Теорема 3. (Предельный признак сравнения).

Пусть ряды                                                                                      (1)                                            

                                                                                                                      (2)

с положительными членами таковы, что существует конечный ненулевой предел

.

Тогда ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Из существования указанных пределов следует, что для положительных чисел , где  найдется такой номер , что для  выполняется неравенство ; т.е. .

Если ряд (1) сходится, то из неравенства , первого признака сравнения и свойства 2) рядов следует, что ряд (2) сходится.

Если ряд (1) расходится, то из неравенства  первого признака сравнения и свойства 2) следует, что ряд (2) расходится.

Пример. Исследуем сходимость ряда

.

Для сравнения подберем ряд Дирихле следующим образом. Оставив в числителе и знаменателе слагаемые с наибольшей степенью, получим ряд с членами

,

которые составляют сходящийся ряд Дирихле с параметром .

Найдем число .

Итак, согласно предельному признаку, исследуемый ряд сходится.

Теорема 4. (Признак Даламбера)

Пусть у ряда

где  существует предел отношений

                                                                  ,                        (6)

тогда:

а) е сли , то этот ряд сходится,

в) е сли  или  этот ряд расходится.

При  данный признак не применим.

Пусть . Из существования предела (6) следует, что найдется такой номер , что при  выполняется неравенство , где  взято столь малым, что .

Из последнего равенства следует, что  при , т.е.

, , …, .                                       (7)

Ряд  является сходящейся геометрической прогрессией. Из (7) и первого признака сравнения следует, что исследуемый ряд сходится. В случае , начиная с некоторого номера , выполняется неравенство   где . Этот случай разберите самостоятельно.

Признак Даламбера удобно применять в тех случаях, когда выражения для членов   содержат факториалы и показательные, относительно , функции.

Пример7. Исследуем сходимость ряда .

Для этого ряда , поэтому

,

т.к. , то исследуемый ряд сходится.

Теорема 5. (Радикальный признак Коши). Пусть в ряде , где , существует предел                                          .                                             (8)

 

Тогда:

а) е сли , то этот ряд сходится,

в) е сли  или ,то этот ряд расходится.

При , как и в предыдущем случае, признак Коши не применим.

Пусть .

Из существования предела (8) следует, что найдется такой номер , что при  выполняется неравенство ,

где  взять столь малым, что . Последнее неравенство перепишем в виде .

Используя первый признак сравнения для исходного рода и сходящейся геометрической прогрессии , получим, что исследуемый ряд сходится. Случай  рассмотрите самостоятельно. Этот признак Коши удобно применять в тех случаях, когда  извлекается.

Пример 8. Исследуем сходимость ряда .

Вычислим требуемый предел. . (Второй замечательный предел). Поскольку , то исходный ряд сходится.

Теорема 6. (Интегральный признак Коши).

Пусть имеется ряд                                                                                                 

и пусть  , - неотрицательная монотонно убывающая функция на промежутке .

Тогда ряд  сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл                                          (9)

                                                                                                 

Пусть ряд (1) сходится и имеет сумму . Тогда его частичная сумма  геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями 1 и высотами  (см. рис.1).

                                            

Рис. 1

 

Интеграл  есть площадь криволинейной трапеции, с основанием , которая меньше , т.е. .

Поэтому интеграл с переменным верхним пределом  не убывает и ограничен сверху числом , следовательно   существует и  сходится.

Пусть теперь ряд (1) расходится. Тогда его частичная сумма без первого члена

равна площади ступенчатой фигуры меньшей площади, чем криволинейная трапеция с основанием  (см. рис.2), т.е.

 

Рис.2

Поскольку ряд расходится, то ,  и интеграл  расходится.

Пример 9. Исследуем сходимость ряда Дирихле для различных : .

Функция  получается путем замены индекса суммирования  на . При  она удовлетворяет всем условиям теоремы. Она непрерывна, в промежутке , т.к. имеет разрыв только в точке  в этом промежутке и убывает в нем, т.к. ее знаменатель возрастает с ростом .

Пусть , тогда ,

т.е. при  этот интеграл и ряд Дирихле сходятся.

При  этот интеграл и ряд Дирихле расходятся. При

.

Заметим, что при  члены ряда Дирихле не стремятся к нулю, поэтому он расходится согласно следствию из необходимого признака.

Следствие. Интегральный признак можно применять и к рядам вида .

В этом случае условия, накладываемые на функцию  должны выполняться на промежутке .

Доказательство этого факта проведите самостоятельно по образцу доказательства теоремы.

Интегральный признак следует применять в тех случаях, когда возможно интегрирование функции .

Пример10. Исследуем сходимость ряда .

 

Понятно, что член  этого ряда по написанной формуле определить не- возможно.

Элементарная функция  определена в промежутке , поэтому она непрерывна в промежутке , положительна в нем и убывает, т.к. ее знаменатель возрастает с ростом .

Найдем несобственный интеграл .

 

Т.е. исследуемый ряд расходится.

  Основная литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 250-262)
2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 119-127)

Контрольные вопросы:

1. Положительные ряды.

2. Признак сравнения.

3. Предельный признак сравнения.

4. Признак Д^, Аламбера.

5. Признак Коши.

6. Интегральный признак Коши.