару газу інтенсивність випромінювання збільшується (бо збільшення товщини шару дає збільшення міри чорноти та коефіцієнта поглинання).

Взагалі встановлено, що міра чорноти випромінюючого газу визначається як

,                                     (3.44)

рS – сила ослаблення променя (Н/м);

 р– парціальний тиск, Паскаль;

S – ефективна товщина випромінюючого шару

V – об^,єм випромінюючого газу;

F_c-  поверхня обмежуючих стінок.

Для газів, що звичайно зустрічаються значення величини S збільшують на 10%, тобто

                                       (3.45)

Гази випромінюють та вбирають енергію тільки в деяких інтервалах довжин хвиль , так званих полосах, розташованих у різних частинах спектра. Для променів інших хвиль коливань гази діатермічні тобто прозорі для променів. Ця властивість випромінювання та поглинання газів називається вибірковістю або селективністю. Наприклад, для СО₂ та Н₂О мають практичне значення такі полоси в мікронах:

 

СО₂,

1-а полоса

2-а полоса

3-я полоса

Н₂О

1-а полоса

2-а полоса

3-а полоса

  

  Енергія випромінювання газів може бути розрахована по спектру коливань. У такому випадку енергія дорівнює (рис.3.14)

де  - інтенсивність монохроматичного випромінювання (закон Планка).

Загальна випромінювальна спроможність газу

  В основу інженерних розрахунків випромінювання газів покладено закон четвертого степеня (закон Стефана-Больцмана). При цьому газ вважається сірим тілом з якоюсь фіктивною мірою чорноти , яка дорівнює

                                        (3.46)

Для найбільш важливих у техніці газів (СО₂, Н₂О, SO₂)  маються графіки

 (рис.3.15), по яким можна визначити .

 

 

 

Рисунок 3.14. До визначення випромінювальної спроможності газів

 

У цих графіках міра чорноти приведена як функція добутку парціального тиску на довжину ходу променя (pl) і температури.  Залежність випромінювання газу від (pl) визвана тією обставиною, що при проходженні променів через газ їх енергія  вбирання зменшується (чим більше тиск чи товщина шару більша кількість молекул, що зустрічають промені).

 

 

Рисунок 3.15. Міра чорноти газів

 

Розглядаючи полоси випромінювання газів СО₂ та Н₂О, можна зробити висновок, що вони подекуди співпадають. Тому, якщо ці азі випромінюють сумісно, то треба зробити поправку . Тоді

.                                  (3.47)

 

ГЛАВА 4

  НЕСТАЦІОНАРНІ ТЕМПЕРАТУРНІ ПОЛЯ

4.1 Нестаціонарні температурні поля

  У стаціонарному температурному полі температура є функцією тільки координат  і зовсім не залежить від часу  Тіло знаходиться у тепловій рівновазі з навколишнім середовищем. В одиницю часу воно стільки ж отримає теплоти, скільки і віддає її. Причини для зростання температури об’єкта нема. Тепловий потік у системі постійний, розподіл температури по перерізу тіла строго незмінний відносно часу.

Розглянемо випадок розігріву промислової печі. У залежності від співвідношення між товщиною кладки печі і тепловим потоком  можуть створитися наступні ситуації.

Стінка кладки настільки тонка, а тепловий потік настільки великий, що він забезпечує рівномірне розподілення температури по перерізу кладки по проходженню необхідного відрізка часу, відрахованого від початку теплового процесу при постійному тепловому потоці . Надалі температура тіла при  не залежить від координат та часу  Для зміни температури тіла необхідно змінити величину теплового потоку.

Стінка кладки не настільки тонка, а тепловий потік не настільки великий, щоб по перерізу тіла швидко створилось стаціонарне температурне поле, але воно може відбутись, коли мине значний час. У такому випадку за даний відрізок часу відбувається зміна температури по перерізу стінки . У цій главі розглядається питання про нестаціонарний режим об’єкта (його нагрів).

При нестаціонарному процесі температура являється функцією як координат, так і часу . Тобто температура змінюється з часом і в просторі об’єкта. При цьому, якщо  відбувається нагрів, а якщо  - охолодження.

У залежності від співвідношення  або  всі об’єкти умовно розподілено на дві групи.

Таким чином будемо розглядати два види нестаціонарного температурного поля об’єкта. В одному випадку температура змінюється з часом, але рівномірно розподілена по перерізу. В іншому випадку температура змінюється з часом і нерівномірно розподілена по перерізу.

 

4.2 Тіла з необмеженою теплопровідністю

Розглядаючи випадок , треба згадати закон Фур’є для теплопровідності

Але  Це означає, що коефіцієнт теплопровідності має бути нескінченним, бо .

Тіла, що мають нескінченну теплопровідність, у природі не існують. Але у техніці мають місце ситуації, коли при нагріві тіла мають по перерізу знехтувано малий перепад температури. Такі тіла прийнято називати тонкими (точніше термічно тонкими). Тобто, тепловий опір об’єкта майже дорівнює нулю . Це можливо, коли  і  (s – характерний розмір тіла).

 

4.3 Тіла з обмеженою теплопровідністю

Якщо при підведенні теплового потоку до об’єкта по його перетину має місце суттєвий перепад температури, то таке тіло називають термічно масивним. У цьому випадку

 - реальні тіла.

На відміну від тонких тіл тепловий опір масивних тіл відрізняється від нуля.

Віднесення даного тіла до розряду «тонких» чи масивних об’єктів визначається не тільки його розміру та теплопровідністю, але і інтенсивністю теплообміну. Так, масивне тіло, що повільно нагрівається, веде себе при нагріві як тонке і навпаки. Межа між тонкими та масивними тілами буде розглянута надалі при вивченні нагріву масивних тіл.

 

 4.4 Нагрів тонких тіл постійним тепловим потоком

.

У цьому випадку нагрів тіла наочно представлено трьома діаграмами.

 

Рисунок 4.1. Теплові діаграми

 

 

Маємо позначення:

t_печ – температура печі; t() – температура тіла; 2s – товщина (для пластини), діаметр для циліндра та шара;  - моменти часу; q – питомий тепловий потік, Вт/м²; F – площа поверхні тіла, м²; - засвоєна тілом потужність (тепловий потік,Вт);  - ентальпія тіла, Дж; - відрізки часу: ; - приріст ентальпії тіла, Дж,

Тонке тіло (  - внутрішній тепловий опір) у початковий момент часу підлягає впливу постійного питомого теплового потоку () через загальну поверхню тіла F.

Діаграма А  показує зміну температури тіла з часом (температурна діаграма).

За час  тіло отримує кількість теплоти (ентальпії)

 Дж.                                      (4.1)

За цей час тіло змінює температуру на ⁰С.

При цьому маємо інший вираз для зміни ентальпії

Дж,                                        (4.2)

де m – маса тіла, кг;

с – масова теплоємкість її, Дж/ кгК.

Прирівнюючи вирази (4.1) та (4.2), маємо

.                                                     (4.3)

Якщо прийняти величини  постійними, то будемо мати швидкість нагріву цьому режимі

З іншого боку

Все це свідчить про те, що температура тонкого тіла лінійно залежить від часу, при цьому кут нахилу  прямої лінії  постійний (див. діаграму А).

Діаграма В – теплова. Ордината показує зміну теплового потоку  (засвоєна теплота) з часом , також зміну ентальпії

.                                          (4.4)

На практиці ентальпію відносять до 1 кг маси тіла (питома ентальпія Дж/кг).

Діаграма С – температурна, показує розподіл температури по перерізу тіла з характерною товщиною (або радіусом) s. На діаграмі С видно, що розподіл  температури по перерізу у кожний момент часу рівномірний.

Завданням теорії нагріву є визначення швидкості та тривалості нагріву

(охолодження) об’єкта.

Швидкість нагріву тіла для режиму  визначається із формули (4.4)

                                              (4.5)

Визначення тривалості нагріву можна виконати для цього випадку двома методами.

Розрахунок часу нагріву по тепловій діаграмі. Використовуючи вираз (4.4)

Маємо

                                              (4.6)

Маючи на увазі залежність теплоємкості від температури, а також ту обставину, що нагрів об’єкта відбувається при постійному тиску, у виразі (4.6) треба використовувати середню теплоємкість в інтервалі температури  при тиску , тобто

                                   (4.7)

де  - температура кінця процесу, а  - початку.

Із діаграми А видно, що час нагріву  становить

Тоді для першого інтервалу (час , зміна температури ) маємо час нагріву

.

Аналогічно для  та

Розрахунок часу нагріву шляхом розв’язання диференційного рівняння процесу

Маємо тепловий баланс для часу  та зміну температури

 

, Дж,

Звідки

                                       (4.8)

Після інтегрування маємо

               

Для визначення постійної інтегрування С маємо умови для початку процесу (  ) та для кінця   

Звідки

Маємо співвідношення

                                      (4.9)

З цієї формули знаходимо залежність температури від часу

Таким чином температура тіла в режимі  залежить від часу по лінійному закону.

З іншого боку, із виразу

Можна записати

Тобто, режим   можливий, якщо температура печі також змінюється по лінійному закону з часом. При цьому різниця між температурами печі та поверхні тіла має бути

4.5 Нагрів тонкого тіла при постійній температурі печі ()

На відміну від режиму нагріву (), температура печі постійна, а різниця температури між піччю та поверхнею тіла з часом зменшується. У початковий момент часу різниця (t_печі) та тіла () має максимальне значення. Це зумовлює великий початковий тепловий потік до тіла q_o, більшу швидкість нагріву і швидке підняття температури тіла.

Розглянемо два методи розрахунку часу нагріву тонкого тіла у режимі