Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций

1) Показательная функция .

Поскольку  для любого , то . Подставив эти значения в (10.30), получим ряд Маклорена для этой функции. Проверим условия теоремы 2.

Для любого фиксированного  из (31) получим

                                .               (32)

Согласно признака Даламбера ряд  сходится для всех . Поэтому согласно необходимого признака  и из (32) получаем, что .

Окончательно имеем разложение функции  в ряд Маклорена для             

                             .                             (33)

Пример 23. Вычислим число  с точностью до , для чего воспользуемся рядом (33) при  получим .

Оценим остаточный член с помощью (32), получим, что

.

Поэтому, с требуемой точностью,  

.

2) Функция .

Поскольку , , , ,                и т.д., то

, , , ,  и т.д.

Из (30) получим, что

         .                          (34)

Поскольку , то для любого

и, как было показано выше, для всех . Поэтому разложение (34) справедливо для .

Пример 24. Вычислим  с точностью до . Для нахождения интеграла воспользуемся разложением в степенной ряд подинтегральной функции и свойством                           2) об интегрировании равномерно сходящихся степенных рядов. Из (34) получаем, что  и этот ряд равномерно сходится на любом отрезке, поэтому 

 

В результате получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница. Поскольку, согласно следствию из признака Лейбница,  то, с требуемой точностью, »

 

3) Функция .

Разложение в ряд Маклорена этой функции проведите самостоятельно по аналогии с предыдущим.

Для любого

 

3) Степенная функция .

Вычислим значения .

, , , , , , и т.д.

С помощью индукции доказывается,что  

.

Подставив эти значения в (10.30), получим, что

.

Можно доказать, что этот ряд сходится и равенство выполняется для любых действительных  и .

Данный ряд называется биномиальным, поскольку для целых положительных  коэффициенты ряда совпадают с коэффициентами бинома Ньютона.  

Пример 25. Вычислим с точностью до  число .

Заметим, что нельзя применять последнее разложение для функции , при , поэтому поступим следующим образом 

Получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница (проверьте!). Поскольку , то с требуемой точностью, .

4) Логарифмическая функция .Воспользуемся формулой суммы геометрической прогрессии для :

Поскольку ряд равномерно сходится на промежутке (или ) при , то проинтегрировав его по этому промежутку, получим

;

.

На самом деле данное разложение справедливо для .

6)

Интегрируя геометрическую прогрессию и ее сумму 

 по промежутку , получим, что

.

Данное разложение верно для .

7) . Запишем биномиальный ряд для  и .

.

 

Проинтегрировав ряд по промежутку , получим требуемое разложение 

.

Здесь ; ;

Данное разложение справедливо для .

Основная литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 282-285)

2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 151-160)

Контрольные вопросы:

1. Определение ряда Тейлора.

2. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

3. Применение ряда Тейлора.

 

Планы практических занятий