Фильтры Баттерворта и Чебышева

Если в качестве функции фильтрации использовать полином Баттерворта

,                                                                   

то получатся фильтры Баттерворта. При использовании в качестве функции фильтрации полиномов Чебышева

                              ,                                                                        

где полином Чебышева  равен , либо равен приходим к фильтрам Чебышева. Соответствующие графики ослабления для таких ФНЧ приведены на рис. 3.5

б)

а)

Рис. 3.5

На рис. 3.5,а показано изменение ослабления для двух ФНЧ Баттерворта, порядок которых равен 2 и 4. Чем больше порядок ФНЧ, тем круче кривая ослабления, которая определяется как

                                                                     

При n стремящемся к бесконечности приходим к ослаблению идеального ФНЧ.

На рис. 3.5,б показано изменение ослабления для ФНЧ Чебышева шестого порядка. Ослабление в полосе пропускания последовательно изменяется n раз от нуля до A_{р макс}. Рабочее ослабление ФНЧ Чебышева определяется следующей формулой

                                                                                          

При расчете требования к фильтрам задают с помощью рабочих параметров в следующем составе:

· A_{р макс} - максимально допустимое ослабление в ПП,

· A_{р мин} - минимально допустимое ослабление в ПЗ,

· f_п - граничная частота ПП (для РФ ПФ задаются f_п1 и f_п2),

· f_з - граничная частота ПЗ (для ПФ и РФ задаются f_з1 и f_з2).

 

На рис. 3.6 приведена общая схема нагруженного фильтра. Однако при синтезе фильтра считают, что сопротивление нагрузки и внутреннее сопротивление источника (генератора) являются резистивными, т.е. Z _Н = R_Н, Z _Г = R_И. Такой подход не уменьшает общности результатов, поскольку фильтр является реактивным четырехполюсником и реактивность нагрузки и источника можно отнести к фильтру.

                              Рис. 3.6

       Со стороны входных зажимов нагруженный фильтр рис. 30.1 при синтезе рассматривают как двухполюсник, обладающий некоторым входным комплексным сопротивлением. На таком подходе основан метод синтеза, который носит название метода Дарлингтона.

   Специального вида подстановка аргумента (частоты) в выражение для рабочей АЧХ позволяет перейти от синтезированного ФНЧ к любому другому типу фильтра: ФВЧ, ПФ, РФ, как это показано на рис. 3.7. Таким образом, при синтезе разнообразных фильтров можно ограничится лишь синтезом ФНЧ – прототипа, а затем путем простой замены переменной получить нужный фильтр. Такой способ называется преобразованием шкалы частот.

 

 

 

ФНЧ ® ФВЧ                     ФНЧ ® ПФ                     ФНЧ ® РФ

 

                                                      Рис. 3.7

Метод преобразования шкалы частот  позволяет проводить расчет любого фильтра по следующим этапам:

- по заданным требованиям к фильтру определяют требования к ФНЧ-прототипу,

- решают задачу синтеза (нахождения схемы) для ФНЧ-прототипа,

- схему ФНЧ-прототипа преобразуют в схему заданного фильтра (с помощью таблицы перехода),

- производят денормирование элементов фильтра по соответствующим формулам.

В качестве примера решения тестового задания определим соответствие между типом ФНЧ и его АЧХ (см. рис. 3.8):

 

Баттерворта Чебышева Золоторева

а б в

 

                                          Рис. 3.8

           

АЧХ фильтра обратно-пропорциональна рабочему ослаблению (см. рис. 3.5). Тогда можно найти правильный ответ на задание, а именно (1-б, 2-а, 3-в).  

 

Лекция 4

Схемная реализация полиномиальных фильтров

Синтез ФНЧ-прототипа ставит своей задачей найти схему фильтра и параметры всех его элементов. Схема включения нагруженного ФНЧ-прототипа, который необходимо синтезировать, показана на рис. 4.1

                                                      Рис. 4.1

Исходными данными для синтеза ФНЧ являются: f_п, кГц - граничная частота ПП;  f₃, кГц - граничная частота ПЗ;  A_{р макс}, дБ - неравномерность ослабления в ПП; A_{р мин}, дБ - минимальное ослабление в ПЗ;  R_И=R_H, Ом - сопротивление источника (генератора) и нагрузки. Синтез фильтра основан на методе Дарлингтона.

 Алгоритм  синтеза включает насколько этапов:

1. Нормализуется полоса задерживания f₃ относительно полосы пропускания f_п в соответствии с формулой W₃ =f₃/f_п .

2. Находится коэффициент неравномерности на частоте Ω_П = 1, т.е. .

3. Вычисляется число реактивных элементов ФНЧ – прототипа, на частоте Ω_З, т.е. для ФНЧ Баттерворта находим

                              ,                                                            

где                                                                                                                      

Для ФНЧ Чебышева получим

                   ,                                                                  

где .

Далее округляем n в формулах до ближайшего целого числа большего n, поскольку число элементов не может быть дробным. Например, если n =3,1, то выбираем n =4.

4. Для определения передаточной функции ФНЧ – прототипа находятся полюсы передаточной функции в соответствии со следующими формулами:

Для ФНЧ Баттерворта

 где  k =1,2,...,n.              

Для ФНЧ Чебышёва

                                

где k =1,2,...,n,

5. Определяется рабочая передаточная функция ФНЧ – прототипа Н_Р (р) путем представления знаменателя в виде произведения постоянной и n линейных множителей, поскольку ее полюсы (корни знаменателя) определены. Далее знаменатель передаточной функции, который является полиномом Гурвица, можно представить в виде полинома степени n.

6. Находится входное операторное сопротивление нагруженного ФНЧ в виде дробно-рациональной функции следующего вида

                                          ,                                           

где коэффициент отражения определяется найденной рабочей передаточной функцией в соответствии с уравнением

                              .                               

7. Формула входного операторного сопротивления раскладывается  в цепную дробь. Причем, если первым элементом фильтра является индуктивность, то

                                               

Если первым элементом фильтра является емкость, то раскладываем её в цепную дробь следующего вида

                                                                       

При ускоренном синтезе вместо Z_BX(p) строят операторное входное сопротивление только половины фильтра Z_BX2(p).

8. В зависимости от четности или нечетности n получают схему фильтра с нормированными параметрами. На рис. 31.2 показана схема ФНЧ с четным числом элементов, например, шестого порядка

                                                                  Рис. 4.2

       На рис. 4.3 приведена схема ФНЧ с нечетным числом элементов, например, пятого порядка.

                                                             Рис. 4.3

 Нормированные величины на приведенных схемах, обозначены штрихом сверху.

9. Производится денормирование элементов фильтра.

Только в случае чётного порядка ФНЧ Чебышёва при разложении в цепную дробь может получиться, что R^’_Н ¹1. Это означает, что сопротивление R₀ не может быть равным R_H.

Пусть, например, получено R^’_Н= a ¹1. Для того, чтобы сопротивление нагрузки оказалось равно заданному, денормирование следует проводить по следующим формулам (вместо R_H следует подставлять R_H /a)

                                                    

10. Строится график функции рабочего ослабления A_p(W), по которому проверяется выполнение данных, заданных для синтеза

Нормирование сопротивления и частоты приводит к нормированию индуктивности и емкости в схеме фильтра. Нормированные величины, обозначенные штрихом сверху, будут безразмерными. Для перехода к реальным значениям величин используют операцию денормирования, т.е. денормирование это переход от нормированной к исходной величине по следующей общей формуле

                              ,                                                                     Соответственно для элементов фильтра получим следующие формулы перехода

, ,                                            

                                              

       Коэффициенты денормирования совпадают по размерности с исходными величинами.

       , ,                          

 

      Нормирование позволяет получить расчетные формулы в общем виде, пригодном для различных значений граничных частот и сопротивлений нагрузки.

       Пусть в результате синтеза ФНЧ – прототипа получена схема рис. 4.4

                                                      Рис. 4.4

       На этой схеме представлен ФНЧ пятого порядка с нормированными параметрами.

      Преобразование схемы ФНЧ – прототипа в схему необходимого фильтра при преобразовании шкалы частот производится путем интерпретации каждого элемента прототипа в новое схемное качество в соответствии с таблицей  4.1.

                                                                                                            Таблица 4.1

Исходная схема   ФНЧ
Схема согласно подстановке ФВЧ
Схема согласно подстановке     ПФ
Схема согласно подстановке   РФ