Тема «тригонометрические функции»

Тема 1. Радианная мера угла.

Поворот точки вокруг начала координат

 

Определение: Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу, называется углом в 1 радиан (рад).

 

 

Формула 1:( радианная →градусная)

Формула 2: (градусная → радианная)

Задание 1: Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:

 

Задание 2: Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:

                   

                  

 

Задание 3: Заполнить таблицу:

 

Градусы	0º	30º	45º	60º	90º	120º	150º	180º	270º	360º
радианы	0

 

Формула 3:

l=α∙R        где l- длина дуги,

              R – радиус окружности, которую стягивает дуга

 

Формула 4:

 

S= ∙α, где l- длина дуги,

                  R – радиус окружности, которую стягивает дуга

                  S – площадь кругового сектора

                 α=α_рад радианная мера угла

Пример: Решить задачу:

Вычислить длину дуги, если радиус окружности R = 4см, дуга стягивает центральный угол α_рад=4,5рад.

Решение: l=α∙R=4,5∙4=18см.

Ответ: l= 18см.

Задание 4: Решить задачи:

 

1)Вычислить радиус окружности, если её дуга, длиной l=7,2см стягивает центральный угол α=3,6рад.

2) Дуга окружности радиуса R=3см стягивает угол α_рад=4,5рад. Найти длину этой дуги l и площадь сектора, ограниченного ею S.

Задача 3 .

Задача 2.

Задача 1.

3) Окружность морских компасов делится на 32 равные дуги, называемые румбами. Вычислите градусную и радианную меры румба.

 

 

Задание 5: Заполнить таблицу:

 

Угол (в рад.)	60º	45º
Угол (в град.)				4
Радиус (в см.)	3		6
Длина дуги (в см.)		1	3
Площадь сектора (в см2)				50

Поворот точки вокруг начала координат

 

Определение: Единичной (тригонометрической) окружностью называется окружность с центром в начале координат, радиуса 1.

 

 

Рисунок 1                                                                  Рисунок 2

Пример: Точка 1(1;0) переместилась по окружности на угол 180º против часовой стрелки, а затем на угол 90º по часовой стрелке.

Какие координаты получились? (выполнять по рис/1)

точка.1(1;0)=[влево на 180º]=точка.3(-1;0))=[вправо на 90º]=точка.2(0;1)

 

Задание 1:Определить координаты точки после перемещения:

· Точка 1(1;0) переместилась по окружности на 270º против часовой стрелки, затем на 180º по часовой стрелке.

точка.1 (1;0)=[влево на 270º]= точка.4 (0;-1))=[вправо на ….]= точка.….(...;…)

· Точка 1(1;0) переместилась по окружности на π против часовой стрелки, затем на 2π по часовой стрелке.

 

Задание 2: Точка М единичной окружности получена поворотом точки1(1;0) на угол α. Заполнить таблицу (по рис.1):

 

Угол α		-	π	-π	90º	-90º
Координаты т.М	(-1;0)	(0;1)

 

Задание 3: Точка М единичной окружности получена поворотом точки1(1;0) на угол α. Заполнить таблицу (по рис.2):

 

Угол α	135º	-15º	240º	400º	-100º	200º
Четверть, в которой расположена т. М	IIч.	IVч.

Тема 4. Зависимость между тригонометрическими

Функциями одного и того же аргумента

 

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

№	промежуток	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
1		IIч.	+	-	-	-
2		IIIч.
3
4

Формулы:

  

1
1(а)		1(б)
2
3
4
4(а)	4(б)
5
5(а)
6
6(а)

Пример: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

Sinα=0,6 cosα=0,8

sin²α+cos²α =(0,6)²+(0,8)²=0,36+0,64= 1 (выполняется)

Задание 2: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

 

 

 

Пример: Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα= ,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IIч.	+	-	-	-

Определим знак:

 

 

Формула 1б)

Формула 2)                                    Формула 3)

tgα=                     ctgα=

Ответ: cosα= ,tgα=- ,ctgα=

Задание 3: Закончить решение:

1) Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα=- ,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IVч.	-	+	-	-

Определим знак:

 

Формула 1б)

Формула 2)                                    Формула 3)

tgα=                     ctgα=

Ответ: cosα= ,tgα=-…,ctgα=-….

2) Вычислить sinα,tgα,ctgα, если cosα=-0,6,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IIIч.	-	-	+	+

Определим знак:

 

 

Формула 1а)

Формула 2)                                    Формула 3)

tgα=                     ctgα=

Ответ: sinα=…,tgα=-…,ctgα=-….

Пример: Вычислить sinα,cosα,tgα,, если ctgα=-3,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IVч.	-	+	-	-

Определим знак:

 

Формула 4а)

Формула 5а)                                        

Формула 6а)

Ответ: sinα=- , cosα= ,tgα=-

 

Задание 4: Найти остальные тригонометрические функции, если:

1) sinα=0,6

2) cosα=-

3) tgα=4

	1) sinα=0,6
	2) cosα=-
	3) tgα=4

Задание 5: Упростить (по аналогии с решённым):

 

№	Упростить	№	Решить самостоятельно
1)	(1-sinα)∙(1+sinα)= =1+sinα-sinα-sin2α= =1-sin2α=sin2α+cos2α-sin2α=cos2α	1)	(1-cosα)∙(1+cosα)
2)	=1+tg2α-1=tg2α	2)	Cos2α+sin2α-ctg2α
3)		3)	1+tg2α+

Задание 6: Упростить (воспользоваться формулами:(а + в)² = а² + 2ав + в²,

                                                                                      (а - в)² = а² - 2ав + в²)

(sinα-cosα)²+(sinα+cosα)²

 

Задание 7^*: Известно, что tgα=8. Найти

1)

2)

 

 

Тема 6. Формулы сложения

 

cos(α + β) = cosα∙cosβ - sinα∙sinβ        cos(α - β) = cosα∙cosβ + sinα∙sinβ

sin(α + β) = sinα∙cosβ + cosα∙sinβ        sin(α - β) = sinα∙cosβ - cosα∙sinβ

tg(α + β) =

 

Задание 1: Вычислить по аналогии:

1)	Sin73º∙cos17º + cos73º∙sin17º= = sin(73º + 17º)=sin90º=1	1)	Sin73º∙cos17º - cos73º∙sin17º
2)	cos ∙cos  - sin ∙sin = = cos(  + )=cos = =cos2π=1	2)	cos ∙cos  + sin ∙sin

Задание 2: Упростить:

1) cos (60° — α) + cos (60° + α)=

 

2) cos (α + ^π / ₆ ) — cos (α — ^π / ₆ )=

 

Задание 3: Вычислить:

1) Вычислить cos 15°, представив 15° как разность 60° — 45°.

 

2) Вычислить cos 75°, представив 75° как сумму 30° + 45°.

 

 

3) Вычислить cosl05°, представив 105° как сумму 45° + 60°.

Задание 4: Дано: sin α = 0,6; sin β = —0,28; 0° < α < 90° и 180°< β <270°.
Вычислить: 1) cos (α + β);

2) cos (α — β).

 

 

Формулы приведения

 

Таблица приведения:

 

α	-α	+α	π - α	π + α	-α	+α	2π - α	2π + α
sinα	cosα	cosα	sinα	- sinα	- cosα	- cosα	- sinα	sinα
cosα	sinα	- sinα	- cosα	- cosα	- sinα	sinα	cosα	cosα
tgα	ctgα	- ctgα	- tgα	tgα	ctgα	- ctgα	- tgα	tgα
ctgα	tgα	- tgα	- ctgα	ctgα	tgα	- tgα	- ctgα	ctgα

 

Пример: Вычислить:

Cos150º=cos(180º-30º)=cos (π-30º)=-cos30º=-

Sin240º=sin(180º+60º)=sin(π+60º)=-sin60º=-

Задание 1: Закончить решение:

· sin135º=sin(90º+45º)=sin( +45º)=cos45º=

· cos120º=cos(180º-60º)=cos(π-60º)=….

· ctg240º=ctg(270º-30º)=ctg( -30º)=…..

· sin315º=…..

Задание 2: Найти ошибку:

1) Sin(π – α)∙cos( -α)-cos(π – α)∙sin( -α)=sinα∙sinα-(-cosα)∙(-cosα)=

= sin²α+cos²α=1

2)

Задание 3: Упростить, из предложенных ответов выбрать верный:

1)           3)

2)           4)

а) –1           б)ctgα           в)               г)1

Ответ записать в виде таблицы:

Задание	1	2	3	4
ответ

=

=

=

=

Контрольная работа

 

Уровень А:

1) Найти значение выражения:

а) cos +tg -sin

б) 2cos60º-tg45º

в) 2tg45º+5ctg270º-3sin180º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:

а) sinα= , 0<α<

б) cosα=-0,6, <α<π

3) Упростить:

а) sin²α-tgα∙ctgα+cos²α

б)

Уровень В:

 

1) Найти значение выражения:

а) 2cos + 4sin  -3ctg

б) cos100º+cos80º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если:

а) cosα=- , π<α<

б) ctgα=5, <α<π

3) Упростить:

а) (tgα∙ctgα+tg²α)∙ sin²α

б) (1-cos²(-α))∙(1+tg²(-α))

Уровень С:

 

1) Найти значение выражения:

а) sin155º-sin25º

б) sin20º∙cos10º+cos20º∙sin10º

в) cos20º∙cos40º-sin20º∙sin40º

2) Найти остальные тригонометрические функции, если tgα=-4, <α<π

3) Упростить:

а)  

б)

в) sin⁴(-α)+cos²(-α)- cos⁴(-α)

 

Подготовка к Единому Государственному экзамену (ЕГЭ)

Прототипы задания В7

Задания по теме «Тригонометрические функции» В ЕГЭ – задачи на преобразование и вычисление  тригонометрических выражений. И 

2.

1.

Тренировочная работа №1

Задание В7: Найти значение выражения

Выражение