Конвективний Теплообмін як феномен

2.1 Загальні відомості про конвективний теплообмін

Процес теплообміну, пов^,язаний з переносом, тобто рухом, тепловіддаючого середовища, називається конвективний.

Конвекція можлива в таких об^,єктах, як газ, рідина і сипучий матеріал.

Надалі будемо розглядати конвективний рух рідини або газу, причому їх поведінка підкоряється єдиним законам теплопереносу. Будемо називати їх теплоносії.

Відрізняють вільний та вимушений рух теплоносія. Вільний рух теплоносія може бути зумовлений різницею густини неоднаково нагрітих частин об^,єкта або різних концентрацій  його частин.

Вимушений рух носія визивається дією сторонніх сил, наприклад, роботою вентилятора, компресора, насоса та ін. Вимушений рух нерідко діє разом з вільним. Наприклад, при роботі димової труби викид димових газів у атмосферу може відбуватися за рахунок різниці густини газів або сумісно з впливом димососа.

Основний закон конвективного теплообміну – закон Ньютона, згідно з яким кількість теплоти, яка передається між теплоносієм та поверхнею становить

, кДж,                            (2.1)

де

 - коефіцієнт тепловіддачі;

, м²- площа теплообмінної поверхні;

, с – час;

- температура середовища (теплоносія), яке оточує поверхню;

- температура поверхні.

Основне завдання при вивченні конвективного теплообміну полягає у визначенні коефіцієнта тепловіддачі, який представляє собою кількість теплоти, яка передається шляхом конвекції між поверхнею та теплоносієм через одиницю площі, за одиницю часу при різниці температури 1 градус між теплообмінними об^,єктами (поверхнею та носієм). Ця різниця визначається як температурний напір і становить

, К.                                    (2.2)

Коефіцієнт тепловіддачі чисельно залежить від багатьох факторів, зокрема, таких як форма тіла та її розміри, температура та стан поверхні, температура носія та його фізичні властивості та ряд інших факторів.

Маючи на увазі те, що коефіцієнт тепловіддачі є функцією багатьох змінних, аналітичне вивчення проблеми конвективного теплообміну представляє собою украй складну задачу, яку можливо розв’язати тільки у найпростіших випадках. У зв’язку з цим, основний метод вивчення конвективного теплообміну є експериментальний. Надалі розглянемо обидва ці підходи.

 

2.2  Теоретичне визначення коефіцієнта тепловіддачі

Питання про  розв’язується теоретично найбільш просто, якщо режим руху середовища є ламінарним. У цьому випадку у напрямку, нормальному для ліній струму, тепло розповсюджується тільки теплопровідністю. У самої стінки, що обтікається, швидкість течії стає паралельній їй (ізотермічні поверхні також). Нормальний до поверхні стінки питомий потік теплоти визначається законом Фур’є (Рис.1.1)

,                                          (2.3)

де

 - питомий тепловий потік,

 - коефіцієнт теплопровідності рідкого середовища, ;

- функція температури середовища, ⁰С (або К);

- відстань від поверхні стінки по зовнішній нормалі.

 

Рисунок 2.1 -  Схема тепловіддачі між поверхнею та теплоносієм

  

 

В той же час, згідно з законом Ньютона, маємо

                                        (2.4)

звідки

,                                       (2.5)

де

 - температура поверхні стінки;

 - температура середовища за межами теплового шару середовища. Під тепловим шаром у даному випадку треба розділити товщину шару, у якому відбувається зміна температури носія від  до

Під середовищем у даному втипадку будемо розглядати рідку або газоподібну субстанцію.

Таким чином, питання зводиться до визначення градієнта температури . Теоретично, це можливо шляхом розв^,язання сумісної задачі теплопровідності для двох об^,єктів: тверда стінка та середовище. При цьому маємо граничні умови контактного теплообміну між поверхнею та середовищем.

                                       ;                                      (2.6)

,                                             (2.7)

де t _ст – температурна функція  стінки;

 - температурна функція середовища.

Розв^,язуючи систему двох диференційних рівнянь теплопровідності, знаходимо необхідне значення градієнта температури .

Складність визначення  при турбулентному режимі руху тепловіддаючого середовища полягає в тому, що у цьому випадку теплота передається на стінку (або відводиться від неї) як за рахунок молекулярної, так і за рахунок турбулентної теплопровідності.

Найчастіше вважають, що у безпосередній близкісті від поверхні стінки турбулентний перенос теплоти затухає, так що в нормальному до стінки напрямку стає визначаючим молекулярний механізм теплопровідності (тобто, як для ламінрного режиму).

В той же час на значення коефіцієнта тепловіддачі  впливає характер руху середовища. Для встановлення цього впливу необхідно, перш за все, вивчити характер розподілу швидкості по потоку.

2.3 Експериментальне визначення коефіцієнта тепловіддачі

Як відомо, коефіцієнт тепловіддачі  представляє собою кількість теплоти, що передається між поверхнею та теплоносієм в одиницю часу через одиничну поверхні при одиночному температурному напорі між зазначеними об^,єктами. Але треба відрізняти місцевий (локальний) коефіцієнт  та загальний. Перший відноситься до локально незначної частки поверхні, другий – до всієї тепловіддавальної поверхні.

При експериментальному вивченні  визначають умовний градієнт температури у пристінному шарі твердого об^,єкта, через поверхню якого відбувається тепловіддача. Для цього вимірюють температуру твердого тіла у близько розташованих між собою точках при  (рис.2.1). 

Тоді маємо

                                    (2.8)

де - визначений перепад температури між двома точками;

- відстань між вимірюваними точками;

- градієнт температури.

Далі визначається шуканий коефіцієнт

 .                                             (2.9)

Якщо визначається локальний коефіцієнт тепловіддачі , маємо

                                            (2.10)

де - кількість теплоти, що передається у локальній тепловій системі в одиницю часу (тепловий потік);

F _л - локальна тепловіддавальна поверхня;

- локальний температурний напір між поверхнею стінки та теплоносієм.

Окрім формули (1.1) маємо інший вираз для тепловіддачі усередині труби

, кВт,                                  (2.11)

де с – питома масова теплоємкість теплоносія,

m – масова витрата теплоносія,

t_n – середня початкова температура теплоносія,⁰С;

 - кінцева температура теплоносія,⁰С.

Якщо треба визначити загальний коефіцієнт тепловіддачі для поверхні F усього об^,єкта, використовують формулу

                                          (2.12)

 

2.4 Диференційне рівняння теплопровідності

У курсі «Тепломасообмін» раніше розглядалось диференційне рівняння теплопровідності для твердих тіл, коли перенос теплоти у просторі відбувається шляхом молекулярної теплопровідності. У випадку рухомого середовища передача теплоти теплопровідностю відбувається як молекулярним так і конвективним шляхом. Розглянемо уважно цей процес.

Кількість теплоти, яка залишається в елементарному об^,ємі, становить

,               (2.13)

де

  - функція температури,

                    - координати.

З іншого боку, за час ця теплота змінює ентальпію таким чином

                                     (2.14)

де - швидкість зміни температури,

- густина теплоносія,

На відміну від , коли середовище нерухоме, шукана температура є складною функцією , а, в свою чергу, координати x,y,z відносно нерухомої системи координат є функціями часу, тобто  

                                                   (2.15)

 

де

x _o, y_o, z_o – координати елементарного об^,єма в момент  . 

Таким чином,

                                          (2.16)

З курсу математики відомо, що в такому випадку повна похідна дорівнює

,                               (2.17)

де

- проекції вектора  швидкості переміщення рідкого елемента на координатні осі (рис.2.1).

 

 

Рисунок 2.2. Координатна схема

Отже, можна записати

                         (2.18)

Часткова похідна  називається локальною(місцевою) похідною температури, а  - її конвективною похідною. Повну похідну температури по часу звичайно позначають  і називають індивідуальною

 (або субстанціальною) похідною.

Остаточно диференційне рівняння теплопровідності для рухомого середовища запишеться

.           (2.19)

 

2. 5. Рівняння руху

Виведення рівняння руху базується на другому законі Ньютона

,                                              (2.20)

де F – сила;

m – маса тіла;

а – прискорення руху тіла.

 

Рисунок 2.3. Елементарний об^,єм у потоці

 

Виділимо у потоці елементарний об^,єм  з ребрами dx,dy,dz (Рис.2.3). На цей об^,єм діють три сили: сила тяжіння, сила тиску та сила тертя. Розглянемо послідовно дію цих сил.

Сила тяжіння, прикладена в центрі тяжіння елементу dv. ЇЇ проекція на ось х дорівнює

,                                     (2.21)

де

g  – проекція на ось х прискорення сили тяжіння;

- маса елемента.

 

Сила тиску. На верхню грань елементу діє тиск р, а на нижню – тиск

На верхню грань діє загальна сила тиску pdydz, а нижню відповідно . Для останньої складової мається знак мінус, бо ця сила направлена проти руху носія. Рівнодіюча сил буде становити

                                (2.22)

Сила тертя Розглянемо це питання на прикладі одновимірного, ламінарного режиму руху у напрямку х (рис.2.4).

 

 

 

Рисунок 2.4. Схема ламінарного одновимірного режиму руху

 

Відомо, що біля стінок швидкість шарів потоку менша(завдяки силам тертя), ніж усередині. Значить, сила тертя на лівій грані s більша, ніж на правій і спрямована проти руху потоку. На правій грані сила тертя  направлена вниз.

Рівнодіюча цих сил становить

.                         (2.23)

Сила тертя s визначається по закону Ньютона

                                          (2.24)

де  - динамічний коефіцієнт в^,язкості, Паּс;

- градієнт проекції швидкості у напрямку х відносно координати у.

Отже, маємо для одновимірного випадку

.                                  (2.25)

У випадку тривимірного руху  змінюється по всім трьом напрямкам. Тоді проекція сили тертя на вісь х буде

                       (2.26)

Складаючи вирази для трьох визначених сил, отримаємо проекцію рівнодіючої всих сил на вісь х:

                                 (2.27)

Згідно з другим законом Ньютона ця рівнодіюча дорівнює добутку маси елементу  та його прискорення :

                    (2.28)

Прирівнюючи (2.21) і (2.26) та (2.28), маємо

= .      (2.29)

По аналогії можна отримати вирази для проекцій сил на осі у та z

     (2.30)                    

      (2.31)                         

Система рівнянь (2.29) – (2.31) є диференційним рівнянням Навьє-Стокса. Воно справедливе як для ламінарного, так і для турбулентного режимів руху.

 

2.6 Рівняння суцільності потоку

Рівняння суцільності потоку виводиться на основі закону про збереження маси.

Виділимо в потоці рухомої рідини елементарний об^,єм  (Рис.2.5) зі сторонами dx,dy,dz.

 

Рисунок 2.5. Схема дії мас на елементарний об^,єм

    

Визначимо масу рідини, що протікає через нього за час . У напрямку осі х через грань АВС D проходить маса в секунду

                                        (2.32)

Через грань ЕFGH  у напрямку х проходить маса

                              (2.33)  

де   – масова швидкість потоку, що проходить через 1 м².

Віднімаючи (2.32) від (2.33), отримаємо лишок маси рідини, що витікає з об^,єму в напрямку осі х

                                        (2.34)

Аналогічно знаходимо для осей у та z

                             (2.35)

.                             (2.36)

Повний лишок маси рідини, що витікає, становить

 (2.37)       

Цей лишок зумовлений зменшенням густини рідини в об^,ємі dv і дорівнює зміні маси даного об^,єму з часом, тобто

                                                                 (2.38)

Знак «минус» показує, що маса зменшується.

Згідно з законом збереження маси маємо

                                   (2.39)

Остаточно отримаємо

 ^.                                   (2.40)

Цей вираз називається диференційним рівнянням суцільності або нерозривності. Для нестисливої рідини  буде

                                 (2.41)

 

2.7 Крайові умови

Для розв^,язання кожного диференційного рівняння треба мати відповідні крайові умови, що визначають однозначність поставленої задачі. Крайові умови розподділяються на граничні та часові.

Граничні умови

- геометричні, що характеризують форму та розміри об^,єкту;

- фізичні показують фізичні властивості теплоносія та твердого тіла;

- граничні дають уявлення про особливості протікання процесу на границі тіла.

Часові

Ці умови визначають характерні особливості протікання процесу з часом. Зокрема, можуть бути виділені функціональні залежності в конкретний момент часу (наприклад, початкові умови, тобто їх значення на початку процесу).

2.8  Визначення подібності

Дослідження фізичних процесів та явищ, що відбуваються у діючих промислових об^,єктах часто натикаються на подолання труднощів економічного та технічного характеру. Тому, часто удаються до вивчення зазначених явищ на об^,єктах меншого розміру, так званих моделей. основні правила конструювання і використання моделей визначаються теорією подібності фізичних величин.

Подібність фізичних величин є узагальненням геометричної подібності. Сформулюємо визначення подібності величин. У геометрії трикутники будуть подібними, якщо їх відповідні сторони пропорційні, тобто (рис.2.6)

                                      (2.42)

де - константа геометричної подібності (масштабний коефіцієнт).

 

Рисунок 2.6. Подібні трикутники

Таким чином, сторони одного трикутника визначаються через сторони іншого простим помноженням на масштабний коефіцієнт.

Аналогічно, фізичні явища подібні, якщо подібні всі величини, що визначають ці явища, тобто кожна величина одного явища може бути отримана із такої ж величини іншого явища простим помноженням на масштабний коефіцієнт (подібно зміні розмірів розмірностей, наприклад 1 метр = 10 дециметрів):

                                           (2.43)

 

де  та - деякі величини;

- масштабний коефіцієнт.

Необхідно мати на увазі:

- поняття подібність може бути застосоване тільки до явищ якісно однакових, котрі описуються одними і тими ж рівняннями;

- для подібностей фізичних явищ необхідна їх геометрична подібність.

Для теплової подібності двох потоків необхідно, щоб ці потоки були обмежені стінками геометрично подібної конфігурації і щоб по всьому об^,єму системи були подібні всі фізичні величини: густина, в^,язкість, температура, швидкість та ін., тобто

        .       (2.44)

При цьому кожна фізична величина може мати свою константу

подібності, відмінну від інших.

Всі явища подібні, якщо критерії подібності, що складені із їх однорідних величин, однакові між собою. Наприклад, для гідромеханічної подібності маємо критерії Рейнольдса

                       (2.45)

 

де

 - швідкість;

d – діаметр потоку;

 - кінематичний коефіцієнт в^,язкості.

Критерії подібності мають нульову розмірність, наприклад,

                                       (2.46)

де знак  позначає, що дана величина має певну розмірність.

2.9 Аналіз розмірностей.  - теорема

Всі фізичні величини мають розмірність. Приведемо таблицю розмірностей деяких величин.

Кожне фізичне явище характеризується рядом величин. У загальному випадку явище може бути математично сформульоване таким чином

                                            (2.47)

де х _n – величина, що характеризує явище.

Одним із методів аналізу розмірностей є  - теорема, яка встановлює зв^,язок між функцією, вираженою через розмірні величини і функцією в безрозмірній формі. Під безрозмірними величинами треба розуміти комплекси розмірних величин, складених так, що вони не мають розмірності ( та ін.).

 

Таблиця 2.1 - Розмірність фізичних величин

№№	Величина	Розмірність в системі SI	Основні розмірності Mlτt
1	Маса	кг	M
2	Довжина	м	L
3	Час	с
4	Температура	К	T
5	Густина	кг/м^3	м l^-3
6	Сила		мlτ^-2
7	Тиск		мl ^-1 τ^-2
8	Швидкість	м/с	lτ^-1
9	Прискорення	м/с^2	lτ^-2
10	Коефіцієнт динамічної в^,язкості		мl ^-1 τ^-1
11	Коефіцієнт кінематичної в^,язкості	м^2/с	l^2τ^-1
12	Енергія	Н ּ м=кг ּ м^2/с^2	мl^2τ ^-2
13	Питома масова теплоємкість	кДж/кгК=	l^2τ^-2t^-1
14	Потужність	Н ּ м/с =	м l ^2 τ^-3
15	Питома ентальпія	кДж/кг=	l^2τ^-2
16	Коефіцієнт теплопровідності	кДж/м ּ К=кгм/с^3К	м l τ^-3t^-1
17	Коефіцієнт температуропровідності	м^2/с	l^2τ^-1

 

Згідно з  - теоремою (або теоремою Бекінгема) із  розмірних величин можна скласти ряд безрозмірних величин, що також характеризують явище. При цьому, якщо кількість розмірних величин n, а число основних розмірностей k, то кількість безрозмірних комплксів (чи критеріїв подібності) становитиме m

.                                              (2.48)

Якщо позначити безрозмірну величину , то маємо

                                       (2.49)

Встановимо, як можна визначити критерії подібності. Припустимо, що явище характеризується швидкістю, діаметром та кінематичною в^,язкістю, тобто

^.                                                                     (2.50)

Відповідно, маємо

      

Запишемо степеневу функцію, яка має дати безрозмірний вираз

 

Відповідно, отримаємо добуток всіх розмірностей

                                  (2.51)

Звідси отримаємо систему двох рівнянь

З цих рівнянь знайдемо необхідні співвідношення

Тоді

.                   (2.52)

Таким чином, розглянуте явище визначається трьома розмірними величинами . В той же час, при використанні безрозмірних величин достатньо одного критерія Рейнольдса Re.

Якщо розглядаються два потоки, то вони подібні, якщо  Але кожна величина повинна мати свій масштабний коефіцієнт, тобто

 

Температурне поле нерухомого тіла підкоряється диференційному рівнянню теплопровідності. Для одновимірного поля маємо

                                   (2.53)

де a – коефіцієнт температуропровідності;

х – координата

R –характерний розмір об^,єкта;

 - час.

Треба також врахувати початкову температуру .

Маємо таку функцію

                                            (2.54)

Відповідні розмірності

,

а також

 

Будемо шукати безрозмірну функцію температури у такому вигляді

Таким чином, отримаємо наступні рівняння

Звідси

або

                                     (2.55)

Таким чином, маємо критеріальне рівняння

де - безрозмірна (відносна) теммпература;

- критерій Фурье;

- відносна координата.

2. 10 Умови гідромеханічної подібності

Гідромеханічна подібність визначає умови при яких в геомерично подібних системах відбуваються подібні рухи.

Розглянемо дві подібні системи. Маємо для першої системи:

рівняння суцільності

                                                (2.56)

рівняння руху

                        (2.57)

для другої системи

рівняння суцільності:

                                          (2.58)

рівняння руху

 .                             (2.59)

Із визначення подібності маємо:

Всі змінні другої системи можуть бути виражені через змінні першої системи:

 та ін.                                             (2.60)

Підставляючи (2.60) в рівняння (2.58) і (2.59), маємо

   (2.61)                            

Тепер обидві системи, виражені через змінні першої системи. Прирівнюючи рівняння руху цих систем, отримаємо

Розглядаючи попарно ці співвідношення, знаходимо

                                           (2.62)

                                                           (2.63)

                                                (2.64)

 .                                     (2.65) 

Надалі можна отримати критерії гідромеханічної подібності. Для цього замість констант подібності необхідно підставити їх значення

;

де

Но – критерій гомохронності (безрозмірний час);

Fr – критерій Фруда;

Eu – критерій Ейлера;

Re – критерій Рейнольдса.

Як згадувалось раніше, при гідромеханічній подібності двох потоків мають однакове значення критерії Ho, Eu, Fr, Re.

 

2.11 Умови теплової подібності

Теплова подібність передбачає подібність теплових потоків температурних полів. При цьому мають бути також геометрична та гідромеханічна подібність.

Припускаємо дві подібні системи. Маємо для першої системи

рівняння теплопровідності

              (2.66)

рівняння теплообміну

                                          (2.67)

для другої системи

рівняння теплопровідності

     (2.68)

рівняння теплообміну

.                                      (2.69)

Маємо коефіцієнт подібності

Використовуючи ці коефіцієнти, запишемо рівняння другої системи

                     (2.70)

                                (2.71)

Із умови тотожності рівнянь (2.66) і (2.67) з рівняннями (2.70) і (2.71) маємо

Після попарного порівняння маємо

Підставляючи замість констант їх значення, маємо

         - критерій Фурье;

- критерій Пекле;

- критерій  Нуссельта.

Якщо в останньому виразі під  розуміється характерний розмір потоку, то використовують критерії Нуссельта. Якщо мається на увазі твердий об^,єкт, то цей вираз вважають за критерій Біо (Bi).

Таким чином, при тепловій відповідно подібності двох чи більше потоків критерії подібності Fo, Пекле та Nu повинні бути однакові.

Критерій Пекле може бути перетворений таким способом

де - критерії Прандтля.

 

2.12 Критеріальні рівняння конвективного теплообміну

При експериментальному вивченні конвективного теплообміну шуканою величиною являється коефіцієнт теплообміну . Знайдена для різних випадків величина  разом з іншими фізичними характеристиками обробляється у вигляді деяких безрозмірних комплексів (критеріїв). Таким чином, формується функціональна залежність для деякої теплової системи, наприклад

.                         (2.72)

Як було сказано раніше, теплова подібність передбачає подібність гідромеханічну. Відомо, що потік може бути вільний і вимушений. Характер вимушеного потоку визначається критерієм Рейнольдса, тобто ламінарний

(Re 2320) або турбулентний (Re> 2320) рух. Для описання вільного переміщення розглянемо додаткові критерії

 - критерій Галілея.                      (2.73)

Швидкість вільного потоку не є визначеною величиною. Критерій Галілея не включає в розгляд цю величину і розглядає тільки в^,язкість та об^,єм системи. Але цей критерій нічого не говорить про рух вільного потоку. Цей рух може бути зумовлений підйомною силою потоку. В свою чергу ця сила може бути спричинена різницею густини рідини чи газу в різних точках простору , наприклад, за рахунок різних концентрацій чи температур. У зв^,язку з цим маємо додаткові критерії

 - критерій Архімеда;                     (2.74)

- критерій Грасгофа,                                   (2.75)

де - коефіцієнт об^,ємного розширення.

У загальному випадку може відбуватися разом вимушений і вільний рух. Тоді розглянемо два випадки.

 

2.13 Критеріальні рівняння гідромеханіки потоку

    

Нестаціонарний вимушено- вільний потік

                                   (2.76)

Нестаціонарний вимушений потік

                                         (2.77)

Нестаціонарний вільний потік

 

                                         (2.78)

 Стаціонарний вимушений потік

 

                                            (2.79)

Стаціонарний вільний потік