Синтез фильтров по рабочим параметрам. Фильтры Баттерворта и Чебышева

       Электрическим фильтром называют четырехполюсник, пропускающий электрические колебания в определенной полосе частот, называемой полосой пропускания (ПП) и не пропускающий электрические колебания в другой полосе частот, называемой полосой задерживания (ПЗ). Фильтры являются частным случаем четырехполюсников. Поэтому они также описываются характеристическими либо, что чаще, рабочими параметрами. Рабочие параметры предусматривают обеспечение ослабления в полосе пропускания ниже определенного уровня, а в полосе задерживания – выше определенного уровня. Это лучше соответствует основному назначению фильтров.

По характеру зависимости модуля их комплексной передаточной функции (АЧХ) от частоты Н(f) электрические фильтры подразделяются на фильтры: нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и режекторные (РФ). На рис. 29.1 приведены идеальные амплитудно-частотные характеристики соответствующих фильтров.

 

                                                                  Рис.3.1

       Показанные на рис. 3.1 АЧХ потому являются идеальными, что фильтры с такими характеристиками идеально соответствуют своему назначению. Однако характеристики реальных фильтров могут значительно отличаться от приведенных на рисунке. Граничные частоты f _Г определяют границы полос пропускания и задерживания.

       Структурное обозначение ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ представлено на рис. 3.2

 

      

                                                      Рис. 3.2

       Перечеркнутая волнистая линия обозначает своим расположением тот диапазон частот, который задерживается фильтром. Например, у ФНЧ задерживаются верхние частоты и так далее.

       Одним из основных параметров фильтра является зависимость его рабочего ослабления от частоты. Рабочее ослабление фильтра показывает, на сколько децибелл полная мощность, выделяемая в нагрузке на его выходе, меньше полной максимальной мощности, которую может отдать источник в согласованную нагрузку. Рабочее ослабление оценивается в децибелах и определяется следующей формулой

                                                                                                    

Рабочая комплексная передаточная функция  непосредственно связана с рабочим ослаблением фильтра  следующим соотношением

или .                                    

       Большинство фильтров относятся к линейным цепям с сосредоточенными параметрами, поэтому их передаточные функции являются дробно-рациональными. Используя различные методы аппроксимации идеальных передаточных функций дробно-рациональными функциями (например, по Тейлору, по Чебышеву, метод наименьших квадратов и другие), можно получить разнообразные полиномиальные функции фильтрации. В зависимости от аппроксимирующей функции (функции фильтрации) фильтры делятся на фильтры Баттерворта,  Чебышева, Золотарева, Кауэра, Гаусса и другие.

       Функция фильтрации  однозначно связана с передаточной функцией и, например, для ФНЧ определяется следующей формулой

                              ,                                                              (3.1)

где ε – коэффициент неравномерности ослабления,  - нормированная (безразмерная) частота, - граничная частота полосы пропускания.

На рис. 29.3 для примера показан график функции фильтрации идеального ФНЧ

                             

                                                      Рис. 3.3

При изменении нормированной частоты от 0 до 1 функция фильтрации равна нулю, а для частот больших 1 функция фильтрации стремится к бесконечности. Если подставить эту функцию в выражение (3.1), то в результате получим АЧХ идеального ФНЧ, показанную на рис. 3.1.

При расчете фильтров используют результаты синтеза для нормированных сопротивлений и частот. Такой подход при синтезе делает эти результаты универсальными, т.е. их можно использовать для самых разнообразных исходных данных.

Нормирование - деление исходной величины на эталон. В качестве эталонного (нормирующего) сопротивления R₀ выбирают сопротивление нагрузки, т.е. R₀=R_Н. Тогда, например, некоторое нормированное операторное сопротивление будет определяться следующим соотношением.

                                                            

В качестве эталонной (нормирующей) частоты w₀ выбирают граничную частоту полосы пропускания или среднегеометрическое значение двух таких частот, т.е. нормированной частотой будет

                                                                                                      

На рис. 3.4 показаны графики рабочего ослабления для ФНЧ и ПФ.

 

                                                      Рис. 3.4

Для ФНЧ нормирующей частотой будет полоса пропускания, а для ПФ среднегеометрическое значение нижней и верхней полос пропускания, как показано на рис. 3.4