Общая формула средних величин

Общая формула средних величин

 

Четыре основные вида средних величин можно выразить единой формулой:

, или

Ср – средняя величина.

V – дата (вариант), отдельное значение изучаемого признака, результат измерения признака у каждого объекта исследования;

å – знак суммирования (греческая буква сигма);

m – показатель, определяющий вид средней;

n – число ускоряемых дат (вариантов).

Придавая показателю m разное значение: 1, 2 – 1, 0 можно получить формулы для отдельных видов средних. Это можно показать на следующих примерах вычисления разных средних для одной и той же группы, которая в целях большей наглядности взята предельно простой (состоящей всего из
пяти дат, V = 1; 4; 5; 5; 5

 

При m = 1 получается формула средней арифметической:

,

при m = 2 – формула средней квадратической:

 

при m = -1 – формула средней гармонической

 

при m = 0 после специальных преобразований – формула средней геометрической:

 

(П – знак произведения).

Если в общую формулу средней подставить m = -  и m= + , то после преобразований получим два крайних значения в группе: min – наименьшее значение и max – наибольшее значение.

Средняя арифметическая

Самым распространённым показателем среднего качества является средняя арифметическая. Вычисляется она, как указывалось по формуле:

,

где М – средняя арифметическая

 – знак суммирования

V – дата, отдельное значение изучаемого признака.

n – число использованных значений признака в развёрнутом виде имеет следующий вид:

Например, для пяти значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая

.

СРЕДНЯЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

Для вычисления средней геометрической с n датами, необходимо перемножить все даты и из произведения извлечь корень n-ой степени:

(G – средняя геометрическая, n – число дат, ПV произведение дат).

Например, средняя геометрическая из 12 и 3 будет равна

Если число дат больше 3-х, то извлечение n -ой степени затруднительно, поэтому пользуются путём логарифмирования величин, входящих в основную формулу:

Например, для вариантов 1; 4; 5; 5; 5; средне геометрическое можно получить следующим образом:

V	1	4	5	5	5
lgV	0,000	0,602	0,699	0,699	0,699

 

lgV = 2,699  G = 3,466.

Для проверки правильности вычисления средней геометрической можно использовать принцип единства суммарного действия: произведение всех пяти выровненных вариантов, равных средней геометрической (3,466 3,466 3,466 3,466 3,466 = 500,2). Это означает, что средняя в данном случае рассчитана правильно.

Применяется средняя геометрическая во всех случаях, когда нужно узнать или спланировать средние приросты за определённый период. Применяется 2 способа.

Первый способ применяется, когда имеются сведения о приростах за каждый период, выраженный в процентах или долях (%: 100) от начала каждого периода.

х – средний попериодный прирост за ряд периодов равной продолжительности; а – фактический прирост за тот или иной период, выраженный в долях; n – число периодов; П (1+ а) – произведение величин (1+ а).

Например, поголовье кроликов на ферме увеличилось за первый год на 5%, за второй – на 20%, за третий – на 50% и за четвёртый – на 50%. Считая каждый раз от начала истёкшего года. Определить среднегодовой прирост за эти 4 года на ферме.

 

СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧНАЯ

 

Средняя квадратичная вычисляется по формуле:

 

 

т.е. она равна корню квадратичному из суммы квадратов дат, делённой на их число. Например, если имеется пять дат:1; 4; 5; 5; 5; то средняя квадратическая

 

 

Употребляется средняя квадратичная при расчёте средних радиусов окружностей.

Пример: Измерение диаметров колоний полученных от посева микробов определённого вида, дали следующие результаты 15; 20; 10; 25; 30;

Для сравнения этого посева с другими требуется определить средний диаметр колоний. Применяют формулу средней квадратической

 

средняя арифметическая диаметров

 

 

средняя арифметическая даёт неправильную характеристику группы. Это можно проверить по правилу единства суммарного действия.

Общая площадь всех пяти колоний была
3,14 (7,5² + 10² + 5² + 12,52 + 15²)= 1766,25 мм².

Если взять 5 одинаковых кругов с диаметром, равным М = 20, то общая площадь составит 5 3,14 10 = 1570 мм, что гораздо меньше общей фактической площади.

Если же взять 5 кругов с одинаковым диаметром равным средней квадратической S= 21,22 мм то общая площадь равна 5 3,14 (10,64)= 1767,4 мм, т.е. практически той же сумме площади, которую имели 5 измеренных колоний.

СРЕДНЯЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ

 

Рассчитывается по формуле:

Для пяти дат: 1; 4; 5;5; 5;

Применяется средняя гармоническая при усреднении меняющихся скоростей.

Пример: Почтовые голуби одной станции к месту кормёжки летят со скоростью 50 км / час, а в обратном направлении со скоростью 40 км / час. Если кроме этих данных ничего больше не известно требуется выяснить среднюю скорость полёта для обоих направлений (расстояния очевидно равны)то сделать это можно, рассчитав простую среднюю гармоническую для двух дат – 50 и 40.

 

Пример: Рысак на тренировках пробегал одну за другой 3 дистанции, различные по состоянию дороги. Скорость на первой дистанции составляла 13 км / час, на второй – 20 км / час и на третьей - 10 км / час. Длина дистанций не сообщается, указывается только, что первая дистанция была 2 раза, а вторая в 4 раза длиннее третьей. По этим данным можно определить показанную рысаком среднюю скорость по всем трём дистанциям, рассчитав не простую, а взвешенную среднюю Н из значений 13, 20, 10 соответственно с весами 2, 4, 1 по формуле:

Поскольку в данном примере расстояния неизвестны, то весами могут служить отношения первой и второй дистанции к третьей. Такая замена математических весов повлияет на точность результата, т.к. правильного расчёта взвешенной среднеё Н имеют значение не абсолютной величины расстояний, а их отношения.

Средняя скорость рысака за весь пробег

Разнообразие значений признака

 

Всякая группа, состоит из особей, отличающихся друг от друга по каждому из признаков. Различия эти иногда очень велики, иногда почти не заметны, но они всегда имеются, т.к. невозможно найти абсолютно одинаковых.

Поэтому одним из основных свойств совокупности является объединение неодинаковых особей с разнообразными значениями любого признака. Такими показателями являются лимиты lim среднее квадратное и коэффициент вариации C_V, а также квадратичное отклонение или дециальное отклонение.

 

Общая формула средних величин

 

Четыре основные вида средних величин можно выразить единой формулой:

, или

Ср – средняя величина.

V – дата (вариант), отдельное значение изучаемого признака, результат измерения признака у каждого объекта исследования;

å – знак суммирования (греческая буква сигма);

m – показатель, определяющий вид средней;

n – число ускоряемых дат (вариантов).

Придавая показателю m разное значение: 1, 2 – 1, 0 можно получить формулы для отдельных видов средних. Это можно показать на следующих примерах вычисления разных средних для одной и той же группы, которая в целях большей наглядности взята предельно простой (состоящей всего из
пяти дат, V = 1; 4; 5; 5; 5

 

При m = 1 получается формула средней арифметической:

,

при m = 2 – формула средней квадратической:

 

при m = -1 – формула средней гармонической

 

при m = 0 после специальных преобразований – формула средней геометрической:

 

(П – знак произведения).

Если в общую формулу средней подставить m = -  и m= + , то после преобразований получим два крайних значения в группе: min – наименьшее значение и max – наибольшее значение.