Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Пусть ряд  равномерно сходится в промежутке  и все его члены  непрерывны в , тогда сумма этого ряда  также непрерывна в . 

Доказательство. Пусть  внутренняя точка в . Из того, что  и  непрерывны в  следует, что для каждого  найдется такой номер , что выполняется неравенство  для всех . Кроме того, найдется число , такое что для всех  выполняется неравенство .

Используя эти два неравенства, получаем, что для всех  верно 

что означает верность равенства  и непрерывность  в . Случай граничной точки  рассмотрите сами.

В следующей лекции будет приведен пример неравномерно сходящегося ряда с непрерывными слагаемыми, сумма которого разрывна.

2) Пусть ряд   равномерно сходится в отрезке   и имеет сумму . Пусть все члены ряда  непрерывны в отрезке  тогда интеграл по  от суммы ряда равен сумме интегралов от его слагаемых, т.е.

Из свойства 1) следует, что  и   непрерывны на . Проинтегрировав соотношение  , получим

               .                  (16)

Поскольку  и , то .Перейдя в равенстве (10.16) к пределу при , получим требуемое утверждение.

Пример 20. Выше было проверено, что геометрическая прогрессия  равномерно сходится в промежутке  и имеет сумму . Применив свойство 2) к отрезку , получим, что .Вычислим записанные интегралы               .

Следовательно, .Этот пример показывает, что с помощью почленного интегрирования можно находить суммы числовых рядов.

3) Пусть члены сходящегося в  ряда

непрерывно дифференцируемы в промежутке  и -сумма этого ряда. Пусть ряд, составленный из производных ряда ,равномерно сходится в , тогда сумма ряда из производных равна производной , т.е. .

Обозначим сумму ряда  через . Согласно предыдущему свойству проинтегрируем  на отрезке , где , получим .Продифференцируем по  левую и правую части этого равенства, получим , .

Пример21. Рассмотрим сходящуюся геометрическую прогрессию  

на промежутке . Сумма этого ряда .Ряд из производных записывается в виде и мажорируется сходящимся рядом . (Проверьте сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера). Поэтому ряд из производных равномерно сходится в отрезке . Согласно свойству 3) получим .С помощью дифференцирования также можно находить суммы числовых рядов. Например, подставив в последнее соотношение , получим .

Основная литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 266-275)

2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 135-146)

Контрольные вопросы:

1. Определение функционального ряда.

2. Область сходимости.

3. Равномерная сходимость функциональных рядов.

2.2.11. Тема: Степенные ряды. (1-часа)

Степенные ряды, т.е. ряды, члены которых есть степенные функции, являются одним из основных примеров функциональных рядов.

Определение. Функциональный ряд вида

                                                                                         (17)

называется степенным рядом, а числа  называются его коэффициентами.

Степенной ряд всегда сходится при . Следующая теорема описывает его область сходимости.

Теорема 1. (Теорема Абеля)

а) Если степенной ряд (17) сходится в точке  (), то он сходится для всех  из интервала   (см. рис. 3,а)).

б) Если степенной ряд расходится в точке , то он расходится для всех , удовлетворяющих неравенству   (см. рис.3,б)).

Рис. 3, а).

Рис. 3, б).

а) Так как ряд  сходится, то согласно необходимому признаку , откуда следует, что последовательность  ограничена, т.е. существует число , такое что . Пусть . Рассмотрим абсолютную сходимость ряда . Получим                           

                                .                                (18)

Обозначим  через , где  и . Сравнивая с помощью первого признака сравнения ряд (18) и сходящуюся геометрическую прогрессию , получаем, что (18) сходится. Допустим, что найдется  такое, что  для которого ряд (10.17) сходится. Тогда согласно пункту а) поскольку  он должен сходится в точке . Противоречие.

Определение. Наибольшее значение  такое, что в интервале  степенной ряд (10.17) сходится, называется радиусом сходимости этого ряда (обозначается через ), а интервал  называется его интервалом сходимости.  

Из теоремы Абеля следует, что в интервале  ряд (10.17) сходится, а в интервалах  и  он расходится (см. рис. 4).

 

                                                сходится

              расходится                                              расходится                                                                     

         

Рис. 4.

Сходимость ряда в точке  исследуется дополнительно.

Если ряд сходится только в точке , то  считается равным , а если он сходится для всех , то  считается равным .

Для определения радиуса сходимости  имеются следующие формулы, получаемые из признаков Даламбера и Коши.

                                           ,                                           (19)

                                                                                               (20)

Однако проще находить интервал сходимости путем непосредственного применения признаков Даламбера или Коши к абсолютным величинам членов ряда (17).

Пример22. Найдем область сходимости ряда .

Исследуем абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера, получим           .Отсюда получаем, что при , т.е. в интервале (-1,1) этот ряд сходится, а при , т.е. в интервалах  и он расходится. Поэтому радиус сходимости ряда  и интервал сходимости есть (-1,1).

Исследуем концы этого интервала. Подставив  в ряд, получим числовой ряд , который является гармонический расходящимся рядом. Подставив , получим знакочередующийся ряд .Выше с помощью признака Лейбница было проверено, что он сходится. Окончательно получаем, что область сходимости исследуемого ряда есть   Теорема 2. Пусть отрезок  лежит в интервале сходимости степенного ряда ,тогда в  этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

Пусть для определенности . Для  этот ряд сходится. Далее повторяем доказательства а) теоремы Абеля для . Перенесем теперь рассмотренные выше свойства равномерно сходящихся рядов на случай степенных рядов.

Свойства степенных рядов.

Сумма степенного ряда (17) непрерывна в интервале сходимости .

Это следует из того, что любое  можно заключить в отрезок , в котором ряд (17) сходится равномерно.  

1) Пусть - сумма степенного ряда (17 ) и отрезок  лежит в интервале сходимости , тогда .

Здесь в правой части равенства стоит сумма интегралов членов ряда (17) .

3) Производная суммы  степенного ряда (17) в интервале сходимости  равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов ряда (17), т.е. .

Здесь мы оставили без доказательства тот факт, что ряд из производных ряда (17) имеет тот же интервал сходимости .

4) Сумма степенного ряда (17) в интервале  бесконечно дифференцируема.

Это следует из того, что согласно свойству 3)  является суммой степенного ряда, поэтому операцию дифференцирования можно провести еще один раз,  снова является суммой степенного ряда в и т.д.

Определение. Функциональный ряд

                                                                               (21)

называется смещенным степенным рядом с центром в .

Если обозначить  через , то смещенный степенной ряд превращается в степенной ряд вида (10.17). Поэтому ряд (10.21) имеет интервал сходимости вида  и в этом интервале обладает всеми свойствами степенных рядов.

Основная литература: [1], стр. 406-416

Дополнительная литература:: [15]часть II стр. 131-139

Контрольные вопросы:

1. Определение степенных рядов.

2. Радиус сходимости степенного ряда.

3. Область сходимости степенного ряда.

2.2.12. Тема: Ряды Тейлора (2-часа)

Выше было показано, что сумма степенного ряда  является бесконечно дифференцируемой функцией. Рассмотрим теперь обратную задачу о том, как заданную функцию  записать в виде суммы некоторого степенного ряда. Такая запись позволит приближенно находить значения этой функции, приближенно интегрировать ее, численно решать дифференциальные уравнения и т.д.

Пусть функция  имеет производные до -го порядка включительно в окрестности точки .

Определение. Многочленом Тейлора - го порядка функции  в точке  называется многочлен

  

Здесь  считается равным  и .

Основное свойство этого многочлена состоит в следующем.

Значения многочлена и всех его производных до -го порядка включительно в точке  совпадают с соответствующими значениями функции и ее производных, т.е.

; ; … … …; .

При                           .

В самом деле из (22), подставив вместо значение , получим

;

Подставив сюда , получим 

 и т.д.

.

При .

Определение. Разность между  и  называется остаточным членом Тейлора с центром в :

Обозначим его через

Из (22) следует, что

                                                   (23)

Теорема 1. Пусть функция  имеет в окрестности  непрерывную - ую производную .

Тогда для любого  из этой окрестности найдется такая точка  или , что

                                                         (24)

При доказательстве воспользуемся теоремой Коши четвертого модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Пусть . Несложно проверить, что

 

                                                     (25)                          

                          .                                             (26)

Пусть, для определенности . Рассмотрим отношение .

 

Здесь в числителе и знаменателе добавлены нулевые величины  и .

Согласно теореме Коши найдется точка  такая, что

,т.е. учитывая (23) и (25) .

 

Согласно теореме Коши в промежутке найдется точка такая, что

 

, .

Продолжая этот процесс  раз получим, что 

                                                                    (27).

Обозначим  через ,  заменим согласно (26) на , а .

В результате из (27) получаем ,что и доказывает требуемое утверждение.

Определение. Остаточный член  записанный в виде (24 ) называется остаточным членом в форме Лагранжа, а запись функции в виде

        (28)

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Остаточный член здесь имеет тот же самый вид, что и слагаемые многочлена Тейлора, только в -ой производной вместо  стоит близкая к ней точка .

Многочлен Тейлора используется для приближенного нахождения значения функции в точке , при этом является погрешностью этого вычисления. Однако часто вместо многочленов удобно использовать ряды.   

  Определение. Пусть функция  бесконечно дифференцируема в окрестности точки . Рядом Тейлора для функции  с центром в точке называется смещенный степенной ряд

(29)

Частичная сумма этого ряда является многочленом Тейлора . (здесь и далее  состоит из  слагаемых). Не следует думать, что сумма ряда Тейлора  всегда совпадает с функцией , по которой он был построен, во-первых потому, что область определения функции может не совпадать с областью сходимости ряда, а во-вторых, даже в случае существования  и , эти значения могут отличаться друг от друга. 

Теорема 2. Пусть функция  бесконечно дифференцируема в окрестности  точки , и пусть для всех  из этой окрестности остаточный член Тейлора  стремится к нулю при , тогда ряд Тейлора функции  с центром в  сходится в , и его сумма  совпадает в  со значениями функции .

В этом случае говорят, что функция  разлагается в ряд Тейлора в окрестности .

Учитывая, что  запишем формулу Тейлора (28) для

 

, или .

Перейдем в этом соотношении к пределу при  получим .

 

Поскольку предел левой части существует и равен , , то существует предел частичных сумм ряда (29), стоящий в правой части, т.е.  что и требовалось доказать.

Определение. Ряд Тейлора с центром в точке называется рядом Маклорена этой функций.   

Ряд Маклорена имеет вид

                                          (30)

а остаточный член Тейлора в форме Лагранжа

                                                                              (31)

где  или .