Тема 2. Определение тригонометрических функций

 

Определение 1:Синусом числа α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α радиан. (sinα)

Определение 2:Косинусом числа α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α радиан.(cosα)

	т.М(cosα,sinα)

Определение 3: Тангенсом числа α называется отношение синуса числа α к его косинусу.(tgα)

tgα=

Определение 4: Котангенсом числа α называется отношение косинуса числа α к его синусу.(ctgα)

ctgα=

Определение: Функции у=sinα, у=cosα, у=tgα, у=сtgα называют тригонометрическими функциями.

 

т.М()

Пример: По рисунку определить, чему равен sinα, cosα, затем найти tgα, сtgα.

 

 

 

Решение:

сosα= , sinα= , tgα=  ctgα=

Ответ: сosα= , sinα= , tgα=-1, ctgα=-1

Задание 1: По рисунку определить, чему равен sinα, cosα, затем найти tgα, сtgα.

т.М1()

т.М₁:                                                                                т.М₂:

сosα= , sinα=….,                                                           сosα=…., sinα=….,

т.М2(-1;0)

tgα=                                                            tgα= =…..   

ctgα= =…..                                                          ctgα= = не сущес-           вует, так как на 0 делить нельзя.

Таблица значений:

 

Четверть	(рад)	(град)	(рад)	(град)
I	0	0			0	1	0	не существует
I
I							1	1
I
I					1	0	не существует	0
II
II							-1	-1
II
II					0	-1	0	не существует
III
III							1	1
III
III					-1	0	не существует	0
IV
IV							-1	-1
IV
IV			0		0	1	0	не существует

Пример: Вычислить:

3sin +2cos -tg =3∙ +2∙ - = - = + - =

Задание 2: Закончить решение:

· cos90º-sin90º=0-1=….

· 4cos π+3ctg =4∙(-1)+3∙1=….

· tg ∙cos ∙sin = ∙ ∙(-1)=….

· tg45º∙sin60º∙ctg60º=1∙ ∙….=……

· 5sin +3tg -5cos -10ctg =5∙…..+3∙……-5∙……-10∙…..=……

Задание 3: Найти ошибку:

1) 3cos180º+5ctg270º-2sin360º=3∙1+5∙0=2∙1=3+0-2=1

2) 2sin -2cos -ctg =2∙ -2∙ - =1-1- =-

Задание 4: Вычислить и соединить стрелками те примеры, которые имеют одинаковый ответ, ответ выбрать и указать.

 

Тема 3. Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости Oxy лежит луч OM (рисунки 1, 2, 3).

           

 

 

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

№	функция	четверть	знак
1	sin193º	IIIч.	-
2	cos(-60º)	IVч.
3	ctg17º
4	tg(-100º)

 

 

Пример: Определить знак произведения

· sin400º∙cos215º∙tg134º∙ctg140º=sin(Iч.)∙cos(IIIч.)∙tg(IIч.)∙ctg(Iч.)=+ ∙ (-) ∙ (-) ∙ + = +

 

Задание 2: Найти ошибку:

 

Cos45º∙sin(-45º)∙tg100º∙ctg(-100º)=cos(Iч.)∙sin(Iч.)∙tg(IIч.)∙ctg(IIч.)=+ ∙ + ∙ (-) ∙ (-) = +

 

Задание 3: Определить знак произведения

1) cos370º∙tg15º∙ctg140º∙sin274º

2) sin(-3º)∙ctg150º∙tg300º∙cos240º

 

Тема 4. Зависимость между тригонометрическими

Функциями одного и того же аргумента

 

Задание 1: Заполнить таблицу:

 

№	промежуток	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
1		IIч.	+	-	-	-
2		IIIч.
3
4

Формулы:

  

1
1(а)		1(б)
2
3
4
4(а)	4(б)
5
5(а)
6
6(а)

Пример: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

Sinα=0,6 cosα=0,8

sin²α+cos²α =(0,6)²+(0,8)²=0,36+0,64= 1 (выполняется)

Задание 2: С помощью основного тригонометрического тождества выяснить, могут ли одновременно выполняться равенства:

 

 

 

Пример: Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα= ,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IIч.	+	-	-	-

Определим знак:

 

 

Формула 1б)

Формула 2)                                    Формула 3)

tgα=                     ctgα=

Ответ: cosα= ,tgα=- ,ctgα=

Задание 3: Закончить решение:

1) Вычислить cosα,tgα,ctgα, если sinα=- ,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IVч.	-	+	-	-

Определим знак:

 

Формула 1б)

Формула 2)                                    Формула 3)

tgα=                     ctgα=

Ответ: cosα= ,tgα=-…,ctgα=-….

2) Вычислить sinα,tgα,ctgα, если cosα=-0,6,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IIIч.	-	-	+	+

Определим знак:

 

 

Формула 1а)

Формула 2)                                    Формула 3)

tgα=                     ctgα=

Ответ: sinα=…,tgα=-…,ctgα=-….

Пример: Вычислить sinα,cosα,tgα,, если ctgα=-3,

Решение:

интервал	четверть	Знак sinα	Знак cosα	Знак tgα	Знак ctgα
	IVч.	-	+	-	-

Определим знак:

 

Формула 4а)

Формула 5а)                                        

Формула 6а)

Ответ: sinα=- , cosα= ,tgα=-

 

Задание 4: Найти остальные тригонометрические функции, если:

1) sinα=0,6

2) cosα=-

3) tgα=4

	1) sinα=0,6
	2) cosα=-
	3) tgα=4

Задание 5: Упростить (по аналогии с решённым):

 

№	Упростить	№	Решить самостоятельно
1)	(1-sinα)∙(1+sinα)= =1+sinα-sinα-sin^2α= =1-sin^2α=sin^2α+cos^2α-sin^2α=cos^2α	1)	(1-cosα)∙(1+cosα)
2)	=1+tg^2α-1=tg^2α	2)	Cos^2α+sin^2α-ctg^2α
3)		3)	1+tg^2α+

Задание 6: Упростить (воспользоваться формулами:(а + в)² = а² + 2ав + в²,

                                                                                      (а - в)² = а² - 2ав + в²)

(sinα-cosα)²+(sinα+cosα)²

 

Задание 7^*: Известно, что tgα=8. Найти

1)

2)