Теорема о масштабе (подобии).

     Если известен сигнал и его спектральная плотность, то Фурье-преобразование равно , где k – коэффициент.

Теорема о модуляции.

     Если известен сигнал  и его спектральная плотность , то Фурье-преобразование равно: .

Таким образом, при умножении сигнала на  его спектр сдвигается по оси частот на величину .

Теорема Парсеваля.

Если заданы два сигнала с известными спектральными плотностями, то их скалярное произведение равно:

.

       Частный случай  приводит к следующему равенству (иногда называют равенством Релея):

                   .             (2.6)

       Физический смысл этого равенства заключается в том, что энергию сигнала можно определить по спектральной плотности. Поэтому, если сравнить спектральные плотности сигнала до обработки и после можно судить об энергетических искажениях при обработке

 2.1. Спектральная плотность сингулярных сигналов

 

Элементарные сигналы (функции) часто используются для описания более сложных, например, цифровых сигналов. Это позволяет производить с ними различные операции по правилам непрерывных сигналов, что существенно облегчает анализ. Наибольший интерес представляют элементарные сингулярные сигналы, т.е. сигналы, имеющие разрывы непрерывности. Рассмотрим основные из них.

Единичная функция. (рис. 2.2)

                                          

Рис. 2.2

 

Аналитическое описание единичной функции, которая еще называется функцией Хевисайда или функцией включения, имеет следующий вид:

                                                          (17.1)

Таким образом, единичная функция - это «скачок» от 0 до 1 в момент t = 0 (для определенности считают )

Прямое определение спектральной плотности единичной функции невозможно, поскольку она не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Однако, можно найти ее спектральную плотность, воспользовавшись предельным переходом и линейностью преобразования Фурье. Находим:

                

Единичный прямоугольный импульс определяется аналитической записью следующего вида:

                                         

где  – длительность импульса.

 

                               

Рис.2.3

 

Спектральная плотность прямоугольного импульса находится непосредственно из прямого преобразования Фурье. Получим:

                                     

При описании сигналов иногда используют, так называемый, единичный импульс r(t), имеющий единичную амплитуду и бесконечно малую длительность. Единичный импульс связан с прямоугольным импульсом следующим соотношением:

 

Дельта–функция (рис. 2.4).

                                         

 Рис. 2.4

 

Аналитическая запись  функции, которая также называется функцией Дирака, имеет следующий вид:

                                         

Дельта-функция связана с единичной функцией очевидным соотношением:

                                     ,                                                  

т.е. она выражает скорость изменения . Поэтому их размерность отличается множителем 1/с (если  -безразмерна, то  - имеет размерность [1/с]).

-функция обладает двумя важными свойствами:

                                       .                

Последнее свойство называется “фильтрующим свойством” -функции. Из этого свойства непосредственно следует спектральная плотность -функции:

                                                                           (2.7)

Для описания сигналов иногда используют связь между -функцией и единичным импульсом:

                                 .                                                    

Используя выражение (2.7) и свойство линейности преобразования Фурье легко найти спектральную плотность постоянного во времени сигнала, т.е. когда s(t) = 1 при . Находим:

                                 ; .                            

Поскольку единичную функцию можно представить суммой , где sign(t) – функция знака, т.е. функция, определяемая следующим соотношением:

                                 ,

постольку спектральную плотность единичной функции иногда представляют в следующем виде:

                                                                                       

       Таким образом, особенность спектральной плотности единичной функции подчеркивается отдельным слагаемым.

Тема 2. Теория электрических фильтров

Лекция 3