Дискретные и цифровые сигналы

Аналоговым (непрерывным во времени) называется такой сигнал, который описывается непрерывной функцией времени. Типичным аналоговым сигналом (точнее сообщением) является речь и изображение, гармонический сигнал и др.

Дискретный сигнал задан однозначно на счетном множестве точек временной оси,

т. е. описывается дискретной функцией времени. Как правило, шаг дискретизации, т.е. период следования дискретных моментов (точек), для каждого сигнала постоянен. Отсчётные значения сигнала в каждой точке могут иметь произвольную величину.

Цифровой сигнал – частный случай дискретного сигнала. Он характеризуется тем, что его отсчётные значения квантованы по величине, т.е. их можно представить числами с конечным числом разрядов (цифр). Если шаг квантования ∆ _k устремить к нулю, то цифровой сигнал будет эквивалентен дискретному сигналу.

Процедура дискретизации непрерывного сигнала приводит к тому, что в паузах между точками дискретизации сигнал условно считается равным нулю, т.е. его отсчёты можно представить как произведение функции сигнала на функцию единичного импульса r (t)

                              

       Единичный импульс имеет амплитуду равную единице и длительность стремящуюся к нулю. Поэтому такой сигнал  является импульсным сигналом с бесконечно узкими импульсами. Этот импульсный сигнал представляет собой последовательность единичных импульсов, промодулированных по амплитуде непрерывным сигналом (это так называемый АИМ-сигнал). Его иногда называют решётчатым сигналом. Для удобства анализа дискретных ЭЦ такой сигнал ещё больше идеализируют и представляют в виде произведения исходного сигнала s(t) на дискретизирующую последовательность h(t), состоящую из d-функций, т.е.

                                          ,                                                 

где T_Д интервал дискретизации исходного сигнала.

       Соответствующий импульсный сигнал описывается следующей формулой 

                                           ,                                         

где s(k) отсчет непрерывного сигнала в точке k.

        Площадь спектральной составляющей в соответствии с фильтрующим свойством d-функции будет равна значению исходного сигнала в точке kT _д. Его часто называют идеальным импульсным сигналом.

      Преобразования аналогового сигнала в дискретный сигнал осуществляют с помощью ключа- дискретизатора как показано на рис. 6.1. Непрерывный сигнал U(t), показанный на рис.6.1,а) поступает на ключевую схему, которая с частотой дискретизации f _Д преобразует его в последовательность коротких импульсов рис. 6.1,б). Амплитуда этих импульсов равна значению непрерывного сигнала в отсчетных точках. Таким образом, огибающая импульсной последовательности соответствует входному непрерывному сигналу.

 

                                                      Рис.6.1

 

       На рис. 6.1,в) показана временная диаграмма соответствующего импульсного сигнала. Скорость передачи дискретных значений сигнала определяется частотой дискретизации.

Пусть дискретный сигнал задан своими отсчетами при всех значениях t ³ 0, тогда для его описания можно использовать модель импульсного сигнала. Если непосредственно провести вычисления по формулам прямого преобразования Фурье или Лапласа, то найдем

.                    

Это преобразование Лапласа дискретного сигнала (ряд Дирихле). Используя соотношение , можно от преобразования Лапласа перейти к преобразованию Фурье, т.е. получить спектральную плотность сигнала.

При дискретизации непрерывных сигналов стоит вопрос о выборе интервала Т _Д, который определяется теоремой отсчетов, носящей название “теоремы Котельникова”. Она формулируется следующим образом: Непрерывный сигнал, спектр которого не содержит частот выше , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени T _Д=1/2 f _в.

Способ однозначного восстановления сигнала определяется рядом Котельникова:

       , где .                                      

Сравнивая ряд Котельникова с обобщённым рядом Фурье, рассмотренным ранее,

                                                      ,                                             

можно сделать вывод о том, что в представлении рядом Котельникова используется обобщенный ряд Фурье с системой ортонормированных функций следующего вида

                              .                                                     

Именно такой сигнал имеет строго ограниченный спектр.

6.2. Преобразование формы сигналов

Процесс преобразования аналоговой формы сигнала в цифровую включает два этапа: дискретизацию во времени, рассмотренную в предыдущем разделе, и квантование по уровню. Если первая операция линейная, то вторая – нелинейная. Квантованные уровни сигнала соответствуют ряду чисел от нуля до максимального числа, определяемого разрядностью квантователя.

Из технических соображений числа представляются в двоичном коде (т. е. комбинацией цифр двоичного кода «0» и «1»), что объясняется достижениями микроэлектроники в разработке элементов с двумя устойчивыми состояниями. Таким образом, фрагмент соответствующего цифрового сигнала имеет вид, показанный на рис.6.2. На этом рисунке показано четыре уровня квантования непрерывного сигнала u₁(t). Физически последовательность 2-х чисел отображается последовательностью уровней напряжения. Например, «1» это +5 В, «0» это 0 В. Тогда физический цифровой сигнал имеет вид, показанный на диаграмме преобразования рис. 6.2 в виде напряжения u₂(t). Сигнал именно такого вида действует на входе и выходе цифровой ЭЦ. Конечно, это непрерывный, по сути, сигнал. Однако определяющим для такого сигнала является цифровой код, т. е. набор чисел - комбинаций цифр принятого кода (в частности двоичного кода).                        

Переходы от дискретного сигнала к аналоговому сигналу и наоборот осуществляются с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и аналогово-цифрового преобразователя (АЦП). Эти переходы показаны на рис. 6.2 стрелками с соответствующими структурными звеньями.

 Рис.6.2

                                                                      

      АЦП осуществляет преобразование каждого дискретного десятичного значения сигнала в двоичную систему исчисления. Например,

3 = 0×2²  + 1×2¹ + 1×2⁰ = 011. 

Чем выше требуемая точность АЦП, тем больше необходимое число разрядов «n».

Тактовая частота, с которой работает АЦП, равна частоте дискретизации. Она должны удовлетворять условию

                                                                  ,                                                           

так как максимальный десятичный эквивалент двоичного числа будет

                                                                  .                                          

      Цифровые сигналы характеризуются скоростью передачи, которая измеряется в бит/с. Бит - минимальное сообщение, означающее выбор одного из двух значений: "0" или "1". 1 байт равен 8 бит. На передачу  сигнала через электрическую цепь со скоростью 1 бит/с обычно требуется 1 Гц полосы частот (предел Найквиста).