Тема 5. Четность и нечетность тригонометрических функций

Определение: Функция f(х) называется чётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=f(х)

Свойство: График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

 

Определение: Функция f(х) называется нечётной, если для каждого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(-х)=-f(х)

Свойство: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

 

Рассмотрим рисунок

На этом рисунке

 

Следовательно, справедливы формулы:

откуда вытекают формулы:

 

Таким образом, косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции.

 

cos(-α)=cosα

sin(-α)=-sinα

tg(-α)=-tgα

ctg(-α)=-ctgα

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

№	функция	упростить	Ответ
1	sin(-90º)	-sin90º	-1
2	tg(- )
3	cos(-45º)
4	ctg(- )

Задание 2: Вычислить:

· 2sin(-30º)=-2sin30º=-2∙ =-1

· 3tg(- )=-3tg =-3∙….

· 4cos(- )∙sin(- )+tg(- )=4∙ ∙ )+(-1)=- ∙ -1=…..

· 2sin(- )∙cos(- )+tg(- )+sin²(- )=…..

Задание 3: Упростить (по аналогии с решённым):

№	Упростить	№	Решить самостоятельно
1)	Sin(-α)∙cos(-α)∙tg(-α)= =-sinα∙cosα∙(-tgα)= =sinα∙cosα∙tgα= =sinα∙cosα∙ = =sinα∙sinα=sin^2α	1)	Ctg(-α)∙sinα+cos(-α)
2)	(1-sin(-α))∙(1-sinα)= =(1+sinα)∙(1-sinα)= =1+sinα-sinα-sin^2α= =1-sin^2α=sin^2α+cos^2α-sin^2α=cos^2α	2)	(1+tg(-α))∙(1-ctg(-α))

Периодичность тригонометрических функций

Определение: Функция f(х) называется периодической, если существует такое число Т≠0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство:

f(х-Т)=f(х)=f(х+Т)

Число Т называют периодом функции f(х).

Рассмотрим рисунок 1, если луч , повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

а также формулы:

Поворачивая луч на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( градусов или радиан), получаем следующие формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы , .

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа , .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол .

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число .

В случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы ,

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа , .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол .

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число .

 

Задание 1: Упростить по образцу:

370º=360º+10º=2π+10º

170º=180º-10º= π-10º

120º=90º+30º= +30º

400º=360º-…..=2π-…..

140º=180º-…..

220º=….

135º=…..

 

 

 

Тема 6. Формулы сложения

 

cos(α + β) = cosα∙cosβ - sinα∙sinβ        cos(α - β) = cosα∙cosβ + sinα∙sinβ

sin(α + β) = sinα∙cosβ + cosα∙sinβ        sin(α - β) = sinα∙cosβ - cosα∙sinβ

tg(α + β) =

 

Задание 1: Вычислить по аналогии:

1)	Sin73º∙cos17º + cos73º∙sin17º= = sin(73º + 17º)=sin90º=1	1)	Sin73º∙cos17º - cos73º∙sin17º
2)	cos ∙cos  - sin ∙sin = = cos(  + )=cos = =cos2π=1	2)	cos ∙cos  + sin ∙sin

Задание 2: Упростить:

1) cos (60° — α) + cos (60° + α)=

 

2) cos (α + ^π / ₆ ) — cos (α — ^π / ₆ )=

 

Задание 3: Вычислить:

1) Вычислить cos 15°, представив 15° как разность 60° — 45°.

 

2) Вычислить cos 75°, представив 75° как сумму 30° + 45°.

 

 

3) Вычислить cosl05°, представив 105° как сумму 45° + 60°.

Задание 4: Дано: sin α = 0,6; sin β = —0,28; 0° < α < 90° и 180°< β <270°.
Вычислить: 1) cos (α + β);

2) cos (α — β).

 

 

Формулы приведения

 

Таблица приведения:

 

α	-α	+α	π - α	π + α	-α	+α	2π - α	2π + α
sinα	cosα	cosα	sinα	- sinα	- cosα	- cosα	- sinα	sinα
cosα	sinα	- sinα	- cosα	- cosα	- sinα	sinα	cosα	cosα
tgα	ctgα	- ctgα	- tgα	tgα	ctgα	- ctgα	- tgα	tgα
ctgα	tgα	- tgα	- ctgα	ctgα	tgα	- tgα	- ctgα	ctgα

 

Пример: Вычислить:

Cos150º=cos(180º-30º)=cos (π-30º)=-cos30º=-

Sin240º=sin(180º+60º)=sin(π+60º)=-sin60º=-

Задание 1: Закончить решение:

· sin135º=sin(90º+45º)=sin( +45º)=cos45º=

· cos120º=cos(180º-60º)=cos(π-60º)=….

· ctg240º=ctg(270º-30º)=ctg( -30º)=…..

· sin315º=…..

Задание 2: Найти ошибку:

1) Sin(π – α)∙cos( -α)-cos(π – α)∙sin( -α)=sinα∙sinα-(-cosα)∙(-cosα)=

= sin²α+cos²α=1

2)

Задание 3: Упростить, из предложенных ответов выбрать верный:

1)           3)

2)           4)

а) –1           б)ctgα           в)               г)1

Ответ записать в виде таблицы:

Задание	1	2	3	4
ответ

=

=

=

=