При расчёте средней арифметической для многочисленных групп применяются следующие способы:

1. Способ распределения дат.

2. Способ взвешенных вариаций.

3. Способ условных отклонений:

а) способ произведений,

б) способ сумм.

 

1) Способ распределения дат.

Если изучаются признаки, выражаемые только целыми числами, то при небольшом размахе значений от минимума до максимума вычисление средней арифметической для многочисленных групп производится по формуле:

М – средняя арифметическая

V – дата, значения признака

f – частота, показывающая сколько раз встретилось данное значение признака в изучаемой группе.

n – общее число измеренных значений, сумма всех частот (n=åf).

Для вычисления средней арифметической в таких случаях необходимо:

1. Выписать все различные величины признака, которые встречаются в группе один или несколько раз. Для вычисления средней арифметической порядок, в котором проставляются величины признака, не имеет значения. Для других целей, в частности для ознакомления с характером распределения признаков, лучше выписывать величины признаков в возрастающем порядке (слева направо, или снизу вверх).

 

Таблица – Вычисление средней арифметической признаков, выражаемых только целыми числами, при небольшом размахе значений многочисленных групп

Число поросят в помете взрослых свиноматок
Дата V	Частота f	f · V
14	11	154
13	69	897
12	98	1176
11	77	847
10	36	360
9	12	108
Σ	303	3542

 

2. Против каждой величины признака ставится частота, показывающая сколько раз эта величина встретилась в изучаемой группе.

3. Каждая величина признака умножается на свою частоту.

4. Все полученные произведения складываются

5. Сумма этих произведений делится на общее число дат или, что то же самое, на сумму частот.

Установление частот каждого значения признака можно производить двумя способами:

1. Все измеренные значения заносятся в отдельные карточки, которые комплектуются по величине признака, и для каждой величины подсчитывается число карточек.

2. Просматривая все значения признака по списку и отмечая точками и чёрточками попадание данного значения в один из разрядов величины признака.

Составление вариационного ряда. Если признак выражен любым числом – целым или дробным и размах величин велик, то для расчёта средней арифметической нужно предварительно составить вариационный ряд признака.

Для этого все величины разбиваются на разные интервалы – классы. Предварительно необходимо установить число классов, их величину, границы и частоты.

Число классов. Весь размах значений признака от минимума до максимума распределяется обычно на 8–12 равных интервалов. При более точных исследованиях устанавливается большее число классов (15–20–30), а при менее точных – меньшее число (6–8). Чем больше число классов, тем точнее получаются искомые сводные показатели, но при этом более трудоёмкими становится процесс вычисления, и, наоборот чем меньше число классов, тем менее точный результат вычислений, но проще процесс вычисления.

Величина классов или величина классового промежутка равна размаху значений от минимума до максимума делённому на принятое число классов. Величина классов устанавливается по формуле:

k – величина класса

max – максимальное значение

min – минимальное значение

 

Границы классов можно выбрать, при этом разница между границами соседних классов должна быть равна величине классового промежутка. Не обязательно за начало min класса брать фактический минимум. Лучше за начало классов принимать легко запоминающиеся цифры. Так, при размахе признака в пределах 39–93 установлена величина класса k=5, то начало класса можно установить следующие: 35–40–45–50...85–90.

Конец каждого класса должен быть меньше начала следующего на величину, равную принятой точности измерения. Например, если измеряется длина животных с точностью до 1 см и установлена величина классового промежутка k=5 см, то границы классов, начиная с нижнего минимального, будут такими: 100–104;105–109;110–114; 115–119 и.т.д.

Средины классов устанавливается двумя способами. Если признак может быть выражен любыми числами и целым и дробным, то для установления средины класса нужно к началу класса прибавить половину классового промежутка. Так в предыдущем примере срединами классов будут:

Иногда удобней определить средины классов, в таком случае начало каждого класса будет меньше его средины на половину классового промежутка.

Если установлены средины классов – 100;105;110;115; то начало этих классов будут , а концами классов в данном случае будут: 102,4;107,4;112,4 и т. д

В тех случаях, когда признак выражается только целыми числами
(яйценоскость, плодовитость, число повреждённых клеток на каждую сотню, число ульев на пасеке, средина классов равна полусумме начала и конца класса. Например, если составлен вариационный ряд 1–3, 4–6, 7–9 и т.д. то срединами этих классов будут целые числа  и т. д.; для ряда 1–4, 5–8, 9–12 и т. д. срединами классов будут дробные числа:

 и т. д.

Средины классов также называются вариациями и будут обозначаться символом W.

Частота классов устанавливается путём разности признаков по классам любым из двух описанных выше способов. Частота классов обозначается символом f. Каждая дата, попав в соответствующий класс, приравнивается по величине ко всем другим датам, попавшим в этот класс.

Например, если в класс массы животных от 200 до 249 кг (k=50 кг) попали 2 варианта – 230 – 240, то при дальнейшей обработке вариационного ряда будет считаться, что обе эти даты имеют одинаковую величину, равную средине этого класса  После разноски две эти даты дадут в сумме 450 кг, тогда как в действительности их сумма равна 230+240 = 470 кг.

На этом примере видно, что метод расчета средней арифметической (и других показателей) путем составления вариационного ряда не является абсолютно точным. Но погрешности этого метода незначительны, и с ними можно не считаться. Погрешности эти становятся практически заметными только при распределении малочисленных групп на крупные классы.

Минимальная масса была равна 39 кг, максимальная – 96 кг. Величина классового промежутка при 10 классах  а по точной формуле

 Для удобства разноски дат была принята величина классового промежутка k = 5.

При условии, что средины классов должны делиться без остатка на величину класса, необходимо установить средину минимального класса, равную 40 кг, а началом – это значение, уменьшенное на полкласса, т. е.

Таблица – Составление вариационного ряда для 400 значений массы
овцематок

 

Границы классов Wα Ww			Средины классов	Частота классов
92,5		97,4	95	2
87,5		92,4	90	12
82,5		87,4	85	28
77,5		82,4	80	46
72,5		77,4	75	71
67,5		72,4	70	79
62,5		67,4	65	72
54,5		62,4	60	45
52,5		57,4	55	30
47,5		52,4	50	9
42,5		47,4	45	5
37,5		42,4	40	1
				åf=n=400

 

 Началом следующего класса будет 37,5 + 5 = 42,5, срединой – 40 + 5 = 45.

Срединой максимального класса будет 95, а его началом

Максимальная граница каждого класса должна быть в данном случае на 0,1 меньше начала следующего. Для минимального класса это будет 37,4, для следующего 37,4 + 5 = 42,4 и, т. д., а для максимального – 97,4.

Расчет средней арифметической по вариационному ряду можно вести двумя способами: по взвешенным вариациям и по условным отклонениям.

Способ взвешенных вариаций используется в случаях, когда вариации средины классов выражены однозначными или двузначными числами. Каждая вариация (средина класса) умножается на свою частоту, все произведения складываются и полученная сумма делится на число вариантов.

где М – средняя арифметическая, W – вариация (средина класса),
f – частота класса, n = å f – число дат.

Способ условных отклонений используется в тех случаях, когда вариации выражены многозначными числами и перемножены их на частоты с последующим суммированием полученных произведений.

Расчёты ведут по формуле:

М – средняя арифметическая, А – условная средняя – средина одного из центральных классов, k – величина классового промежутка, f – частоты классов.

 – условное отклонение каждого класса, выраженное в классовых промежутках. Это отклонение показывает, на сколько классов отстоит данный от того, средина которого принята за условную среднюю. Для классов, средина которых меньше условной средней, а является отрицательной величиной; для классов средина которых больше условной средней, а – положительная величина.

n = å f – общее число дат в группе.

å f a – сумма произведений частот на отклонение – основная величина при вычислении средней арифметической для больших групп, может быть и положительной и отрицательной. Рассчитывать ее можно способом произведений или способом сумм.

Расчет по способу произведений показан в таблице 6 для вариационного ряда, из которого взяты только средины классов.

В первом столбце таблицы 6 даны средины классов (W). За условную среднюю принята средина шестого класса А = 210. Во втором столбце даны частоты классов f, а в третьем – отклонения а вариаций от условной средней, выраженные в классовых промежутках.

Для шестого класса, средина которого принята за условную среднюю, а = 0.

При W = 230 отклонение  т.е. этот класс отклоняется от условной средней на один на одни классовый промежуток.

При W=170 отклонение  т.е. составляет два классовых промежутка с отрицательным знаком.

Таблица 6 – Вычисление средней арифметической для больших групп по способу произведений

Вариация W	Частота f	Отклонение a	fa
310	1	+5	+5
290	2	+4	+8
270	15	+3	+45
250	70	+2	+140
230	180	+1	+180
210	240	0	0
190	250	-1	-250
170	160	-2	-320
150	60	-3	-180
130	20	-4	-80
110	2	-5	-10

 

На основе этих примеров можно установить простое правило составления ряда значений а. Для этого нужно против того класса, средина которого принята за условную среднюю, поставить нуль, а затем по обе стороны от него написать ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и т. д. Для классов, средины которых меньше условной средней (вниз), перед числами поставить знак минус, а для тех классов, средина которых больше условной средней (вверх), поставить знак плюс.

В столбце fa для каждого класса дано произведение отклонения на частоту.

Сложение этих произведений лучше производить раздельно для положительной и отрицательной частей.

Сумма положительных отклонений в нашем случае равна 378, а отрицательных – 840. Таким образом, общая сумма отклонений
å fa =+ 378 - 840 = -462.

Если разделить полученную сумму отклонений на число дат, то частное покажет, на сколько классовых промежутков средняя арифметическая больше или меньше условной средней:

В данном случае для облегчения счетной работы используется одно из описанных выше свойств средней арифметической.

В разбираемом примере среднее условное отклонение оказалось равным -0,462. Это значит, что средняя арифметическая М меньше принятой условной средней А на 0,462 классового промежутка или на 20 · (-0,462) = 9,24 единицы измерения.

Поэтому, чтобы получить среднюю арифметическую, надо из условной средней вычесть полученную поправку: 210 - 9,24 = 200,76.

В других случаях, когда сумма условных отклонений получается положительной, надо к условной средней прибавить величину.

Все эти действия выражаются общей формулой

Для рассматриваемого примера

 

Способ сумм еще больше облегчает счетную работу при вычислении средней арифметической для больших групп при многозначных вариантах. Этим способом получают точное значение суммы произведений частот на отклонения (S/a), при этом не производится ни одного перемножения и вся работа сводится только к суммированию небольших чисел. Преимущества способа сумм особенно сильно проявляются при вычислении других показателей – среднего квадратического отклонения, показателя асимметрии, показателя эксцесса, т. е. когда нужно получить сумму отклонений во второй, третьей и четвертой степени. Для получения этих показателей требуются все начальные действия, производимые по способу сумм для расчета средней арифметической.

Вычисление средней арифметической по способу сумм производится по формуле

где М – средняя арифметическая, А – условная средняя, устанавливаемая так же, как и при способе произведений, А – величина классового промежутка, S ₁ – первая сумма, получаемая путем вычитания суммы отрицательных накопленных частот (r₁)из суммы положительных накопленных частот (q₁):S₁ = q₁–r₁; п – общее число дат.

Порядок вычисления средней арифметической по способу сумм показан в таблице 7 для того же распределения, которое служило примером для способа произведений.

Для вычисления средней арифметической по способу сумм требуется составить два ряда значений – для вариаций W и частот f – и установить условную среднюю А так же, как и для способа произведений.

Затем к этим двум столбцам нужно прибавить еще один столбец – первый ряд накопленных частот, который составляется следующим образом.

Против класса, средина которого принята за условную среднюю, ставится – черточка (–). С обоих концов распределения по направлению к середине (условной средней) составляется ряд накопленных частот. Каждая из двух частей этого ряда (положительная и отрицательная) доводится до центральной черточки.

Составление положительной части первого ряда накопленных частот для распределения, представленного в таблице 7, производилось следующим образом.

 

Вариация W	Частота f	Первый ряд накопленных частот
310	1	1
290	2	3
270	15	18
250	70	88
230	180	268
210	240	–
190	250	492
170	160	242
150	60	82
130	20	22
110	2	2

Первое число (сверху) этого ряда равно 1 – частоте максимального класса.

Для получения второго числа нужно к первому числу ряда прибавить частоту второго класса: 1+2=3.

Третье число ряда получается путем сложения второго числа ряда с частотой третьего класса: 3+15=18 и т.д. до встречи с черточкой.

В разбираемом примере положительная часть первого ряда накопленных частот составляется следующим образом: 1; 1+2=3; 3+15=18; 18+70=88; 88+180=268.

Аналогичным образом получена и отрицательная часть ряда накопленных частот:

2; 2+20=22; 22+60=82; 82+160=242; 242+250=492.

Закончив эти действия, возможно проверить их результаты по следующему правилу. Три числа, окружающие центральную черточку: 268 – конец положительной части ряда накопленных частот, 492 – конец отрицательной части этого ряда и 240 – частота класса, средина которого принята за условную среднюю, в сумме должны давать общее число дат. Сумма этих чисел 268+492+240=1000.

Это показывает, что все предыдущие действия произведены без арифметических ошибок.

После того, как получены все числа первого ряда накопленных частот, необходимо сложить отдельно все числа положительной части ряда (расположенные выше черточки) и все числа отрицательной части ряда по другую сторону (ниже черточки).

В разбираемом примере сумма чисел положительной части ряда 1+3+18+88+268=378. Это число, обозначаемое символом q₁, в точности равно сумме положительных отклонений, умноженных на частоты, получаемой по способу произведений: q₁= å f (+ a).

Для отрицательной части ряда сумма его чисел (2+22+82+242+492=840) равна сумме произведений частот на отрицательные отклонения r₁.

Для того, чтобы получить общую сумму произведений частот на отклонения нужно из суммы положительных частот вычесть сумму отрицательных частот:

S₁=q₁ – r₁= å f a.

В разбираемом примере общая сумма первого ряда накопленных частот

S₁=q₁–r₁=378 – 840 = -462,

т. е. в точности такой же величине, какая была получена по способу произведений.

Дальнейшие действия способа сумм аналогичны действиям способа произведений. Сумму первого ряда накопленных частот S₁ нужно разделить на число дат и частное помножить на величину классового промежутка. Сумма условной средней и полученной поправки и есть средняя арифметическая. Для разбираемого примера:

СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

Для вычисления средней геометрической с n датами, необходимо перемножить все даты и из произведения извлечь корень n-ой степени:

(G – средняя геометрическая, n – число дат, ПV произведение дат).

Например, средняя геометрическая из 12 и 3 будет равна

Если число дат больше 3-х, то извлечение n -ой степени затруднительно, поэтому пользуются путём логарифмирования величин, входящих в основную формулу:

Например, для вариантов 1; 4; 5; 5; 5; средне геометрическое можно получить следующим образом:

V	1	4	5	5	5
lgV	0,000	0,602	0,699	0,699	0,699

 

lgV = 2,699  G = 3,466.

Для проверки правильности вычисления средней геометрической можно использовать принцип единства суммарного действия: произведение всех пяти выровненных вариантов, равных средней геометрической (3,466 3,466 3,466 3,466 3,466 = 500,2). Это означает, что средняя в данном случае рассчитана правильно.

Применяется средняя геометрическая во всех случаях, когда нужно узнать или спланировать средние приросты за определённый период. Применяется 2 способа.

Первый способ применяется, когда имеются сведения о приростах за каждый период, выраженный в процентах или долях (%: 100) от начала каждого периода.

х – средний попериодный прирост за ряд периодов равной продолжительности; а – фактический прирост за тот или иной период, выраженный в долях; n – число периодов; П (1+ а) – произведение величин (1+ а).

Например, поголовье кроликов на ферме увеличилось за первый год на 5%, за второй – на 20%, за третий – на 50% и за четвёртый – на 50%. Считая каждый раз от начала истёкшего года. Определить среднегодовой прирост за эти 4 года на ферме.