Види середніх і способи їх обчислення

Розглянемо тепер види середніх величин, особливості їх числення і області застосування. Середні величини діляться на два великі класи: статечні середні, структурні середні.

До статечних середніх відносяться такі найбільш відомі і часто вживані види, як середня геометрична, середня арифметична і середня квадратична.

Як структурні середні розглядаються мода і медіана.

Зупинимося на статечних середніх. Статечні середні залежно від представлення початкових даних можуть бути простими і зваженими. Проста середня вважається за не згрупованими даними і має наступний загальний вигляд:

,

де Xi – варіанту (значення) усереднюваної ознаки;
m – показник ступеня середньої;
n – число варіант.

Зважена середня вважається за згрупованими даними і має загальний вигляд

,

де Xi – варіанту (значення) усереднюваної ознаки або серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанту;
m – показник ступеня середньої;
fi – частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення усереднюваної ознаки.

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). Залежно від того, яке значення він приймає, розрізняють наступні види статечних середніх:
середня гармонійна, якщо m = -1;
середня геометрична, якщо m –> 0;
середня арифметична, якщо m = 1;
середня квадратична, якщо m = 2;
середня кубічна, якщо m = 3.

Якщо розрахувати всі види середніх для одних і тих же початкових даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантности середніх: із збільшенням показника ступеня m збільшується і відповідна середня величина:

У статистичній практиці частіше, ніж решта видів середніх зважених, використовуються середні арифметичні і середні гармонійні зважені.

Таблиця 5.1- Види статечних середніх

Вид статечної середньої	Показник ступеня (m)	Формула розрахунку
		Проста	Зважена
Гармонійна	-1
Геометрична	0
Арифметична	1
Квадратична	2
Кубічна	3

Середня гармонійна має складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простій слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьом, чотирьом і так далі) підприємствах, робочим, зайнятим виготовленням одного і того ж виду продукції, однієї і тієї ж деталі, виробу.

Головна вимога до формули розрахунку середнього значення полягає в тому, щоб всі етапи розрахунку мали реальне змістовне обгрунтування; набутого середнього значення повинне замінити індивідуальні значення ознаки у кожного об'єкту без порушення зв'язку індивідуальних і звідних показників. Інакше кажучи, середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні кожного індивідуального значення усереднюваного показника його середньою величиною залишався без зміни деякий підсумковий звідний показник, зв'язаний тим або іншим чином з усереднюваним. Цей підсумковий показник називається таким, що визначає, оскільки характер його взаємозв'язку з індивідуальними значеннями визначає конкретну формулу розрахунку середньої величини. Покажемо це правило на прикладі середньої геометричної.

Формула середньої геометричної         

використовується найчастішим при розрахунку середнього значення по індивідуальних відносних величинах динаміки.

Середня геометрична застосовується, якщо задана послідовність ланцюгових відносних величин динаміки, вказуючих, наприклад, на зростання об'єму виробництва в порівнянні з рівнем попереднього року: i1, i2, i3..., in. Очевидно, що об'єм виробництва в останньому році визначається початковим його рівнем (q0) і подальшим нарощуванням по роках:   qn=q0 i1 i2... in.

Прийнявши qn як визначального показника і замінюючи індивідуальні значення показників динаміки середніми, приходимо до співвідношення

Звідси

Структурні середні

Особливий вид середніх величин – структурні середні – застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (статечного типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якби в розглянутому прикладі були відсутні дані і про об'єм виробництва, і про суму витрат по групах підприємств).

Як структурні середні найчастіше використовують показники моди – найбільш значення ознаки, що часто повторюється, – і медіани – величини ознаки, яка ділить впорядковану послідовність його значень на дві рівні за чисельністю частини. У результаті у однієї половини одиниць сукупності значення ознаки не перевищує медіанного рівня, а у іншої – не менше його.

Якщо ознака, що вивчається, має дискретні значення, то особливих складнощів при розрахунку моди і медіани не буває. Якщо ж дані про значення ознаки Х представлені у вигляді впорядкованих інтервалів його зміни (інтервальних рядів), розрахунок моди і медіани декілька ускладнюється. Оскільки медіанне значення ділить всю сукупність на дві рівні за чисельністю частини, воно опиняється в якомусь з інтервалів ознаки X. За допомогою інтерполяції в цьому медіанному інтервалі знаходять значення медіани:

,

де XMe – нижня межа медіанного інтервалу;
hMe – його величина;
(Sum m)/2 – половина від загального числа спостережень або половина об'єму того показника, який використовується як розрахунок середньої величини, що зважує у формулах (у абсолютному або відносному виразі);
SMe-1 – сума спостережень (або об'єму ознаки, що зважує), накопичена до початку медіанного інтервалу;
mMe – число спостережень або об'єм ознаки, що зважує, в медіанному інтервалі (також в абсолютному або відносному виразі).

При розрахунку модального значення ознаки за даними інтервального ряду треба звертати увагу на те, щоб інтервали були однаковими, оскільки від цього залежить показник повторюваності значень ознаки X. Для інтервального ряду з рівними інтервалами величина моди визначається як

,

де Хmo – нижнє значення модального інтервалу;
mMo – число спостережень або об'єм ознаки, що зважує, в модальному інтервалі (у абсолютному або відносному виразі);
mMo-1 – те ж для інтервалу, передування модальному;
mMo+1 – те ж для інтервалу, наступного за модальним;
h – величина інтервалу зміни ознаки в групах.

Показники варіації

Конкретні умови, в яких знаходиться кожен з об'єктів, що вивчаються, а також особливості їх власного розвитку (соціальні, економічні і ін.) виражаються відповідними числовими рівнями статистичних показників. Таким чином, варіація, тобто неспівпадання рівнів одного і того ж показника у різних об'єктів, має об'єктивний характер і допомагає пізнати суть явища, що вивчається.

Для вимірювання варіації в статистиці застосовують декілька способів.

Найбільш простим є розрахунок показника розмаху варіації Н як різниці між максимальним (Xmax) і мінімальним (Xmin) спостережуваними значеннями ознаки:

H=Xmax - Xmin.

Проте розмах варіації показує лише крайні значення ознаки. Повторюваність проміжних значень тут не враховується.

Строгішими характеристиками є показники тієї, що коливається щодо середнього рівня ознаки. Простий показник такого типу – середнє лінійне відхилення Л як середнє арифметичне значення абсолютних відхилень ознаки від його середнього рівня:

При повторюваності окремих значень Х використовують формулу середньої арифметичної зваженої:

(Нагадаємо, що сума алгебри відхилень від середнього рівня рівна нулю.)

Показник середнього лінійного відхилення знайшов широке застосування на практиці. З його допомогою аналізуються, наприклад, склад тих, що працюють, ритмічність виробництва, рівномірність постачань матеріалів, розробляються системи матеріального стимулювання. Але, на жаль, цей показник ускладнює розрахунки імовірнісного типу, утрудняє застосування методів математичної статистики. Тому в статистичних наукових дослідженнях для вимірювання варіації найчастіше застосовують показник дисперсії.

Дисперсія ознаки (s2) визначається на основі квадратичної статечної середньої:

.

Показник s, рівний називається середнім квадратичним відхиленням.

У загальній теорії статистики показник дисперсії є оцінкою однойменного показника теорії вірогідності і (як сума квадратів відхилень) оцінкою дисперсії в математичній статистиці, що дозволяє використовувати положення цих теоретичних дисциплін для аналізу соціально-економічних процесів.

Якщо варіація оцінюється по невеликому числу спостережень, узятих з необмеженої генеральної сукупності, то і середнє значення ознаки визначається з деякою погрішністю. Розрахункова величина дисперсії виявляється зміщеною у бік зменшення. Для отримання незміщеної оцінки вибіркову дисперсію, отриману по приведених раніше формулах, треба помножити на величину n / (n - 1). У результаті при малому числі спостережень (< 30) дисперсію ознаки рекомендується обчислювати за формулою

.

Зазвичай вже при n > (15-20) розбіжність зміщеної і незміщеної оцінок стає неістотною. З цієї ж причини зазвичай не враховують смещенность і у формулі складання дисперсій.

Якщо з генеральної сукупності зробити декілька вибірок і кожного разу при цьому визначати середнє значення ознаки, то виникає завдання оцінки тієї, що коливається середніх. Оцінити дисперсію середнього значення можна і на основі всього одного вибіркового спостереження по формулі

,

де n – об'єм вибірки; s2 – дисперсія ознаки, розрахована за даними вибірки.

Величина носить назву середньої помилки вибірки і є характеристикою відхилення вибіркового середнього значення ознаки Х від його дійсної середньої величини. Показник середньої помилки використовується при оцінці достовірності результатів вибіркового спостереження.   Показники відносного розсіювання. Для характеристики міри тієї, що коливається ознаки, що вивчається, обчислюються показники тієї, що коливається у відносних величинах. Вони дозволяють порівнювати характер розсіювання в різних розподілах (різні одиниці спостереження однієї і тієї ж ознаки в двох совокупностях, при різних значеннях середніх, при порівнянні різнойменних совокупностей). Розрахунок показників міри відносного розсіювання здійснюють як відношення абсолютного показника розсіювання до середньої арифметичної, що умножається на 100%.

1. Коефіцієнтом осциляції відображає ту, що відносну коливається крайніх значень ознаки навколо середньої

.

2. Відносне лінійне відключення характеризує частку усередненого значення ознаки абсолютних відхилень від середньої величини

.

3. Коефіцієнт варіації:

є найбільш поширеним показником тієї, що коливається, використовуваним для оцінки типовості середніх величин. У статистиці сукупності, що мають коефіцієнт варіації більше 30–35 %, прийнято вважати неоднорідними. У такого способу оцінки варіації є і істотний недолік. Дійсно, хай, наприклад, початкова сукупність робочих, що мають середній стаж 15 років, з середнім квадратичним відхиленням s = 10 років, «постаріла» ще на 15 років. Тепер = 30 років, а среднеквадратическое відхилення як і раніше рівне 10. Сукупність, що раніше була неоднорідною (10/15 100 = 66,7%), з часом виявляється, таким чином, цілком однорідною (10/30 100 = 33,3 %).

ТЕМА 6. РЯДИ ДИНАМІКИ

 

У даній темі розглядаються такі питання:

6.1 Встановлення виду ряду динаміки;

6.2 Приведення рядів динаміки в зіставний вигляд;

6.3 Визначення середнього рівня ряду динаміки;

6.4 Показники зміни рівнів ряду динаміки;

6.5 Визначення середнього абсолютного приросту середніх темпів зростання і приросту;

6.6 Визначення в рядах динаміки загальній тенденції розвитку;

6.7 Визначення в рядах внутрішньорічної динаміки.