Тема: Функциональные ряды. (1-час)

Рассмотрим теперь ряды, членами которого являются не числа, а функции.

Определение. Функциональным рядом называется выражение вида

                  ,                             (14)

где  есть некоторые функции действительного переменного, имеющие общую область определения.

При подстановке вместо  конкретных значений функциональный ряд (14) превращается в числовой ряд.

Определение. Областью сходимости функционального ряда (14) называется множество всех значений , при которых ряд (14) сходится.

Эту область будем обозначать через .

Пример16. Для каждого значения  функциональный ряд

является рядом Дирихле.

Поэтому этот ряд сходится только при , т.е. его область сходимости есть интервал .

Пример17. Ряд

является геометрической прогрессией со знаменателем .

Поэтому его областью сходимости является интервал .

Для функционального ряда (10.14) его частичная сумма , сумма  и остаток  есть функции, определенные в области .

В последнем примере в интервале (-1,1) ;

;

.

Пусть  некоторый промежуток, принадлежащий .

Определение. Функциональный ряд (10.14 ) называется равномерно сходящимся в , если наибольшее значение модуля его остатка в  стремится к нулю при , т.е. .

Заметим, что хотя остаток  в  всегда стремится к нулю, но равномерно в  он может к нулю не стремится.

Пример18. Рассмотрим ряд в промежутке .

не существует, поскольку .

Следовательно, в  ряд сходится неравномерно.

Если рассмотреть , то , т.к. при  числитель дроби принимает свое наибольшее значение, а знаменатель наименьшее. Поэтому                          и в промежутке  этот ряд сходится.

В этом промежутке исследуемый ряд сходится равномерно.

Проверка равномерной сходимости ряда, исходя из определения, часто есть трудоемкая работа, поэтому практически используют признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Определение. Числовой ряд

                                                                                   (2)

называется мажорирующим для функционального ряда

                                                                                            (14)

на промежутке , если для всех  и любого  верно неравенство

                                            .                                 (15)

Если промежуток  не указывается, то это неравенство должно выполнятся для всех действительных .

Теорема 1. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса).

Пусть для ряда (14) в промежутке  имеется сходящийся мажорирующий ряд (2). Тогда (14) равномерно сходится в .

Из неравенства (15) и первого признака сравнения следует, что (14) сходится в .

Пусть  остаток ряда (14), а  остаток ряда (2), тогда из неравенства (15) получим .

 

Следовательно, .

 

Перейдя в обеих частях этого неравенства к пределу при , получим,что

 

 для всех  т.е. .

Поскольку ряд (10.2) сходится, то  , следовательно .

Пример 19. Проверим, что ряд   равномерно сходится на всей числовой оси.

Поскольку , то . Поэтому ряд  мажорирует данный ряд для . Поскольку числовой ряд Дирихле сходится , то функциональный ряд сходится равномерно на .

Необходимость выделять равномерную сходимость связана с тем, что равномерно сходящиеся ряды обладают рядом естественных свойств, которых лишены неравномерно сходящиеся ряды.