Тема: Числовые ряды. (1 час)

Модуль - III. Ряды

Пример14. Выше было проверено, что ряд

                                                                                   (13)

сходится согласно принципу Лейбница. Ряд из абсолютных величин его членов есть расходящийся гармонический ряд .

Поэтому ряд (13) сходится условно.

Теорема 8. Если ряд (10) сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Пусть -частичная сумма ряда (10),  сумма положительных слагаемых из , а  сумма модулей отрицательных слагаемых из . Тогда

Пусть - частичная сумма ряда из абсолютных величин (12) и  его сумма, тогда .Поскольку положительные последовательности  и  возрастают, и ограничены сверху, то имеются пределы    и , следовательно, существует предел , что означает, что ряд (10) сходится. 

Если все члены ряда положительны или ряд имеет только конечное число отрицательных членов, то сходимость такого ряда может быть только абсолютной. Условие «исследовать сходимость ряда» для ряда общего вида означает установление факта сходимости этого ряда и, в случае сходимости, проверку того, как сходится этот ряд - абсолютно или условно.

Необходимость этого объясняется существенно различными свойствами абсолютно и условно сходящихся рядов.

Теорема 9. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося ряда эта сходимость не нарушается и сумма ряда не изменяется.

Казалось, что свойство «от перемены мест слагаемых сумма не меняется» должно выполняться всегда. Однако, для бесконечных сумм это не всегда так.

Пример 15. Рассмотрим условно сходящийся ряд

.

 

Согласно признака Лейбница его сумма

Переставим слагаемые в этом ряду следующим образом 

Подсчитав значения, стоящие в скобках, получим ряд

,

члены которого в два раза меньше членов исходного ряда. Значит, после указанной перестановки сумма ряда изменилась и стала равна .

Теорема 10. Если числовой ряд сходится условно, то для любого числа А можно так переставить члены этого ряда, что сумма полученного ряда станет равной А, кроме того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что он станет расходиться.

Основная литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 263-266)

2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 127-135)

Контрольные вопросы:

1. Определение знакопеременного ряда.

2. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. 

3. Абсолютная и условная сходимости.

4. Признак абсолютной сходимости.

 

Свойства степенных рядов.

Сумма степенного ряда (17) непрерывна в интервале сходимости .

Это следует из того, что любое  можно заключить в отрезок , в котором ряд (17) сходится равномерно.  

1) Пусть - сумма степенного ряда (17 ) и отрезок  лежит в интервале сходимости , тогда .

Здесь в правой части равенства стоит сумма интегралов членов ряда (17) .

3) Производная суммы  степенного ряда (17) в интервале сходимости  равна сумме степенного ряда, составленного из производных членов ряда (17), т.е. .

Здесь мы оставили без доказательства тот факт, что ряд из производных ряда (17) имеет тот же интервал сходимости .

4) Сумма степенного ряда (17) в интервале  бесконечно дифференцируема.

Это следует из того, что согласно свойству 3)  является суммой степенного ряда, поэтому операцию дифференцирования можно провести еще один раз,  снова является суммой степенного ряда в и т.д.

Определение. Функциональный ряд

                                                                               (21)

называется смещенным степенным рядом с центром в .

Если обозначить  через , то смещенный степенной ряд превращается в степенной ряд вида (10.17). Поэтому ряд (10.21) имеет интервал сходимости вида  и в этом интервале обладает всеми свойствами степенных рядов.

Основная литература: [1], стр. 406-416

Дополнительная литература:: [15]часть II стр. 131-139

Контрольные вопросы:

1. Определение степенных рядов.

2. Радиус сходимости степенного ряда.

3. Область сходимости степенного ряда.

2.2.12. Тема: Ряды Тейлора (2-часа)

Выше было показано, что сумма степенного ряда  является бесконечно дифференцируемой функцией. Рассмотрим теперь обратную задачу о том, как заданную функцию  записать в виде суммы некоторого степенного ряда. Такая запись позволит приближенно находить значения этой функции, приближенно интегрировать ее, численно решать дифференциальные уравнения и т.д.

Пусть функция  имеет производные до -го порядка включительно в окрестности точки .

Определение. Многочленом Тейлора - го порядка функции  в точке  называется многочлен

  

Здесь  считается равным  и .

Основное свойство этого многочлена состоит в следующем.

Значения многочлена и всех его производных до -го порядка включительно в точке  совпадают с соответствующими значениями функции и ее производных, т.е.

; ; … … …; .

При                           .

В самом деле из (22), подставив вместо значение , получим

;

Подставив сюда , получим 

 и т.д.

.

При .

Определение. Разность между  и  называется остаточным членом Тейлора с центром в :

Обозначим его через

Из (22) следует, что

                                                   (23)

Теорема 1. Пусть функция  имеет в окрестности  непрерывную - ую производную .

Тогда для любого  из этой окрестности найдется такая точка  или , что

                                                         (24)

При доказательстве воспользуемся теоремой Коши четвертого модуля «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Пусть . Несложно проверить, что

 

                                                     (25)                          

                          .                                             (26)

Пусть, для определенности . Рассмотрим отношение .

 

Здесь в числителе и знаменателе добавлены нулевые величины  и .

Согласно теореме Коши найдется точка  такая, что

,т.е. учитывая (23) и (25) .

 

Согласно теореме Коши в промежутке найдется точка такая, что

 

, .

Продолжая этот процесс  раз получим, что 

                                                                    (27).

Обозначим  через ,  заменим согласно (26) на , а .

В результате из (27) получаем ,что и доказывает требуемое утверждение.

Определение. Остаточный член  записанный в виде (24 ) называется остаточным членом в форме Лагранжа, а запись функции в виде

        (28)

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Остаточный член здесь имеет тот же самый вид, что и слагаемые многочлена Тейлора, только в -ой производной вместо  стоит близкая к ней точка .

Многочлен Тейлора используется для приближенного нахождения значения функции в точке , при этом является погрешностью этого вычисления. Однако часто вместо многочленов удобно использовать ряды.   

  Определение. Пусть функция  бесконечно дифференцируема в окрестности точки . Рядом Тейлора для функции  с центром в точке называется смещенный степенной ряд

(29)

Частичная сумма этого ряда является многочленом Тейлора . (здесь и далее  состоит из  слагаемых). Не следует думать, что сумма ряда Тейлора  всегда совпадает с функцией , по которой он был построен, во-первых потому, что область определения функции может не совпадать с областью сходимости ряда, а во-вторых, даже в случае существования  и , эти значения могут отличаться друг от друга. 

Теорема 2. Пусть функция  бесконечно дифференцируема в окрестности  точки , и пусть для всех  из этой окрестности остаточный член Тейлора  стремится к нулю при , тогда ряд Тейлора функции  с центром в  сходится в , и его сумма  совпадает в  со значениями функции .

В этом случае говорят, что функция  разлагается в ряд Тейлора в окрестности .

Учитывая, что  запишем формулу Тейлора (28) для

 

, или .

Перейдем в этом соотношении к пределу при  получим .

 

Поскольку предел левой части существует и равен , , то существует предел частичных сумм ряда (29), стоящий в правой части, т.е.  что и требовалось доказать.

Определение. Ряд Тейлора с центром в точке называется рядом Маклорена этой функций.   

Ряд Маклорена имеет вид

                                          (30)

а остаточный член Тейлора в форме Лагранжа

                                                                              (31)

где  или .

Дифференциальные уравнения.

Кратные интегралы.

Тема: Двойной интеграл

Задание 1 АЗ: [9], №№8.2, 8.18, 8.20, 8.26, 8.28, 8.30, 8.41, 8.43, 8.60.

2. ДЗ: [9], №№ 8.3, 8.19, 8.21, 8.27, 8.29, 8.31, 8.42, 8.44, 8.61

3. № 5кейс  

Тема: Тройной интеграл

Задание 1 АЗ: [9], №№ 8.112, 8.114, 8.117, 8.120, 8.118, 8.120, 8.136.

2. ДЗ: [9], №№ 8.113, 8.116, 8.121, 8.119, 8.121, 8.138.

3. № 6кейс  

Модуль 3

Тема: Положительные ряды

Задание 1 АЗ: [9], №№ 12.1, 12.19, 12.23, 12.31, 12.34, 12.38, 12.40, 12.42, 12.49, 12.51, 12.57, 12.76.

2. Дз: [9], №№ 12.2, 12.20, 12.24, 12.32, 12.35, 12.39, 12.41, 12.43, 12.50, 12.52, 12.58, 12.77.

3. № 7 Кейс

Тема: Знакопеременные ряды.

Задание 1 АЗ: [9], №№ 12.90, 12.92, 12, 101, 12,104.

2. ДЗ: [9], №№ 12.91, 12.93, 12.102, 12.107,

3. № 8 Кейс

Тема: Степенные ряды.

Задание 1 АЗ: [9], №№ 12.165, 12.169, 12.477, 12.181, 12.191.

2. ДЗ: [9], №№ 12.166, 12.170, 12.179, 12.192, 12.184.

3. № 9кейс  

Тема: Ряды Тейлора

Задание 1 АЗ: [9], №№ 12.214, 12.215, 12.217, 12.224, 12.238, 12.291, 12.294

2. ДЗ: [9], №№ 12.216, 12.223, 12.226, 12.241, 12.292, 12.295.

3. № 10кейс  

Методические рекомендаций: [8], [9], [1], [6], [15], [12], [11], [17].

 

 

Модуль - III. Ряды

Тема: Числовые ряды. (1 час)

Рассмотрим числовую последовательность ,

составим из неё сумму

1. Определение. Выражение вида

    =,                                                 (1)

называется числовым рядом,  числа  называются его членами.

Для определенности будем считать  первым членом ряда, хотя ряд может начинаться с любого другого члена.

Сумма первых  слагаемых ряда (1) называется его частичной суммой, она обозначается через . При этом

, , , …,  

Определение. Если существует конечный предел частичных сумм ряда (1) при , то это число называется суммой ряда , а ряд в этом случае называется сходящимся: .

Если предел частичных сумм не существует (например, равен ),то ряд называется расходящимся. У расходящегося ряда сумма не определена.

Пример 1. Рассмотрим ряд, изучаемый в школьной программе – геометрическую прогрессию.

Это ряд вида .

Здесь - первый член геометрической прогрессии, а  называется ее знаменателем.

Частичная сумма геометрической прогрессии определяется формулой .

Если и , то  и геометрическая прогрессия расходится.

Если  и , то ,  и геометрическая прогрессия расходится.

Если  и , то

 не существует и прогрессия расходится. Итак, при  геометрическая прогрессия сходится только при .

При  геометрическая прогрессия всегда сходится.

2. Рассмотрим теперь простейшие свойства рядов.

1) Пусть числовые ряды

                                                                                                    (1)

                   

                                                                                             (2)

сходятся, и имеют суммы соответственно  и , тогда ряд

                                                                                (3)

также сходится и его сумма равна .

2) Если ряд (1) сходится, число , то ряд

                                                                                           (4)

также сходится и его сумма равна

Если же ряд (1) расходится и , то ряд (4) расходится.

3) Если в ряде (1) изменить, добавить или отбросить конечное число членов, то сходимость этого ряда не изменится, т.е. если ряд (1) сходился, то новый ряд также сходится, а если ряд (1) расходился, то новый ряд расходится.

Изменив конечное число членов сходящегося ряда, можно изменить его сумму, но сходимость ряда при этом не нарушится.

Пример 2. Так как ряд

сходится (это геометрическая прогрессия с ), то ряд

также сходится.

Теорема 1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд  сходится, то .

Поскольку последовательность частичных сумм ряда сходится, то  и .

Вычитая из первого соотношения второе получим , т.е. .

Условие  является только необходимым, оно не является достаточным для сходимости ряда. Об этом свидетельствует пример гармонического ряда .

Как будет проверено в дальнейшем, этот ряд является расходящимся, хотя у него

.

Поэтому с помощью необходимого признака невозможно установить сходимость ряда. Чаще применяется обратное утверждение, равносильное доказанной теореме.

Следствие. Если  не равен нулю, то ряд (1) расходится.

Докажите это следствие, используя метод “от противного”.

Основная литература:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2 М.:Наука,1985г. (стр. 245-250)
2. Гусак А.А. Высшая математика Т.2. Мн.: Тетро Системс, 2001г. (стр. 114-119)

Контрольные вопросы:

1. Определение числового ряда и его суммы.

2. Сходимость, расходимость числового ряда.

3. Свойства сходящегося числового ряда.

4. Необходимое условие сходимости ряда. 

2.2.8 Тема: Ряды с положительными членами (4-часа)

Пусть дан ряд   с неотрицательными членами . Исследуем вопрос о его сходимости или расходимости. Так как частичные суммы ряда с неотрицательными членами образуют неубывающую последовательность, то это ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность   его частичных сумм ограничена.

Приводим признаки сходимости положительных рядов.

Теорема 2. (признак сравнения). Пусть имеется два ряда

                                                                                             ()

                                                                                                                     ()

с положительными членами , удовлетворяющими неравенству

                                                                                           (5)

для всех, за исключением, быть может, конечного числа членов рядов.

Тогда если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится, если же ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится.

Доказательство. Пусть ряд () сходится, тогда последовательность частичных сумм второго ряда  возрастает  и имеет своим пределом сумму этого ряда .

.

Из условия (5) следует, что .

Последовательность  возрастает и ограничена сверху числом , следовательно, согласно свойствам пределов она имеет конечный предел, т.е. ряд () сходится.

Пусть теперь ряд () расходится, тогда последовательность  возрастает и не ограничена сверху, т.е. .

А, поскольку , то   и ряд () расходится.

Пример 4. Исследуем сходимость ряда

.

Для сравнения используем расходящийся гармонический ряд . 

При  и ,

поэтому, согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд расходится.

Для сравнения обычно используют такие известные ряды как геометрическая прогрессия или ряд Дирихле.

Рядом Дирихле называется числовой ряд вида

.

 

Немного позже мы докажем, что ряд Дирихле при  сходится, а при   расходится. При  он превращается в гармонический ряд.

Пример 5. Исследуем сходимость ряда .

Для сравнения возьмем сходящийся ряд Дирихле .

(Здесь ). Поскольку , то  для всех .

И исследуемый ряд сходится.